1第1课时　柱、锥、台的表面积和体积_化学课件_高中数学必修一二_2020年新改版--高中数学必修2（课件+学案+练习+章末复习）_38．3　简单几何体的表面积与体积

8．3 简单几何体的表面积与体积 第1课时 柱、锥、台的表面积和体积 考点 学习目标 核心素养 了解柱体、锥体、台体的侧面展开 柱、锥、台的表面积 直观想象、数学运算 图，掌握柱体、柱、锥、台的体积 能利用柱体、锥体、台体的体积公 锥体、台体的表面积的 式求体积，理解柱体、锥体、台体 直观想象、数学运算 求法 的体积之间的关系 问题导学 预习教材P114－P117的内容，思考以下问题： 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？ 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？ 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？ 4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？ 5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？ 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 围成它们的各个面的面积的和． 2．棱柱、棱锥、棱台的体积 (1)V ＝Sh；(2)V ＝Sh；V ＝ h ( S ′ ＋＋ S ) ，其中S′，S分别是棱台的上、下底面面 棱柱 棱锥 棱台 积，h为棱台的高． 3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 名称 图形 公式 底面积：S ＝ π r 2 底 侧面积：S ＝ 2 π rl 侧 圆柱 表面积：S＝ 2 π rl ＋ 2 π r 2 体积：V＝ π r 2 l 底面积：S ＝ π r 2 底 侧面积：S ＝ π rl 侧 圆锥 表面积：S＝ π rl ＋ π r 2 体积：V＝ π r 2 h上底面面积：S ＝ π r ′ 2 上底 下底面面积：S ＝ π r 2 下底 侧面积：S ＝ π l ( r ＋ r ′) 侧 圆台 表面积： S＝ π ( r ′ 2 ＋ r 2 ＋ r ′ l ＋ rl ) 体积： V＝ π h ( r ′ 2 ＋ r ′ r ＋ r 2 ) ■名师点拨 1．柱体、锥体、台体的体积 (1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝h. 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S ＝2πrl――→S ＝π(r′＋r)l――→S ＝πrl. 圆柱侧 圆台侧 圆锥侧 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V ＝Sh――→V ＝(S′＋＋S)h――→V ＝Sh. 柱体 台体 锥体 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．( ) (2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．( ) (3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．( ) (4)在三棱锥PABC中，V ＝V ＝V ＝V .( ) PABC APBC BPAC CPAB 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( ) A. B．2 C．3 D．4 解析：选 A．S ＝4S ＝4×＝. 表 正△ 若长方体的长、宽、高分别为 3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( ) A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3 解析：选 B．长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为 3×4×5＝60(cm3)． 圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 6，则其表面积等于( ) A．72 B．42π C．67π D．72π 解析：选 C．S ＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π. 表 柱、锥、台的表面积(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( ) A.倍 B．3 倍 C．2 倍 D．5 倍 (2)已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱 锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( ) A．1∶ B．1∶ C．2∶ D．3∶ (3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长 为 3 ，圆台的侧面积为 84π，则该圆台较小底面的半径为( ) A．7 B．6 C．5 D．3 【解析】 (1)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则由题意可知，l＝2r，于是 S 侧 ＝πr·2r＝2πr2，S ＝πr2，可知选 C. 底 (2)棱锥 B′ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 B′C＝，S ＝. △B′AC 三棱锥的表面积 S ＝4×＝2， 锥 又正方体的表面积 S ＝6. 正 因此 S ∶S ＝2∶6＝1∶. 锥 正 (3)设圆台较小底面的半径为 r，则另一底面的半径为 3r.由 S ＝3π(r＋3r)＝84π，解 侧 得 r＝7. 【答案】 (1)C (2)B (3)A 空间几何体表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计 算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部 分)上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积． 解：法一：设正四棱台为ABCDABC D，如图①.设BF为斜高． 1 1 1 1 1 在Rt△BFB中，BF＝×(8－4)＝2，BB＝8， 1 1 所以BF＝ ＝2， 1 所以S ＝4××(4＋8)×2 正棱台侧 ＝48.① 法二：设正四棱台为ABCDABC D ，延长正四棱台的侧棱交于点P，作面PBC上 1 1 1 1 的斜高PE，交BC 于E，如图②. 1 1 1 设PB＝x，则＝， 1 解得x＝8. 所以PB＝BB＝8， 1 1 所以E 为PE的中点， 1 又PE＝＝ ＝2， ② 1 所以PE＝2PE＝4. 1 所以S ＝S －S 正棱台侧 大正棱锥侧 小正棱锥侧 ＝4××8×PE－4××4×PE 1 ＝4××8×4－4××4×2 ＝48. 柱、锥、台的体积 如图所示，正方体ABCDABC D 的棱长为a，过顶点B，D，A 截下一个三棱 1 1 1 1 1 锥． (1)求剩余部分的体积； (2)求三棱锥AABD的体积及高． 1 【解】 (1)V三棱锥AABD＝S ·AA 1 △ABD 1 ＝×·AB·AD·AA＝a3. 1 故剩余部分的体积 V＝V －V三棱锥AABD＝a3－a3＝a3. 正方体 1 (2)V三棱锥AABD＝V三棱锥AABD＝a3. 1 1 设三棱锥AABD的高为h， 1 则V三棱锥AABD＝·S△ABD·h 1 1 ＝××(a)2h＝a2h， 故a2h＝a3， 解得h＝a.求几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接代入公式求解． (2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的 形式即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． [提醒] 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准 确求出几何体的高和底面积． 1．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16π，则圆锥的体积是( ) A. B. C．64π D．128π 解析：选 A．作圆锥的轴截面，如图所示．由题设，在 △PAB中， ∠APB＝90°，PA＝PB. 设圆锥的高为 h，底面半径为 r， 则 h＝r，PB＝r. 由 S ＝π·r·PB＝16π， 侧 得πr2＝16π.所以 r＝4.则 h＝4. 故圆锥的体积 V ＝πr2h＝π. 圆锥 2．圆柱的侧面展开图是长 12 cm，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A. cm3 B. cm3 C. cm3或 cm3 D．192π cm3 解析：选 C．当圆柱的高为 8 cm时， V＝π××8＝(cm3)，当圆柱的高为 12 cm时， V＝π××12＝(cm3)． 3．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该 模型为长方体ABCDABC D 挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中 1 1 1 1 心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA＝4 cm.3D打印所用原料密度 1 为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g. 解析：由题易得长方体ABCDABC D 的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为 1 1 1 1 平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC B 面积的一 1 1 半，即×6×4＝12(cm2)，所以V ＝×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－ 四棱锥OEFGH12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)． 答案：118.8 组合体的表面积和体积 如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表 面积． 【解】 设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S. 则 R＝OC＝2，AC＝4， AO＝＝2. 如图所示， 易知△AEB∽△AOC， 所以＝，即＝，所以 r＝1， S ＝2πr2＝2π，S ＝2πr·h＝2π. 底 侧 所以 S＝S ＋S ＝2π＋2π 底 侧 ＝(2＋2)π. 1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比． 解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r＝1，高 h＝，所以圆柱的体积 V＝πr2h＝ 1 π×12×＝π. 圆锥的体积 V＝π×22×2＝π. 2 所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8. 2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积． 解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r＝1，下底面半径 R＝2，高 h＝，母线 l ＝2，所以圆台的表面积 S＝π(r2＋R2＋r·l＋Rl)＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π. 圆台的体积 V＝π(r2＋rR＋R2)h＝π(12＋2＋22)×＝π. 3．[变条件、变问法]本例中的“高为”改为“高为 h”，试求圆柱侧面积的最大值． 解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r， 则 R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2. 如图所示易知△AEB∽△AOC， 所以＝， 即＝， 所以 h＝2－r， S ＝2πrh＝2πr(2－r) 圆柱侧 ＝－2πr2＋4πr， 所以当 r＝1，h＝时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 2π. 求组合体的表面积与体积的步骤 (1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量． (2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理， 利用“切割”“补形”的方法求体积． (3)计算求值：根据设计的计算方法求值． 1．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 4 的正方形，EF∥AB，EF ＝2，EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积． 解：如图，连接 EB，EC.四棱锥 EABCD 的体积 V ＝×42×3＝16. 四棱锥 EABCD 因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S ＝2S .所以V △EAB △BEF 三棱锥 FEBC ＝V ＝V 三棱锥 CEFB 三棱锥 CABE ＝V ＝×V ＝4. 三棱锥 EABC 四棱锥 EABCD 所以多面体的体积 V＝V ＋V ＝16＋4＝20. 四棱锥 EABCD 三棱锥 FEBC 2．如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何 体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，求该几何体的体积． 解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆 柱的体积为 π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为 10π.1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1，2，3，则该长方体的表面积为( ) A．22 B．20 C．10 D．11 解析：选A.所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22. 2．正三棱锥的高为3，侧棱长为2，则这个正三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V＝××32×3＝.故选D. 3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体 的侧面积之比是________． 解析：圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x，5x，则中截面半 径为4x，设上台体的母线长为l， 则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S ＝π(3x＋4x)l＝7πxl，下台体侧面积S ＝π(4x 1 2 ＋5x)l＝9πxl，所以S∶S＝7∶9. 1 2 答案：7∶9 4.如图，三棱台 ABCABC 中，AB∶AB ＝1∶2，求三棱锥 1 1 1 1 1 AABC，三棱锥BABC，三棱锥CABC 的体积之比． 1 1 1 1 1 1 解：设棱台的高为h，S ＝S，则S△ABC ＝4S. △ABC 1 1 1 所以VAABC＝S ·h＝Sh， 1 △ABC VCABC ＝S△ABC ·h＝Sh. 1 1 1 1 1 1 又V ＝h(S＋4S＋2S)＝Sh， 台 所以VBABC＝V －VAABC－VCABC 1 1 台 1 1 1 1 ＝Sh－－＝Sh， 所以体积比为1∶2∶4. [A 基础达标] 1．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A．1∶2 B．1∶ C．1∶ D.∶2 解析：选C.设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，所以其母线长l＝r.所以S ＝πrl＝πr2， 侧 S ＝πr2，S ∶S ＝1∶. 底 底 侧 2.如图，ABCA′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥CAA′B′B的 体积是( ) A. B.C. D. 解析：选C.因为V CA′B′C′ ＝V ＝， ABCA′B′C′ 所以V ＝1－＝. CAA′B′B 3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O ，O ，过直线OO 的 1 2 1 2 平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A．12π B．12π C．8π D．10π 解析：选B.设所截正方形的边长为 a，则 a2＝8，即 a＝2.所以圆柱的母线长为 2， 底面圆半径 r＝，所以圆柱的表面积为 2π×2＋π()2×2＝8π＋4π＝12π. 4.如图，正方体ABCDABC D 的棱长为1，点P是面ABC D 1 1 1 1 1 1 1 1 内任意一点，则四棱锥PABCD的体积为( ) A. B. C. D. 解析：选B.因为正方体ABCDABC D 的棱长为1， 1 1 1 1 点P是面ABC D 内任意一点， 1 1 1 1 所以点P到平面ABCD的距离d＝AA＝1， 1 S ＝1×1＝1， 正方形ABCD 所以四棱锥PABCD的体积为： V ＝×AA×S ＝×1×1＝. PABCD 1 正方形ABCD 故选B. 5．(2019·临川检测)一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处 于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E， F，F，E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( ) 1 1 A. B. C．2 D. 解析：选 D．因为 E，F，F ，E 分别为所在棱的中点，所以棱柱 EFCBEFC B 的 1 1 1 1 1 1 体积 V＝S ×3＝S ×3＝S .设甲中水面的高度为 h，则 S ×h＝S ，解得 梯形EFCB △ABC △ABC △ABC △ABC h＝，故选 D. 6．已知圆柱 OO′的母线 l＝4 cm，表面积为 42π cm2，则圆柱 OO′的底面半径 r＝ ______cm.解析：圆柱 OO′的侧面积为 2πrl＝8πr(cm2)，两底面面积为 2×πr2＝2πr2(cm2)， 所以 2πr2＋8πr＝42π， 解得 r＝3 或 r＝－7(舍去)， 所以圆柱的底面半径为 3 cm. 答案：3 7．表面积为 3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为 ________． 解析：设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且 πl＝ 2πr.解得 r＝1，即直径为 2. 答案：2 8．圆柱内有一个内接长方体 ABCDABC D ，长方体的体对角线长是 10 cm，圆柱 1 1 1 1 的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是 100π cm 2，则圆柱的底面半径为______cm，高为 ______cm. 解析：设圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角 线长等于它的内接长方体的体对角线长，则： 所以 即圆柱的底面半径为 5 cm，高为 10 cm. 答案：5 10 9．如图，已知正三棱锥 SABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO＝3，求 此正三棱锥的表面积． 解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h′，过点 O 作 OE⊥AB，与 AB 交于点 E，连接 SE，则 SE⊥AB， SE＝h′. 因为 S ＝2S ， 侧 底 所以 3×·a·h′＝a2×2.所以 a＝h′. 因为 SO⊥OE， 所以 SO2＋OE2＝SE2. 所以 32＋＝h′2. 所以 h′＝2，所以 a＝h′＝6. 所以 S ＝a2＝×62＝9， 底 S ＝2S ＝18. 侧 底 所以 S ＝S ＋S ＝18＋9＝27. 表 侧 底 10．若 E，F 是三棱柱 ABCABC 侧棱 BB 和 CC 上的点，且 BE ＝CF，三棱柱 1 1 1 1 1 1 的体积为 m，求四棱锥 ABEFC 的体积． 解：如图所示， 连接 AB，AC . 1 1 因为 BE ＝CF， 1 所以 梯形 BEFC 的面积等于梯形 BEFC 的面积． 1 1 又四棱锥 ABEFC 的高与四棱锥 ABEFC 的高相等， 1 1 所以 V ＝VABEFC ABEFC 1 1 ＝VABBC C. 1 1 又 VA ABC ＝S△ABC ·h， 1 1 1 1 1 1 VABCABC ＝S△ABC ·h＝m，所以 1 1 1 1 1 1 VAABC ＝， 1 1 1 所以 VABBC C＝VABCABC －VAABC ＝m. 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 V ＝×m＝， ABEFC 即四棱锥 ABEFC 的体积是. [B 能力提升] 11．(2018·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单 位：cm3)是( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选 C．由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 V＝×(1＋2)×2×2＝6.故选 C. 12．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信 的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多 面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现 了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的 表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________． 解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后 6个面都在正方体的 表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面 体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面 体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1. 答案：26 －1 13．用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所 需纸的最小面积是________． 解析：如图①为棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平 面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长 为 2，其面积为 8. 答案：8 14．如图所示，已知三棱柱ABCA′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′ 的距离是a，求证：三棱柱ABCA′B′C′的体积V＝Sa. 证明：法一：如图所示，连接A′B，A′C，这样就把三棱柱分割成 了两个棱锥．显然三棱锥A′ABC的体积是V，而四棱锥A′BCC′B′的体积为Sa，故有V＋Sa＝V， 所以三棱柱ABCA′B′C′的体积V＝Sa. 法二：如图所示，将三棱柱 ABCA′B′C′补成一个四棱柱 ACBD- A′C′B′D′，其中AC∥BD，AD∥BC，即ACBD为一个平行四边形，显然三 棱柱ABDA′B′D′的体积与原三棱柱ABCA′B′C′的体积相等． 因为四棱柱ACBDA′C′B′D′以BCC′B′为底面，高为点A′到面BCC′B′的 距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa，于是三棱柱ABCA′B′C′的体积V＝Sa. [C 拓展探究] 15．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓 库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐． 现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底 面直径不变)． (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪种方案更经济些？ 解：(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V，V. 1 2 方案一：仓库的底面直径变成16 m，则其体积V＝×π××4＝π(m3)； 1 方案二：仓库的高变成8 m，则其体积V＝×π××8＝96π(m3)． 2 (2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S，S. 1 2 方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m， 此时圆锥的母线长为l＝＝4(m)， 1 则仓库的表面积S＝π×8×(8＋4) 1 ＝(64＋32)π(m2)； 方案二：仓库的高变成8 m，此时圆锥的母线长为l＝＝10(m)， 2 则仓库的表面积S＝π×6×(6＋10) 2 ＝96π(m2)． (3)因为V＞V，S＜S， 2 1 2 1 所以方案二比方案一更加经济．