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最短路线
在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。
比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一
条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路
而达到目的地，等等。这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短
路线问题”。
典型例题
例[1] 假如直线AB是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下
图1。现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽
车站的路线之和最短。问：车站应该建在什么地方？
甲村 甲村
A B A B
分析 如果只考虑乙 甲村
村
的人距离公路 AB最近，只要由甲村向
乙
公
村
路AB画一条垂直线，交AB于C点，那么C点是甲村到公路AB最近
图1 图2
的点，但是乙村到C点就较远了。
反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙
村到公路AB最近的点。但是这时甲村到公路AB的D点又远了。
因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的
人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两
个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条
直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。
解 用直线把甲村、乙村连起来。因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路 AB有一个交点，设这个交点为 P，那么在P
点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。
例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各
段街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。问：
走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？
1 2 4 2 1
分析 选择最短的路线最合理。那么，什么路线最短呢？3一笔画
路线应该是最短的。邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问
题，就是从偶点出发，回到偶点。因此，要能一笔把路线画出来，必须
途径的各点全是偶点。但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有
街道而又不走重复的路是不可能的。要使邮递员从邮局出发，仍回到
邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复
走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。如果有不
同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。
为使8个奇点变成偶点，我们可以用图 4的4种方法走重复的
1 2 4 2 1 1 2 4 2 1
路线。
3 3
( a ) ( b )
1 2 4 2 1 1 2 4 2 1
3 3
图4中添虚线的地方，就是重复走的路线。重复走的路程分别为：
（a）3×4=(1 2c（ ) 千米）
( d )
（b）3×2＋2×2=10（千米） 图4
（c）2×4=8（千米）（d）3×2＋4×2=14（千米）
当然，重复走的路程最短，总路程就最短。从上面的计算不难找
出最合理的路线了。
解 邮递员应按图4（c）所示的路线走，这条路重复的路程最短，
所以最合理。全程为：
（1＋2＋4＋2＋1）×2＋3×6＋2×4
=20＋18＋8
=46（千米）
例[3] 图 5 中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有
街道。小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的
方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线？
北
小明家
分析 为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图6）。
A B F
E F
小明家
我们从小明家出发，顺序往前推。由于从小明家到A、B、C、D各处都
D E F 学校
是沿直线行走，所以都只有一种走法。我们分别在交叉点处标上
“1”。而从小明家到E处，就有先到A或先到D的两种走法，正好是
两个对角上标的数1+1的和。从小明家到F点，则有3条路线，又正好
北
是
小
两
明
个 家对角上标的数1+2的和。
标在各交叉点的
A
数，就是依次B顺序推出的C到各交叉点能有多少种
不同的路线的数。从中我们可以看出，每个格内上右角与下左角两个
1 1 1
对角上的数的和，正好等于下右角上的数。
解 1从小明家到2 学校有13条3不同的路线。4 如图7所示。
D E F G 4 H
2 5 9 13
M K
N
学校图7
小结
寻找最短路线，不应该走“回头路”。要按照一定的逻辑
次序来排列可能路线，既要做到不重复数，也不漏数。对比较复杂的图
形，可以借助图表来寻找路线。
