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专题 02 常见的非匀变速直线运动模型
目录
【模型一】 小球弹簧（蹦极、蹦床）模型....................................................................................................1
1.力与运动-----下落的“三段四点”：.....................................................................................................2
2.四个图像...................................................................................................................................................2
3.等效模型一:恒力推弹簧连接的两物体问题..........................................................................................2
4.等效模型二:蹦极运动问题......................................................................................................................2
5.功能变化及图像.......................................................................................................................................3
【模型二】“f=kv”运动模型...........................................................................................................................14
1.运动特点分析-------“另类匀变速运动”：..........................................................................................14
2.“另类匀变速运动”的动量特征...........................................................................................................15
3.流体的变加速运动问题.........................................................................................................................16
【模型三】“F随x均匀变化与F随t均匀变化”运动模型.......................................................................26
【模型四】 机车启动模型..............................................................................................................................35
1.以恒定功率启动.....................................................................................................................................35
2.以恒定加速度启动.................................................................................................................................35
3.三个重要关系式.....................................................................................................................................36
4． 倾斜、竖直机车启动问题................................................................................................................36
【模型一】 小球弹簧（蹦极、蹦床）模型
【模型构建】如图所示，地面上竖立着一轻质弹簧，小球从其正上方某一高度处自由下落到弹簧上．从小
球刚接触弹簧到弹簧被压缩至最短的过程中（在弹簧的弹性限度内），的运动问题、能量转换问题、动量
变化问题。
【模型要点】1.力与运动-----下落的“三段四点”：
[来源:学科网]
2.四个图像
v-t图 a-t图 F-t图 a-x图
3.等效模型一:恒力推弹簧连接的两物体问题
F
P Q v
恢复原长
Q
P P
速度相等，
压缩量最大
Q
0
t
加速度相等，速度差最大
4.等效模型二:蹦极运动问题
如图所示是蹦极运动的简化示意图，弹性绳一端固定在O点，另一端系住运动员，运动员从O点自由下落，
A点处弹性绳自然伸直．B点是运动员受到的重力与弹性绳对运动员拉力相等的点，C点是蹦极运动员到达
的最低点，运动员从O点到C点的运动过程中忽略空气阻力。
5.功能变化及图像
竖直小球砸弹簧 倾斜小球砸弹簧 水平弹簧推小球E E E
E Q
- E P弹 - E - E
- P重 - P重 E P弹 - P弹
- - E K - - E K Q - - E K
O A B C x O A B C x O A B C x
【模型演练1】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）如图所示，竖直平面内固定一倾斜的光滑绝缘杆，轻质绝
缘弹簧上端固定，下端系带正电的球A，球A套在杆上，杆下端固定带正电的球B。现将球A从O点由静
止释放，此时弹簧弹力为零，球A运动到P点返回。关于球A说法正确的是（ ）
A．向下运动时，加速度随位移变化越来越快
B．向下运动到OP中点时速度最大
C．向下运动过程中机械能一直增大
D．在OP间做简谐运动
【答案】A
【详解】A．设A、B小球分别带电量为q、q，释放A球时A、B间距为r，弹簧的劲度系数为k，小球A
1 2
运动到最低点的过程中，受力分析如图所示
加速阶段，根据牛顿第二定律得解得
对a 求导得
1
所以在加速阶段，加速度随位移x的增加而减小，且加速减小得越来越快。
减速阶段，根据牛顿第二定律得
解得
对a 求导得
2
在减速阶段加速度随位移x的增加而增大，且加速度增加得越来越快，故A正确；
BD．小球先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，越向下运动，弹力和电场力越大，所
以减速阶段速度减小的更快，速度减为零的时间更短，和加速阶段不对称；向下运动到OP中点下方某处
时速度最大，小球在OP间不做简谐运动，故BD错误；
C．小球向下运动过程中，由于要克服电场力、弹簧弹力做功，所以球A的机械能逐渐减小，故C错误。
故选A。
【模型演练2】．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）如图甲，倾角为 的光滑斜面上，轻弹簧平行斜
面放置且下端固定，一质量为m的小滑块从斜面上O点由静止滑下。以O点为原点，作出滑块从O下滑
至最低点过程中的加速度大小a随位移x变化的关系如图乙。弹簧形变始终未超过弹性限度，重力加速度
大小为g，下列说法正确的是（ ）A．弹簧的劲度系数为
B．下滑过程中，在 处，滑块的机械能最大
C．在 和 两段过程中， 图线斜率的绝对值均等于
D．在 和 两段过程中，弹簧弹性势能的增量相等
【答案】C
【详解】A．由图可知，当小球下落到 时，加速度为零，即弹力与重力大小相等，此时弹簧的形变量为
，则有
解得
A错误；
B．对小滑块和弹簧组成的系统进行分析，由于只有重力和弹力做功，则系统机械能守恒，当弹簧的弹性
势能最小，小滑块的机械能最大，故当小滑块下落到 时，弹簧处于原长，弹性势能为零，为最小，则此
时小滑块的机械能最大，B错误；
C．在 的过程中，重力大于弹力，根据牛顿第二定律有
又由A项可知联立解得
由图可知，当 时
联立解得
即为该段图线的斜率绝对值；在 过程中，弹力大于重力，根据牛顿第二定律有
又
联立解得
由图可知，当 时
联立解得
即为该段图线的斜率绝对值，故可得在 和 两段过程中， 图线斜率的绝度值均等于
，C正确；
D．由图可知， 的距离差小于 两的距离差，可得弹簧弹性势能的增量不相等，D错误。
故选C。
【模型演练3】．（2023·山东·高三专题练习）如图所示，一轻弹簧左端固定，右端连接一物块，置于粗糙
的水平面上。开始时弹簧处于原长，现用一恒力F将物块由静止向右拉动直至弹簧弹性势能第一次达到最大。在此过程中，关于物块的速度v、物块的动能 、弹簧的弹性势能 、物块和弹簧的机械能E随时间
t或位移x变化的图像，其中可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A．根据牛顿第二定律知
从原长到速度最大的过程中，弹力一直增大，加速度一直减小到0，所以速度增加得越来越缓慢，故A错
误；
B．根据
可知，合力一直减小到零，故B错误；
C．机械能的增加量等于除重力和弹簧弹力以外的其他力做功，则
则E-x图像斜率不变，由此可知C错误；
D．从原长到速度最大的过程中，弹力的形变量大小等于位移，弹力方向不变，大小随位移均匀增大，则
由此可知D正确。
故选D。【模型演练4】．（2023·北京·高三专题练习）“蹦极”运动中，将一根有弹性的绳系在蹦极者身上，另一
端固定在跳台上，人从几十米高处跳下。将蹦极过程简化为人沿竖直方向的运动。不计空气阻力的影响。
从绳刚好伸直时，到人第一次下降至最低点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．人先处于超重状态，后处于失重状态
B．绳对人的拉力始终做负功，人的动能先增大后减小
C．绳对人的冲量始终向上，人的动量先减小后增大
D．人的动能的减少量等于绳的弹性势能的增加量
【答案】B
【详解】AB．开始阶段，绳子弹力小于重力，则加速度向下，人处于失重状态，速度增加；以后阶段，弹
力大于重力，加速度向上，人处于超重状态，速度减小，绳子对人的拉力方向始终向上，对人做负功，人
的动能先增加后减小，选项A错误，B正确；
C．绳子对人的拉力方向始终向上，则绳对人的冲量始终向上，人的动量先增大后减小，选项C错误；
D．由能量关系可知，人的动能的减少量与重力势能减小量之和等于绳的弹性势能的增加量，选项D错误。
故选B。
【模型演练5】（2023·北京·高三专题练习）如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，质量为m的小球
从A点自由下落，至B点时开始压缩弹簧，小球下落的最低位置为C点。以B点为坐标原点O，沿竖直向
下建立x轴，小球从B到C过程中的加速度一位移图像如图乙所示，重力加速度为g。在小球从B运动到
C的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球在B点时的速度最大
B．小球在C点时所受的弹力大于
C．图像与x轴所包围的两部分面积大小相等
D．小球的动能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大
【答案】B【详解】A．小球在B点时，合力为重力，合力和速度同向，会继续加速，B点时的速度不是最大。A错
误；
B．小球若从B点由静止释放，到达最低点时，由对称性，最低点加速度向上，大小为
小球从A点自由下落，小球在C点时，弹力比上述情况要大，加速度向上，大于 。由牛顿第二定律
则
B正确；
C．设在D点，弹力和小球重力平衡，D点速度为 ，由微元法可知图像与x轴所包围的上部分面积
图像与x轴所包围的下部分面积
因为
得
C错误；
D．小球和弹簧、地球组成的系统机械能守恒，小球从B运动到C的过程中，小球的重力势能一直在减小，
小球的动能与弹簧的弹性势能之和一直在增大。D错误。
故选B。
【模型演练6】（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）如图所示，光滑固定斜面底
端固定一轻质弹簧，一滑块P从O点静止释放，向下滑动过程经a点接触弹簧，最低到达b点处。以O为
原点、平行斜面向下为x轴正方向建立一维坐标系，a、b处坐标分别为x、x。设滑块在b处重力势能为
1 2
0，下滑过程中，滑块的动能E、重力势能E、机械能E、加速度a随位移x的变化图像符合实际的是（
k p
）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A．设斜面倾角为θ，滑块接触弹簧前，在经过一小段位移 过程中，由动能定理有
有
故动能随位移均匀增加，滑块接触弹簧后，再经过一小段位移 过程中，由动能定理有
有
由于 逐渐增加，故图线斜率变化，不符合A项的 图像，故A错误；
B．取整个过程中任一小段位移 ，由功能关系有
有故图线斜率不变，重力势能随位移均匀减小，不符合B项的 图像，故B错误；
C．滑块的机械能是否改变取决于除重力外有无其他外力做功，接触弹簧前滑块机械能守恒，接触弹簧后
到最低点过程中，弹簧弹力对滑块做负功，滑块机械能减小。不符合C项的的 图像，故C错误；
D．由牛顿第二定律，滑块接触弹簧前，有
得
加速度不变，接触弹簧后，有
有
加速度随位移线性变化，故符合D项的图像，故D正确。
故选D。
【模型演练7】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一轻质弹簧固定在斜面底端，t=0时刻，一物块
从斜面顶端由静止释放，直至运动到最低点的过程中，物块的速度v和加速度a随时间t、动能E 和机械能
k
E随位移x变化的关系图像可能正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】A．在接触弹簧前，物块的速度v随着时间均匀增加，接触弹簧后，在达到最大速度前，做加速
度减小的加速运动，达到最大速度后，做加速度增大的减速运动，直到停止，故A正确；
B．在接触弹簧前，加速度恒定，刚接触弹簧后的加速度大小为
达到最大速度后，设此时弹簧的型变量为
其中
设物块与弹簧接触前运动了 ,物块从释放到运动到最低点
整理得
有
因此
故B错误；
C．由动能定理，在接触弹簧前，物体沿着斜面下滑的位移为x
动能随着位移线性增加，接触弹簧后，在达到最大速度前，做加速运动，物块的动能随着位移是增加的，
达到最大速度后，做减速运动，动能随着位移的增加而减少，故C错误；D．在接触弹簧前，只有摩擦力做负功，物体的机械能减少
在接触弹簧后，有摩擦力和弹簧弹力做负功，物体的机械能随位移减少的规律如下
是开口向下的抛物线的一段，故D错误。
故选A。
【模型演练8】．（2023·高三课时练习）如图所示，轻弹簧下端固定在水平面上。一个小球从弹簧正上方
某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度后停止下落。在小球下落的这一全过
程中，下列说法中正确的是（ ）
A．小球刚接触弹簧瞬间速度最大
B．从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上
C．从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小
D．从小球接触弹簧到到达最低点，小球受到的弹力先减小后增大
【答案】C
【详解】AB．小球刚接触弹簧瞬间具有向下的速度，开始压缩弹簧时，重力大于弹力，合力竖直向下，加
速度方向竖直向下，与速度方向相同，小球做加速度运动，当小球所受的弹力大于重力时，合力竖直向上，
加速度竖直向上，与速度方向相反，小球开始做减速运动，则当弹力与重力大小相等、方向相反时，小球
的速度最大，AB错误；
C．由上分析可知，从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小，C正确；
D．从小球接触弹簧到到达最低点，弹簧的压缩量一直增大，由胡克定律可知，小球受到的弹力一直增大。
D错误。
故选C。
【模型演练9】（2023·江苏·模拟预测）如图甲所示，航天员在半径为R的某星球表面将一轻弹簧竖直固定
在水平面上，把质量为m的小球P（可看作质点）从弹簧上端h处（h不为0）由静止释放，小球落到弹簧
上后继续向下运动直到最低点。从接触弹簧开始的小球加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示，其中a、h和x 为已知量，空气阻力不计。下列说法正确的是（ ）
0 0
A．星球的第一宇宙速度 B．该弹簧劲度系数k的大小
C．小球在最低点处加速度大于a D．弹簧的最大弹性势能为
0
【答案】C
【详解】A．根据图像可知小球接触弹簧时的加速度为a，所以星球表面的重力加速度为
0
所以第一宇宙速度为
故A错误；
B．当压缩量为x 时加速度为0，故
0
所以
故B错误；
C．根据
可知，若小球从弹簧原长处释放到最底部时小球的加速度为
在h>0情况下，小球到最低点的加速度大于a，故C正确；
0
D．小球下降到最低点的高度差根据机械能守恒弹性势能最大值大于 ，故D错误。
故选C。
【模型二】“f=kv”运动模型
【概述】高中物理中有这样一类问题：物体受到一个与物体的运动速度 v成正比变化的外力而做复杂的变
速运动我们不妨称之为“f= kv”问题。。
【模型要点】
1.运动特点分析-------“另类匀变速运动”：
若物体所受合力为f= kv，则产生的加速度为 等式两边同乘以 并求和得到等式
，可得 ，也就是说物体在任意相等的位移内速度的变化量是相等的。这与匀
变直线运动的定义：物体在任意相等时间内速度速度的变化量都相等极为相似。唯一的区别就是一个对空
间均匀变化。一个对时间均匀变化。我们把满足 的运动定义为“另类匀变速运动”定义
为“另类匀变速运动”的“另类加速度”二者的区别展示如下：
正常加速度 另类加速度
二者关系： 即a=A·v
(1).当A>0且恒定时，a随v增大而变大；
(2).当A<0且恒定时，a随v减小而变小；
(3)图像
2.“另类匀变速运动”的动量特征
物体在变力作用下做复杂的变速运动，可以把物体的运动分割成若干小段，在每一小段内，可认为力 f不
变，这样，在△t 时间内，力f的冲量：
1同理，时间内，力f的冲量
，……
所以整个过程力f的冲量为：
即变力的冲量大小与物体的位移大小成正比。
这个结论的几何解释如图所示（仅仅是示意性地画出，并不真正表示物体就做图示形式的运动）。对于 v
—t图象，图象与t轴所围的面积表示物体的位移x。由于f=kv，力f随时间t变化的f—t图象与v—t图象相
似（纵轴相差k倍）。对f—t图象来说，图象与t轴所围的面积就是力f的冲量I，显然I= kx 。此结论在
解答“f=kv”问题中有很重要的作用。
3.流体的变加速运动问题
(1)注意阻力的三种可能情况：①阻力不计；②阻力大小恒定；③阻力跟速度（或速度的二次方）大小成正
比即f=kv或f=kv2。
(2)上升加速度a=g+f/m=g+kv/m随速度减小而减小 ；
[来源:学科网ZXXK]
下降加速度a=g-f/m =g-kv/m随速度增大而减小 。
v
v
0
v=0，a=g
f
0
t
-v
mg m
f
mg=kv 或mg=kv 2
mg m m
【模型演练1】（2023·全国·高三专题练习）一质点由静止开始沿直线运动，速度随位移变化的图像如图所
示，关于质点的运动，下列说法正确的是（ ）A．质点做匀速直线运动
B．质点做匀加速直线运动
C．质点做加速度逐渐增大的加速运动
D．质点做加速度逐渐减小的加速运动
【答案】C
【详解】从图可知，x与v成正比，即 ，k是比例系数（常量），根据
显然加速度与速度成正比，所以质点做加速度逐渐增大的加速运动。
故选C。
【模型演练2】．（2023·全国·高三专题练习）从地面上以大小为 的初速度竖直上抛一质量为 的小球，
若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，小球运动的速度大小随时间变化的规律如图所示， 时刻
到达最高点，再落回地面时速度大小为 ，且落地前小球已经做匀速运动，在小球的整过运动过程中，则
下列说法中错误的是（ ）
A．小球加速度在上升过程中逐渐减小，在下降过程中也逐渐减小
B．小球抛出瞬间的加速度大小为
C．小球被抛出时的加速度值最大，到达最高点的加速度值最小D．小球上升过程的平均速度小于
【答案】C
【详解】A．由小球受到的空气阻力与速率成正比，由可以知道在上升过程中空气阻力减小，又重力向下，
故上升阶段合力减小，故加速度减小。下降过程中速率增大，空气阻力增大，方向向上，而重力向下故合
力逐渐减小，加速度逐渐减小，A正确，不符合题意；
B．由图可以知道，速度为 时球匀速，说明重力等于阻力，故有
得
故抛出瞬间的空气阻力为
故抛出瞬间的加速度为
B正确，不符合题意；
C．小球抛出时重力向下，阻力向下，此时速率最大时阻力最大，可以知道合力在抛出时最大，此时加速
度也最大，而加速度最小值为零，出现在匀速运动至落地前，C错误，符合题意；
D．上升过程若是匀减速直线运动，其平均速度为 ，而从图中可以看出其面积小于匀减速直线运动的面
积，即图中的位移小于做匀减速的位移，而平均速度等于位移比时间，故其平均速度小于匀减速的平均速
度，即小于 ，D正确，不符合题意。
故选C。
【模型演练3】．（2023·山东·高三统考阶段练习）新型冠状病毒引发的肺炎疫情牵动着亿万国人的心，一
方有难，八方支援，当武汉各种物品告急时，全国人民纷纷慷慨解囊，捐款捐物，支援武汉。1月28日下
午，山东寿光首批援助武汉的350多吨20余种新鲜优质蔬菜装载完毕，如图甲所示，满载蔬菜的大卡车沿
一段平直公路缓缓驶出，其速度v随位移x的变化关系如图乙所示。则卡车（ ）A．做匀加速直线运动 B．相同时间内速度变化量相同
C．相同时间内速度变化量越来越大 D．相同位移内所受合外力做功相同
【答案】C
【详解】ABC．因为
可知v-x图线的斜率表示 ，汽车的速度增大，则加速度a增大，做加速度增大的加速运动，根据
可知，相同时间内速度变化量越来越大，选项AB错误，C正确；
D．由图可知，相同位移内速度的增加量相同，根据
则相同位移内所受合外力做功越来越大，选项D错误。
故选C。
【模型演练4】．（2023·山西晋中·高三祁县中学阶段练习）某一物理兴趣研究小组让一个玩具电动飞机由
静止开始沿直线运动，得到速度随位移变化的图线关系，如图所示，可将该玩具电动飞机视为质点，关于
该玩具电动飞机的运动下列说法正确的是（ ）
A．质点做匀加速直线运动
B．质点做加速度逐渐减小的加速运动
C．质点运动S 过程中的平均速度小于
0D．质点运动S 过程中的平均速度大于
0
【答案】C
【详解】AB．从图像可知，s与v成正比，即s=kv
由上式可知a与v成正比，所以v增大a也增大，质点做加速度逐渐增大的加速运动。所以AB错误；
CD．质点做加速度逐渐增大的加速运动，由v-t图像可知：质点运动S 过程中的平均速度小于 。所以C
0
正确；D错误；
故选C。
【模型演练5】（2023春·湖南怀化·高三怀化市铁路第一中学校考阶段练习）物体在粘滞流体中运动时所
受的阻力叫做粘滞阻力，球形物体在流体中运动时受到的粘滞阻力的表达式为 ，其中η为流体的
粘滞系数， 为球形物体的半径， 为球形物体运动的速率。小球在蓖麻油中从液面下某处由静止开始下
落，经过一段时间达到最大速度。已知蓖麻油足够深，小球的密度为 ，蓖麻油的密度为 ，重力加速
度为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．在国际单位制中粘滞系数的单位为
B．仅改变小球半径，小球达到最大速度所需时间不变
C．仅改变小球密度，小球达到最大速度所需时间不变
D．小球运动过程中加速度的最大值为
【答案】D
【详解】A．结合题述可得
则在国际单位制中粘滞系数的单位为 ，A错误。
B．设释放后某一时刻小球的速度为 ，则此时小球所受粘滞阻力为小球受到重力、浮力和粘滞阻力，由牛顿第二定律有
化简得
可知在密度、速度相同时，小球的加速度与半径有关，故仅改变小球半径，小球达到最大速度所需时间改
变，B错误；
C．结合上述分析可知在半径、速度相同时，小球的加速度与小球密度有关，故仅改变小球密度，小球达
到最大速度所需时间改变，C错误。
D．小球运动过程中，小球速度为零时加速度最大，为
D正确。
故选D。
【模型演练6】（2023春·辽宁抚顺·高三抚顺一中校考阶段练习）一个质量为100 g的空心小球，从地面以
的速度竖直向上弹射出去，在空中受到的空气阻力大小与速度 成正比（即 ），它在空中运
动的 图像如图所示，2s后的图线是平行于横轴的直线。取 ，下列说法正确的是（ ）
A．小球拋出瞬间的加速度大小为
B．小球上升过程中空气阻力的冲量大小为
C．空气的阻力系数
D．小球从抛出到落地瞬间克服空气阻力做的功为【答案】C
【详解】C．2s后的图线是平行于横轴的直线，则有
解得空气的阻力系数
选项C正确；
A．根据牛顿第二定律可知小球拋出瞬间的加速度大小
选项A错误；
B．小球上升过程中根据动量定理有
解得空气阻力的冲量大小为
选项B错误；
D．小球从抛出到落地瞬间根据动能定理有
选项D错误。
故选C。
【模型演练7】．（2023·山东·济南一中统考二模）小木块在外力F的作用下由静止开始沿粗糙水平面运动，
运动过程中木块的速度v随位移x变化的图像如图所示，下列速度v随时间t、外力F随速度v变化的图像
可能正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】AB．由题图可得
则
整理可得
可得
可知加速度随速度的增大而增大，B正确，A错误；
CD．根据牛顿第二定律
可得
当 时
CD错误。
故选B。
【模型演练8】．（2023·全国·高三专题练习）一质量为m的小球用细线悬挂静止在空中（图甲），某时
刻剪断细线，小球开始在空中下降，已知小球所受空气阻力与速度的大小成正比，通过传感器得到小球的
加速度随下降速度变化的图像如图乙所示，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）A．小球刚开始运动时的加速度a2W B．W<2W C．t>t D．ta，可知P速度减为零的时间小于t，则选项AD正确，BC错
2 1 1
误。
故选AD。【模型四】 机车启动模型
1.以恒定功率启动
(1)动态过程
(2)这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
2.以恒定加速度启动
(1)动态过程
(2)这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
3.三个重要关系式
(1)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F x＝ΔE 。此式经常用于求解机车
阻 k
以恒定功率启动过程的位移大小。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率达到最大，但速度没有达到最大，即 v
＝
