夜雨聆风8-1 设标准化变量 的协方差阵(即相关阵)为
试求 的正交因子模型.
【解析】
令 的特征值为 , 对应的标准化特征向量为 . 解特征方程 , 令 , 得
求得三个实根 , , , 对应特征值
最大特征值 , 解 得
取主成分解, 载荷向量为
特殊方差 :
于是 的正交因子模型为
其中 为公共因子, 为特殊因子, 满足 , , 且 与 不相关.
8-2 已知题8-1中 的特征值和特征向量分别为
(1) 取公共因子个数 时, 求因子模型的主成分解, 并计算误差平方和 ;
(2) 取公共因子个数 时, 求因子模型的主成分解, 并计算误差平方和 ;
(3) 试求误差平方和 的主成分解．
【解析】
(1) 时, 载荷向量 , 即
特殊方差 :
估计的相关系数 , 误差平方和为
(2) 时, 载荷矩阵 , 即
特殊方差 :
估计的相关系数 , 即
误差平方和
(3) 由 , 故取 时已满足 . 此时因子模型的主成分解即为 (2) 中的载荷矩阵 与特殊方差 .
8-3 验证下列矩阵关系式( 为 矩阵):
(1) ;
(2) ;
(3) .
提示: 考虑分块矩阵 的逆.
【解析】
记 , 并设所有逆矩阵存在. 令
分别用两种分块矩阵求逆公式计算 . 首先, 视左上角 可逆, 得
其次, 视 可逆, 可得另一形式
两个表达式的各分块应相等. 比较 块即得 (2) 式:
比较 块并取负号即得 (3) 式:
比较 块, 并将 (3) 式代入右端:
移项即得 (1) 式:
原题 (2) 中误印为 , 实际应为 , 此处已予更正. 证毕.
8-4 证明公共因子个数为 的主成分解, 其误差平方和 满足以下不等式
其中 , 是因子模型的主成分估计.
【解析】
设样本协方差阵 的谱分解为 , 前 个主成分的载荷矩阵为 , 故 . 主成分解的特殊方差阵取 . 误差矩阵为
令 , 则 由 的非对角元构成, 且对角元均为零. 于是
而 , 故 , 证毕.
10-1 设标准化变量 , 已知 的相关阵为
试求 的典型相关变量和典型相关系数.
【解析】 写出分块矩阵:
计算 :
计算 的特征值, 即典型相关系数的平方. 先求 :
再乘以 , 得
已知 , 故
该矩阵的迹为 , 秩为 , 故非零特征值 , 另一特征值为 . 于是典型相关系数为
求第一对典型相关变量. 矩阵 对应 的特征向量可取为 , 由约束 得
故 , . 对应 的系数 满足 . 计算
取 , 由 得
故 , . 第二对典型变量对应 , 可取与第一对正交的向量, 例如
此时 , 故直接取为单位系数. 对应 的系数可取 , 标准化得
即 , . 综上, 典型变量与典型相关系数为