夜雨聆风
三、加乘原理及数字问题
9、爸爸、妈妈带小高去吃西餐．餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点．如果小高想要点1种主食和1种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限．请问：小高一共有多少种点菜方法？
【解析】
小高可点的菜分成四种：主食，主菜，汤，甜点，这四种菜之间是搭配的关系．
第一步，挑选主食． 餐厅里有米饭和面条这2种主食，必须从中选择一种，有2种选择方法．
第二步，挑选主菜．餐厅里有3种主菜，必须从中选择一种，有3种选择方法．
第三步，挑选汤．汤类虽然只有1种，但是可以点也可以不点，点与不点这恰好是2种选择方法．
第四步，挑选甜点．甜点有2种，既可以两个都选，又可以只选其一，还可以两个都不选．那么甜点的选择有4种方法：蛋糕和布丁都点，二者都不点，只点蛋糕，只点布丁．
根据乘法原理，得小高一共有2*3*2*4=48种点菜方法．
10、从1，2，3，……，9，10中选出三个数，使得其中有且仅有两个数相邻，则不同的取法共有多少种？
【解析】
法一：1、2相邻，共7种；2、3相邻，共6种；3、4相邻，共6种；……8、9相邻，共6种；9、10相邻，共7种．综上所述，共56种．
法二：我们可以利用插空法和乘法原理，共有56种．
法三：我们也可以用排除法解决，从10个数中任意选3个数共有120种，其中任意两个数都不相邻的有56种，三个数都相邻的有8种．所以有且仅有两个数相邻的取法有120-56-8=56种．
11、一些数字问题：
（1）0、1、2、3、4可以组成__________个没有重复数字的三位数．
（2）1个0、1个1、2个2、2个3能组成_________个不同的六位数．
（3）0~6共七个数字，可以组成很多没有重复数字的四位数，3102是从小到大数的第_________个．
（4）1000~9999中含有数字5的自然数_________个．
【解析】
（1）利用乘法原理，首位数字不能为0，共有4*4*3=48个没有重复数字的三位数．
（2）因为首位数字不能为0，所以先排1个0，共有150个不同的六位数．
（3）千位数字分别是1和2时，都比3012小，这样的四位数共有240个．当千位数字是3，百位数字是0时，也比3102小，这样的四位数有20个．所以3102是从小到大的第240+20+1=261个数．
（4）利用排除法，不含数字5的四位数有8*9*9*9=5832个，所以含有数字5的自然数有9000-5832=3168个．
12、从1~20中选出两个数，和是5的倍数，一种多少种选法？
【解析】
1~20除以5的余数为0、1、2、3、4的各有4个，两数之和是5的倍数，这两个数除以5的余数有这三类情况：（1）余数都是0，6种；（2）一个余数是1，一个余数是4，16种；（3）一个余数 是2，一个余数是3，16种．所以总共6+6+16=38种．
13、从1~20中选出两个数，乘积是9的倍数，一共_______种选法．
【解析】
1~20中3的倍数有6个（其中9的倍数有2个），那么乘积是9的话，可以选一个9的倍数和一个非三的倍数28，或者两个3的倍数15，则总共28+15=43种．
14、银行ATM机取款时需要输入银行卡密码后才能进入下一步操作，密码是000000到999999中某一个六位数码．小勇取钱时忘记了密码，只记得密码中有1、3、5、7、9并且没有别的数字．如果不限制输错密码的次数，他至少输入__________次密码才能保证进入下一步．
【解析】
首先选出一个重复数字，共5种方法，然后排列，共有360种方法，共有5*360=1800种．
15、在所有的三位数中，能够被9整除，而且三个数字恰好能构成等差数列（可以改变顺序，如567、756）的共有__________个．
【解析】
三个数字的和为中间数的3倍，所以三个数的中间数只能是3或6或9，以数字3为中间数的数组为（0,3,6），（1,3,5），（2,3,4），（3,3,3），共能组成17个不同的三位数．同理，可算出中间数字是6、9的情况下分别有19个和1个符合要求的三位数，最终一共算得37个．
四、排列组合
17、用0、1、2、3、4这五个数字能组成__________个没有重复数字的四位偶数．
【解析】
四位偶数按照末位是0和不是0分为两类：
末位是0时，另位三位从四个数字中选择有24种；
末位是2或4时，千位有3种选择，百位和十位从余下三个数字中选择有6种，共2*3*6=36种．
综上所述，一共有24+36=60个没有重复数字的四位偶数
18、有甲、乙、丙、丁四人过河，河上有一条小船，每次只能坐两个人，这样每次就必须有一人把船划回来接剩下的人．那么四人过河有__________方式．
【解析】
先四人中选两人过，然后两人中一人回来；然后三人中选两人过，之后对岸三人中一人回来；最后两人过去．所以总共有108．
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