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格致课堂
第六章 综合检测题
一、选择题
1．向量 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】向量 .
故选：A.
2．【2019年5月10日《每日一题》必修4向量数乘运算及其几何意义】
在四边形ABCD中， ， ， ，则四边形ABCD的形状是
A．长方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
【答案】D
【解析】由题意，因为 ， ， ，
∴ + + ，
∴AD∥BC，且AD≠BC，∴四边形ABCD为梯形，故选D．
3．在平面直角坐标系 中，已知四边形 是平行四边形， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为四边形 是平行四边形，所以 ，所以
，故选D．
4．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则格致课堂
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.
5．在 中，若 ， ， ，则AC边上的高为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知， , .又
.格致课堂
故选B.
6．若平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则向量 的模为（ ）
⃗a ⃗b 60° |⃗b|=4 (⃗a+2⃗b)•(⃗a-3⃗b)=-72 ⃗a
A．2 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【解析】 ， ，又 ，
∵(⃗a+2⃗b)·(⃗a-3⃗b)=-72 ∴|⃗a|2-⃗a·⃗b-6|⃗b|2=-72 ∵⃗a·⃗b=|⃗a|·|⃗b|cos60∘
∴|⃗a|2-2|⃗a|-24=0，则|⃗a|=6，故选C
7．如图，正方形 中， 是 的中点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为 ，
由此， ，故 ，
解得 .故选B.
8．已知向量 满足 ， ，则
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【解析】因为
所以选B.
9.（多选题）设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A.a·c－b·c＝(a－b)·c； B.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
C.|a|－|b|<|a－b|； D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.格致课堂
【答案】A，C，D
【解析】根据向量积的分配律知A正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－
(c·a)·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，
C正确；D正确.故正确命题的序号是A，C，D.
10.（多选题）给出下列四个命题，其中正确的选项有（ ）
A.非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是30°
B.若(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形
C.若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a＋ |(x∈R)取最小值时x＝1
D.若OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m＞
－.
【答案】A，B，C
【解析】A中，令OA＝a，OB＝b.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB.∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴四边形OACB为菱形，∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，即a与a＋b的夹角是30°，故A正确.
B中，∵(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，∴|AB|2＝|AC|2，故△ABC为等腰三角形.故B正确.
C中，∵(2a＋xb)2＝4a2＋4xa·b＋x2b2＝4＋4xcos 120°＋x2＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，故|2a＋xb|取最小值时x
＝1.故③正确.
D中，∵BA＝OA－OB＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，BC＝OC－OB＝(5－m，－3－m)－(6，－3)＝
(－1－m，－m)，又∠ABC为锐角，∴BA·BC＞0，即3＋3m＋m＞0，∴m＞－.又当BA与BC同向共线时，
m＝，故当∠ABC为锐角时，m的取值范围是m＞－且m≠.故D不正确.故选A，B，C.
11.（多选题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论不正确的是（ ）
A．a2＝b2+c2﹣2bccosA B ．＝ C．a＝ D．
【答案】A，B，C
【解析】由在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，知：
在A中，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，故A正确；格致课堂
在B中，由正弦定理得： ，∴asinB＝bsinA，故B正确；
在C中，∵a＝ ，∴由余弦定理得：a＝b× +c× ，
整理，得2a2＝2a2，故C正确；
在 D 中，由余弦定理得 acosB+bcosA＝a× +b× ＝ + ＝
c≠sinC，
故D错误．故选A，B，C.
12.（多选题）在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）
A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3 ，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°
【解析】B，C
【解析】对于A，∵b＝7，c＝3，C＝30°，
∴由正弦定理可得：sinB＝ ＝ ＝ ＞1，无解；
对于B，b＝5，c＝4，B＝45°，
∴由正弦定理可得sinC＝ ＝ ＝ ＜1，且c＜b，有一解；
对于C，∵a＝6，b＝3 ，B＝60°，
∴由正弦定理可得：sinA＝ ＝ ＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；
对于D，∵a＝20，b＝30，A＝30°，
∴由正弦定理可得：sinB＝ ＝ ＝ ＜1，且b＞a，
∴B有两个可能值，本选项符合题意．故选B，C．
二、填空题
13．【贵州省贵阳市第一中学2020届高三上学期第三次月考数学（理)试题】格致课堂
已知 ， ，则 ________．
【答案】
【解析】 ， ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
14．在 中，角 所对的边分别为 .若 ,，则角
的大小为____________________.
【答案】
【解析】由 得 ，所以
由正弦定理 得 ，所以A= 或 （舍去）、
15．如图，在 中， ， 是边 上一点， ，则
．格致课堂
【答案】
【解析】由图及题意得 ， =
∴ =( )( )= +
= = .
16．设 , 是两个不共线的向量, =3 +4 , = -2 .若以 , 为基底表示向量 +2 ,即 +2
λ μ
=λ +μ ,则 = ， = 。
1
−
【答案】 ， 5
【解析】
，解得
三、解答题
17．【北京市海淀区清华大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题】
在 中， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 以及 的值．
【答案】（1） ；（2）7， .格致课堂
【解析】（1）由余弦定理及已知得： .
（2）因为 为三角形内角，
所以 ， ，
由正弦定理得： ，
又∵ ．
，解得 （ 舍）．
．
18．在平面直角坐标系中，已知 ， ， .
（1） 的值.
（2） 的余弦值.
√5
−
【答案】（1） ；（2） 5 .
【解析】（1） ，所以 .
（2）由（1）得 ，
所以 ，
19．如图，渔船甲位于岛屿 的南偏西 方向的 处，且与岛屿 相距 ，渔船乙以格致课堂
的速度从岛屿 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用
追上.
（1）求渔船甲的速度；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）依题意，知 ， ， ， .
在 中，由余弦定理，得
，解得 ，
所以渔船甲的速度为 ；
（2）在 中， ， ， ， ，
由正弦定理，得 ，即 .
20．在▱ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝ BD，求证：M，N，C三点共线．格致课堂
【答案】见解析
【解析】
＝ － .
因为 ＝ ， ＝ ＝ ( ＋ )，
所以 ＝ ＋ － ，
＝ － .
由于 ＝ － ＝ － ，
可知 ＝3 ，即 ∥ .
又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C三点共线
21．已知 ，当 为何值时， 平行时它们是同向还是反向？
【答案】见解析
【解析】因为 ，
当 时，
则 ，解得：
此时 ，
= =格致课堂
= ．
所以 反向．
22．在△ABC中，a＝3，b＝2 ，B＝2A．
（1）求cos A的值；
（2）求c的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】(1)因为a＝3，b＝2 ，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得 ＝ .
所以 ＝ .故cos A＝ .
(2)由(1)知cos A＝ ，所以sin A＝ ＝ .
又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2A－1＝ .
所以sin B＝ ＝ .
在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋
cos Asin B＝ .
所以c＝ ＝5.格致课堂
