夜雨聆风
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上一节学了含绝对值的不等式，用换元法和平方法都挺好用的。今天来做习题1-1，把第一单元的底子打扎实——这道习题涉及数的分类、循环小数、绝对值、还有数线距离这些基础概念，覆盖挺广的。
没错，习题1-1虽然题量大，但每道题都在叩击同一个核心问题——我们对"数"的理解有多深？从正整数到实数，从有限小数到循环小数，从绝对值的几何意义到代数运算，这是一次很好的"回头看"机会。
一、基本题
第1题：数的分类
第1题给了7个数字，让我们判断哪些是正整数、整数、有理数、无理数、实数。选项诶到集分别是0、0点3循环、根号24、10分之1乘以括号123减45减67加89、2加根号2、3点1 4 1 5 9、根号49分之144。逐个分析一下？
好，逐个来。选项诶，0——它是整数，也是有理数和实数。选项比，0点3循环——写成3分之9就是3分之1，所以是有理数和实数。选项西，根号24——化简为2倍根号6，根号6开不尽，所以是无理数，也是实数。
选项迪呢？10分之1乘以括号123减45减67加89——这个要算一下。
123减45得78，78减67得11，11加89得100，再乘以10分之1就是10。10是正整数，当然也是整数、有理数和实数。选项伊，2加根号2——根号2是无理数，有理数加无理数还是无理数，所以是无理数、实数。
选项埃夫，3点1 4 1 5 9——这不就是圆周率的近似值吗？它应该是有理数吧？
对的，3点1 4 1 5 9是一个有限小数，可以写成314159除以10万，所以它是有理数和实数。最后选项吉，根号49分之144——根号下49分之144等于7分之12，是有理数和实数。所以正整数只有迪，整数有诶和迪，有理数有诶、比、迪、埃夫、吉，无理数有西和伊，所有7个都是实数。
解题要点：判断数的类型就看它能不能写成两个整数的比——能就是有理数，不能就是无理数；整数和分数统称有理数。
第2题：有理数与循环小数互化
第2题分两部分——先把有理数化成循环小数，再把循环小数化回有理数。来，先看第一部分。
第一部分是两个分数化循环小数。第一个，12分之1——用长除法，1除以12，商0余1，补0得10除以12商0，再补0得100除以12商8余4，补0得40除以12商3余4……发现余数4开始重复。所以12分之1等于0点0 8 3循环，注意是083循环，不是83循环。
第二个，7分之5——5除以7商0余5，补0得50除以7商7余1，补0得10除以7商1余3，补0得30除以7商4余2，补0得20除以7商2余6，补0得60除以7商8余4，补0得40除以7商5余5——余数5重复了，循环节是714285，所以7分之5等于0点7 1 4 2 8 5循环。
学习点睛：将有理数化为循环小数时，分母与循环节长度有密切关系——这与分母的欧拉函数，也就是不超过该整数且与该整数互质的正整数个数有关。比如分母7的欧拉函数值是6，循环节长度正好也是6，这是一个有趣的数论现象。
好，第二部分反过来——把循环小数化成分数。第一个是0点7循环。
设埃克斯等于0点7循环，那么10埃克斯等于7点7循环。两式相减得9埃克斯等于7，所以埃克斯等于9分之7。
第二个是2点3 4循环，也就是2.3444……循环的是4。
设埃克斯等于2点3 4循环，那么10埃克斯等于23点4循环，100埃克斯等于234点4循环。用100埃克斯减10埃克斯得90埃克斯等于211，所以埃克斯等于90分之211。
第三个是负1点4 2循环。这个有两个解法？
对。解法一：直接设埃克斯等于负1点4 2循环，100埃克斯等于负142点4 2循环。相减得99埃克斯等于负141，埃克斯等于负99分之141，约分后是负33分之47。解法二：先设埃克斯等于1点4 2循环即正数，求出99分之141也就是33分之47，再加负号，结果一样。
解题要点：循环小数化分数，关键是设埃克斯后乘以10的适当次方让循环节对齐，再相减消去循环部分；一个循环节就乘10的一次方，两个循环节乘10的二次方，依此类推。
第3题：近似值与四舍五入
第3题求两个数的近似值，四舍五入到小数点后第三位。先看第一个，7分之22。
7分之22用长除法或计算器算出来约等于3点1 4 2 8 5 7 1 4 3。小数点后第四位是8，要进位，所以四舍五入到第三位是3点1 4 3。
第二个，2分之根号5减1——这个数很眼熟啊，黄金分割比？
没错，2分之根号5减1约等于0点6 1 8 0 3 3 9 8 8，这正是黄金分割比0.618。小数点后第四位是0，不需要进位，所以四舍五入到第三位就是0点6 1 8。
解题要点：四舍五入到小数点后第n位，看第n加1位——满5进1、不满5舍去。
第4题：在数线上画出范围
第4题让我们在数线上画出三个范围。第一个，负2小于等于埃克斯小于1。
这个范围从负2到1，包含负2（实心点），不包含1（空心点）。在数线上就是从负2到1的一条线段。
第二个，括号5到正无穷——这个写法是开区间？
对，括号5到正无穷表示从5往右，5本身不包含。在数线上就是从5往右画一条射线，5的位置画空心点。第三个是埃克斯小于1或埃克斯大于等于6——两个不相交的部分，小于1的部分往左画，大于等于6的部分从6开始往右画，6是实心点。
解题要点：数线表示范围时，关键看端点是否包含——含等号用实心点，不含等号用空心点；记住区间的括号写法：圆括号表示不含端点，方括号表示含端点。
第5题：绝对值方程与不等式
第5题要求用"观察数线"和"分情况讨论"两种方法解题，正好把上节学的两种思路都用上。第一个，埃克斯加2的绝对值等于5。
解法一：观察数线——埃克斯与负2的距离是5，所以埃克斯在负2左边5个单位是负7，右边5个单位是3。解法二：分情况——埃克斯加2等于5或埃克斯加2等于负5，解得埃克斯等于3或负7。两种方法答案一致。
第二个，埃克斯的绝对值等于埃克斯减2的绝对值。这个从数线上看更有意思。
没错。解法一：埃克斯到0的距离等于埃克斯到2的距离，说明埃克斯正好是0和2的中点，也就是1。解法二：两边平方或者讨论正负号——埃克斯等于埃克斯减2无解，埃克斯等于负的括号埃克斯减2得2埃克斯等于2，所以埃克斯等于1。
第三个，埃克斯减1的绝对值小于等于4。
解法一：观察数线——埃克斯到1的距离小于等于4，所以埃克斯在1左边4个单位即负3，到1右边4个单位即5之间，所以负3小于等于埃克斯小于等于5。解法二：由绝对值性质得负4小于等于埃克斯减1小于等于4，移项得负3小于等于埃克斯小于等于5，记作闭区间负3到5。
解题要点：绝对值方程和不等式，观察数线利用几何意义非常直观；分情况讨论则更严谨——关键在于去掉绝对值符号时，不要弄反不等号方向。
第6题：数线上距离与分点公式
第6题是用数线距离和分点公式求点的坐标。第1小问，点诶坐标3，AB线段长度等于7，求点比的坐标。
设点比的坐标为埃克斯，那么埃克斯减3的绝对值等于7，所以埃克斯减3等于7或埃克斯减3等于负7，解得埃克斯等于10或负4。点比可能在点诶右边7个单位，也可能在左边7个单位，所以两个答案。
第2小问，点佩坐标2，点克由坐标12，点阿在佩和克由之间，且PR比QR等于5比3，求点阿的坐标。
用分点公式——如果点在线段上将线段分成一定比例，内分点的坐标等于加权平均。这里PR比QR等于5比3，点阿偏近点佩还是点克由？比例是PR比QR等于5比3，PR长QR短，所以点阿离点克由更近。用公式算：括号3乘以2加5乘以12除以括号5加3等于8分之66等于4分之33。
第3小问，点诶坐标负3，点比坐标7，AC比BC等于9比4，求点西的坐标，提示说有两解。
两种情形。第一种，点西在点诶和点比之间——用内分点公式，西的坐标等于括号4乘负3加9乘7除以括号9加4等于13分之51。第二种，点西在AB之外，AC比BC等于9比4——那么AB比BC等于5比4，点比在点诶和点西之间。这时用点比做内分点列方程：7等于括号4乘负3加5乘埃克斯除以括号5加4，解得埃克斯等于15。所以两个答案：13分之51或15。
解题要点：数线上两点间的距离是坐标差的绝对值；分点公式本质上就是加权平均——内分点直接用，外分点要先转化比例关系再列方程。
二、进阶题
第7题：数学叙述判断
第7题是综合判断题，5个选项。选项诶，0是有理数——这没问题吧？
选项诶是对的，0是整数也是有理数。选项比——给定长度为1的线段，能否用尺规作图做出长度为根号7的线段？可以！以AB等于8为直径画圆，在直径上取AD等于1、BD等于7，过点迪作垂线与圆交于点西，那么CD的平方等于1乘7等于7，所以CD等于根号7。这个利用了直角三角形的射影定理。
选项西——每一个有理数都可以用尺规作图在数线上找到位置？
对的，把有理数写成分数，再利用比例线段的作图方法就能在数线上标出来。选项迪——数线上两个相异整数距离至少是1，这是整数的离散性，也对。选项伊——0点9循环等于1？这看起来不可思议，但用循环小数化分数的方法：0点9循环等于9分之9等于1！所以5个选项全部正确。
解题要点：判断题要注意每个选项的数学依据——0点9循环等于1是很多人疑惑的概念，关键在于它是循环小数的精确定义，不是近似等于，而是严格等于。
第8题：绝对值不等式
第8题来了，正好用上节学的绝对值不等式解法。第一个，1小于等于埃克斯的绝对值小于3。
分情况讨论。若埃克斯大于等于0，那么埃克斯的绝对值等于埃克斯，所以1小于等于埃克斯小于3。若埃克斯小于0，那么埃克斯的绝对值等于负埃克斯，由1小于等于负埃克斯小于3，得负3小于埃克斯小于等于负1。合并起来就是负3到负1左开右闭，并上1到3左闭右开。
第二个，2埃克斯减1的绝对值小于等于3。
由绝对值性质直接得负3小于等于2埃克斯减1小于等于3，移项得负2小于等于2埃克斯小于等于4，即负1小于等于埃克斯小于等于2，记作闭区间负1到2。
解题要点：绝对值不等式用换元法——把绝对值里面的整体看作一个变量，先解出这个变量的范围，再代回来解埃克斯。注意当绝对值不等式涉及分段讨论时，要合并各段的结果。
第9题：循环小数应用题
第9题讲小菡把"乘以0.5循环"误算成"乘以0.5"，结果相差1，问这个正数是多少。这个生活情境挺亲切的。
设正数为埃克斯。0.5循环就是9分之5，0.5就是10分之5。列方程：9分之5埃克斯减10分之5埃克斯等于1。通分：90分之50减90分之45等于90分之5，也就是18分之1。所以18分之1埃克斯等于1，埃克斯等于18。所以这个正数是18。
解题要点：循环小数应用题的难点在于把"0点5循环"正确写为9分之5——这个转化要熟练，循环小数化分数是这类题的基石。
第10题：绝对值不等式应用
第10题，水饺包装上标每颗32公克加减百分之5，问每颗实际重量埃克斯满足的绝对值不等式。这个跟生活很贴近。
百分之5就是0.05。按照提示，32加减百分之5就是32加减32乘0.05。32乘0.05等于1.6。所以埃克斯的范围是32减1.6到32加1.6，也就是30.4到33.6。写成绝对值不等式就是埃克斯减32的绝对值小于等于1.6。
解题要点：误差范围问题统一写成"埃克斯减中心值的绝对值小于等于允许误差"——中心值是32，允许误差是32乘以百分之5等于1.6，所以答案是埃克斯减32的绝对值小于等于1.6。
梳理一下核心要点：
好，全部题目讲完了。按题型整理一下方法：
第一，数的分类判断——这是第1、7题的核心。记住判定标准：看能不能写成两个整数的比。整数、有限小数、循环小数都是有理数；无限不循环小数是无理数。而判断0点9循环等于1这样的结论，用循环小数化分数的方法验证最有说服力。
第二，有理数与循环小数的互化——第2题和第9题。分数化循环小数，用长除法找到循环节；循环小数化分数，设埃克斯后乘以10的适当次方消去循环部分。这个转化在代数计算和方程求解中经常用到。
第三，数线的几何直观应用——第4、5、6题。用数线表示范围要分清实心点和空心点；绝对值表示距离，在数线上观察距离最直观；分点公式本质上是加权平均，内外分点要区分。
第四，绝对值不等式——第5题和第8题。两种核心方法：一是换元法，把绝对值内整体看作一个新变量；二是分段讨论法，根据绝对值内表达式的正负分区间讨论。遇到含等号的注意端点取舍。
第五，误差范围的应用题——第10题。统一模型：埃克斯减标准值的绝对值小于等于允许误差。关键是准确计算允许误差的值，注意百分数的转化。
习题1-1覆盖了实数系的各个层次——从数的基本分类到循环小数的精细处理，从绝对值的几何意义到代数运算。这些概念看似零散，其实都围绕一个主题：我们如何精确地描述和表示一个数。掌握了这些，后面的学习就会顺畅很多！
