高中数学等差数列与物理匀变速直线运动,藏着牛顿《原理》的极限思想

在读这篇文章的过程之中，你将跨越三百多年的时空与牛顿相会，也许你将从此改变对高中数学和物理的看法。

让我们一起见证，看似普通的公式背后，到底隐藏着怎样壮阔的思想历程。

一天早晨，我蹲厕所时，正盯着等差数列的公式看，突然发现了一个有意思的现象！

高中物理中的匀变速直线运动，本质上不就是高中数学里的等差数列吗？

你看，速度对应项的值，时间对应项数，加速度就是公差！它们只是换了个符号而已！

等差数列的通项公式：aₙ= a₁ + (n-1)d

匀变速直线运动的速度公式：Vₜ = V₀+ at

第 n 项的值aₙ，对应第 t 秒的速度Vₜ

首项 a₁，对应初速度 V₀

项数n-1，对应时间间隔t

公差 d，对应加速度a

顺着这个逻辑，等差数列的前 n 项和，自然就应该对应物理中的匀变速直线运动的总位移。简直完美对称！对不对？

果真如此，那我们就是为等差数列的前 n 项和找到了物理图像，岂不美哉！

我们把 aₙ= a₁ + (n-1)d 代入等差数列 {aₙ} 的前 n 项和公式Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2，

不对劲呀！按照符号一一对应之后，数学求出来的位移与物理公式相比，居然平白无故减少了 (1/2)nd 。

也就是说，如果把等差数列数列 {aₙ} 的前 n 项和公式改造成为匀变速直线运动的位移公式，也就是把它翻译成物理语言，按照对应关系，数学算出来的位移应该是:

X = V₀t + 1/2at² - 1/2at

这个减少的 1/2at 到底是什么鬼？

它凭什么在物理公式中就消失了？

我们画出以上这幅等差数列与匀变速直线运动关系的v—t图像，就能看出原因了。

其实，二者所相差的 1/2at，揭示出了隐藏在人类科学史上最伟大的秘密。

在纯数学的等差数列里，我们把时间按一秒一秒进行离散切割，并假设速度在每一秒内是阶梯式跳跃的，就像一个个硬方块；而在真实的物理世界中，时间与速度都是连续流逝的！

那些硬方块组合起来，顶部比连续流逝的物理图像缺掉了（漏掉了）一个个小三角形的面积。这减少的 1/2at，正好就是这些小三角形的总面积！

注：

每个小三角形的底是时间间隔，也就是 1 秒

每个小三角形的高是这一秒内速度的增量，也就是加速度a

因此，单个小三角形的面积就是 1/2 × 1 × a

到了第 t 秒时，一共经历了 t 个时间间隔，也就漏掉了 t 个这样的小三角形，它们拼起来的总面积，正好就是 1/2at，也就是数学公式里少算的 (1/2)nd

其实，牛顿在 300 多年以前，就已经画出了那相差的 1/2at 。

你看，牛顿在下边图像中所画的那根曲线，就是连续运动的物体的轨迹；而曲线下面那一个个突出来的长方形，正是那些“硬方块”！

郑太朴1931年翻译的《自然哲学之数学原理》

牛顿写道：如果我们把这些长方形的底边，也就是时间间隔，“减小至无限小”时，外切长方形和内切长方形的差，也就是那些相差的边角料三角形，就会“小于任何可知之数”。

这就是大名鼎鼎的极限思想！

只要我们把时间切得足够细，让时间间隔无限逼近于 0，这些相差的边角料就会彻底消失！离散的硬方块，就会完美地融化、拼贴成那条连续的物理位移曲线。

所以你再回头看，高中数学和物理中的这些公式，是不是突然觉得它们没有那么枯燥了？

当我们发现，看上去长得很像的等差数列公式与匀变速直线运动公式，其实二者之间存在着离散与连续的巨大鸿沟时，我们已穿越了三百多年的时光，体会到了牛顿当年徘徊在书桌前所纠结的极限思想。

所以，高中数学和物理真正有意思的地方，其实并不在于公式本身，而在于当你真正追问一句：“为什么?”的时候。

你就会发现，一个看似普通的高中公式，背后竟然隐藏着人类科学史上一段如此壮阔的思想历程。

《数学觉醒：学会更清晰地思考》:

“没人真正教过我们擅长数学的方法。我们只能听天由命，偶然发现这种方法的零星碎片。但人们通常什么都发现不了，因为这种方法的某些要点令人震惊且颠覆直觉，我们一不小心就会失之交臂。大数学家的大脑与我们的大脑没什么不同。但他们的个人经历，以及体验世界的方式，使他们从小就有机会熟悉这种方法。也许，他们在偶然之间无意中找到了这种方法，纯靠运气。”