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专题 02 常见的非匀变速直线运动模型
目录
【模型一】 小球弹簧（蹦极、蹦床）模型....................................................................................................1
1.力与运动-----下落的“三段四点”：.....................................................................................................2
2.四个图像...................................................................................................................................................2
3.等效模型一:恒力推弹簧连接的两物体问题..........................................................................................2
4.等效模型二:蹦极运动问题......................................................................................................................2
5.功能变化及图像.......................................................................................................................................3
【模型二】“f=kv”运动模型...........................................................................................................................14
1.运动特点分析-------“另类匀变速运动”：..........................................................................................14
2.“另类匀变速运动”的动量特征...........................................................................................................15
3.流体的变加速运动问题.........................................................................................................................16
【模型三】“F随x均匀变化与F随t均匀变化”运动模型.......................................................................26
【模型四】 机车启动模型..............................................................................................................................35
1.以恒定功率启动.....................................................................................................................................35
2.以恒定加速度启动.................................................................................................................................35
3.三个重要关系式.....................................................................................................................................36
4． 倾斜、竖直机车启动问题................................................................................................................36
【模型一】 小球弹簧（蹦极、蹦床）模型
【模型构建】如图所示，地面上竖立着一轻质弹簧，小球从其正上方某一高度处自由下落到弹簧上．从小
球刚接触弹簧到弹簧被压缩至最短的过程中（在弹簧的弹性限度内），的运动问题、能量转换问题、动量
变化问题。
【模型要点】1.力与运动-----下落的“三段四点”：
[来源:学科网]
2.四个图像
v-t图 a-t图 F-t图 a-x图
3.等效模型一:恒力推弹簧连接的两物体问题
F
P Q v
恢复原长
Q
P P
速度相等，
压缩量最大
Q
0
t
加速度相等，速度差最大
4.等效模型二:蹦极运动问题
如图所示是蹦极运动的简化示意图，弹性绳一端固定在O点，另一端系住运动员，运动员从O点自由下落，
A点处弹性绳自然伸直．B点是运动员受到的重力与弹性绳对运动员拉力相等的点，C点是蹦极运动员到达
的最低点，运动员从O点到C点的运动过程中忽略空气阻力。
5.功能变化及图像
竖直小球砸弹簧 倾斜小球砸弹簧 水平弹簧推小球E E E
E Q
- E P弹 - E - E
- P重 - P重 E P弹 - P弹
- - E K - - E K Q - - E K
O A B C x O A B C x O A B C x
【模型演练1】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）如图所示，竖直平面内固定一倾斜的光滑绝缘杆，轻质绝
缘弹簧上端固定，下端系带正电的球A，球A套在杆上，杆下端固定带正电的球B。现将球A从O点由静
止释放，此时弹簧弹力为零，球A运动到P点返回。关于球A说法正确的是（ ）
A．向下运动时，加速度随位移变化越来越快
B．向下运动到OP中点时速度最大
C．向下运动过程中机械能一直增大
D．在OP间做简谐运动
【答案】A
【详解】A．设A、B小球分别带电量为q、q，释放A球时A、B间距为r，弹簧的劲度系数为k，小球A
1 2
运动到最低点的过程中，受力分析如图所示
加速阶段，根据牛顿第二定律得解得
对a 求导得
1
所以在加速阶段，加速度随位移x的增加而减小，且加速减小得越来越快。
减速阶段，根据牛顿第二定律得
解得
对a 求导得
2
在减速阶段加速度随位移x的增加而增大，且加速度增加得越来越快，故A正确；
BD．小球先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，越向下运动，弹力和电场力越大，所
以减速阶段速度减小的更快，速度减为零的时间更短，和加速阶段不对称；向下运动到OP中点下方某处
时速度最大，小球在OP间不做简谐运动，故BD错误；
C．小球向下运动过程中，由于要克服电场力、弹簧弹力做功，所以球A的机械能逐渐减小，故C错误。
故选A。
【模型演练2】．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）如图甲，倾角为 的光滑斜面上，轻弹簧平行斜
面放置且下端固定，一质量为m的小滑块从斜面上O点由静止滑下。以O点为原点，作出滑块从O下滑
至最低点过程中的加速度大小a随位移x变化的关系如图乙。弹簧形变始终未超过弹性限度，重力加速度
大小为g，下列说法正确的是（ ）A．弹簧的劲度系数为
B．下滑过程中，在 处，滑块的机械能最大
C．在 和 两段过程中， 图线斜率的绝对值均等于
D．在 和 两段过程中，弹簧弹性势能的增量相等
【答案】C
【详解】A．由图可知，当小球下落到 时，加速度为零，即弹力与重力大小相等，此时弹簧的形变量为
，则有
解得
A错误；
B．对小滑块和弹簧组成的系统进行分析，由于只有重力和弹力做功，则系统机械能守恒，当弹簧的弹性
势能最小，小滑块的机械能最大，故当小滑块下落到 时，弹簧处于原长，弹性势能为零，为最小，则此
时小滑块的机械能最大，B错误；
C．在 的过程中，重力大于弹力，根据牛顿第二定律有
又由A项可知联立解得
由图可知，当 时
联立解得
即为该段图线的斜率绝对值；在 过程中，弹力大于重力，根据牛顿第二定律有
又
联立解得
由图可知，当 时
联立解得
即为该段图线的斜率绝对值，故可得在 和 两段过程中， 图线斜率的绝度值均等于
，C正确；
D．由图可知， 的距离差小于 两的距离差，可得弹簧弹性势能的增量不相等，D错误。
故选C。
【模型演练3】．（2023·山东·高三专题练习）如图所示，一轻弹簧左端固定，右端连接一物块，置于粗糙
的水平面上。开始时弹簧处于原长，现用一恒力F将物块由静止向右拉动直至弹簧弹性势能第一次达到最大。在此过程中，关于物块的速度v、物块的动能 、弹簧的弹性势能 、物块和弹簧的机械能E随时间
t或位移x变化的图像，其中可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A．根据牛顿第二定律知
从原长到速度最大的过程中，弹力一直增大，加速度一直减小到0，所以速度增加得越来越缓慢，故A错
误；
B．根据
可知，合力一直减小到零，故B错误；
C．机械能的增加量等于除重力和弹簧弹力以外的其他力做功，则
则E-x图像斜率不变，由此可知C错误；
D．从原长到速度最大的过程中，弹力的形变量大小等于位移，弹力方向不变，大小随位移均匀增大，则
由此可知D正确。
故选D。【模型演练4】．（2023·北京·高三专题练习）“蹦极”运动中，将一根有弹性的绳系在蹦极者身上，另一
端固定在跳台上，人从几十米高处跳下。将蹦极过程简化为人沿竖直方向的运动。不计空气阻力的影响。
从绳刚好伸直时，到人第一次下降至最低点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．人先处于超重状态，后处于失重状态
B．绳对人的拉力始终做负功，人的动能先增大后减小
C．绳对人的冲量始终向上，人的动量先减小后增大
D．人的动能的减少量等于绳的弹性势能的增加量
【答案】B
【详解】AB．开始阶段，绳子弹力小于重力，则加速度向下，人处于失重状态，速度增加；以后阶段，弹
力大于重力，加速度向上，人处于超重状态，速度减小，绳子对人的拉力方向始终向上，对人做负功，人
的动能先增加后减小，选项A错误，B正确；
C．绳子对人的拉力方向始终向上，则绳对人的冲量始终向上，人的动量先增大后减小，选项C错误；
D．由能量关系可知，人的动能的减少量与重力势能减小量之和等于绳的弹性势能的增加量，选项D错误。
故选B。
【模型演练5】（2023·北京·高三专题练习）如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，质量为m的小球
从A点自由下落，至B点时开始压缩弹簧，小球下落的最低位置为C点。以B点为坐标原点O，沿竖直向
下建立x轴，小球从B到C过程中的加速度一位移图像如图乙所示，重力加速度为g。在小球从B运动到
C的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球在B点时的速度最大
B．小球在C点时所受的弹力大于
C．图像与x轴所包围的两部分面积大小相等
D．小球的动能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大
【答案】B【详解】A．小球在B点时，合力为重力，合力和速度同向，会继续加速，B点时的速度不是最大。A错
误；
B．小球若从B点由静止释放，到达最低点时，由对称性，最低点加速度向上，大小为
小球从A点自由下落，小球在C点时，弹力比上述情况要大，加速度向上，大于 。由牛顿第二定律
则
B正确；
C．设在D点，弹力和小球重力平衡，D点速度为 ，由微元法可知图像与x轴所包围的上部分面积
图像与x轴所包围的下部分面积
因为
得
C错误；
D．小球和弹簧、地球组成的系统机械能守恒，小球从B运动到C的过程中，小球的重力势能一直在减小，
小球的动能与弹簧的弹性势能之和一直在增大。D错误。
故选B。
【模型演练6】（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）如图所示，光滑固定斜面底
端固定一轻质弹簧，一滑块P从O点静止释放，向下滑动过程经a点接触弹簧，最低到达b点处。以O为
原点、平行斜面向下为x轴正方向建立一维坐标系，a、b处坐标分别为x、x。设滑块在b处重力势能为
1 2
0，下滑过程中，滑块的动能E、重力势能E、机械能E、加速度a随位移x的变化图像符合实际的是（
k p
）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A．设斜面倾角为θ，滑块接触弹簧前，在经过一小段位移 过程中，由动能定理有
有
故动能随位移均匀增加，滑块接触弹簧后，再经过一小段位移 过程中，由动能定理有
有
由于 逐渐增加，故图线斜率变化，不符合A项的 图像，故A错误；
B．取整个过程中任一小段位移 ，由功能关系有
有故图线斜率不变，重力势能随位移均匀减小，不符合B项的 图像，故B错误；
C．滑块的机械能是否改变取决于除重力外有无其他外力做功，接触弹簧前滑块机械能守恒，接触弹簧后
到最低点过程中，弹簧弹力对滑块做负功，滑块机械能减小。不符合C项的的 图像，故C错误；
D．由牛顿第二定律，滑块接触弹簧前，有
得
加速度不变，接触弹簧后，有
有
加速度随位移线性变化，故符合D项的图像，故D正确。
故选D。
【模型演练7】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一轻质弹簧固定在斜面底端，t=0时刻，一物块
从斜面顶端由静止释放，直至运动到最低点的过程中，物块的速度v和加速度a随时间t、动能E 和机械能
k
E随位移x变化的关系图像可能正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】A．在接触弹簧前，物块的速度v随着时间均匀增加，接触弹簧后，在达到最大速度前，做加速
度减小的加速运动，达到最大速度后，做加速度增大的减速运动，直到停止，故A正确；
B．在接触弹簧前，加速度恒定，刚接触弹簧后的加速度大小为
达到最大速度后，设此时弹簧的型变量为
其中
设物块与弹簧接触前运动了 ,物块从释放到运动到最低点
整理得
有
因此
故B错误；
C．由动能定理，在接触弹簧前，物体沿着斜面下滑的位移为x
动能随着位移线性增加，接触弹簧后，在达到最大速度前，做加速运动，物块的动能随着位移是增加的，
达到最大速度后，做减速运动，动能随着位移的增加而减少，故C错误；D．在接触弹簧前，只有摩擦力做负功，物体的机械能减少
在接触弹簧后，有摩擦力和弹簧弹力做负功，物体的机械能随位移减少的规律如下
是开口向下的抛物线的一段，故D错误。
故选A。
【模型演练8】．（2023·高三课时练习）如图所示，轻弹簧下端固定在水平面上。一个小球从弹簧正上方
某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度后停止下落。在小球下落的这一全过
程中，下列说法中正确的是（ ）
A．小球刚接触弹簧瞬间速度最大
B．从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上
C．从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小
D．从小球接触弹簧到到达最低点，小球受到的弹力先减小后增大
【答案】C
【详解】AB．小球刚接触弹簧瞬间具有向下的速度，开始压缩弹簧时，重力大于弹力，合力竖直向下，加
速度方向竖直向下，与速度方向相同，小球做加速度运动，当小球所受的弹力大于重力时，合力竖直向上，
加速度竖直向上，与速度方向相反，小球开始做减速运动，则当弹力与重力大小相等、方向相反时，小球
的速度最大，AB错误；
C．由上分析可知，从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小，C正确；
D．从小球接触弹簧到到达最低点，弹簧的压缩量一直增大，由胡克定律可知，小球受到的弹力一直增大。
D错误。
故选C。
【模型演练9】（2023·江苏·模拟预测）如图甲所示，航天员在半径为R的某星球表面将一轻弹簧竖直固定
在水平面上，把质量为m的小球P（可看作质点）从弹簧上端h处（h不为0）由静止释放，小球落到弹簧
上后继续向下运动直到最低点。从接触弹簧开始的小球加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示，其中a、h和x 为已知量，空气阻力不计。下列说法正确的是（ ）
0 0
A．星球的第一宇宙速度 B．该弹簧劲度系数k的大小
C．小球在最低点处加速度大于a D．弹簧的最大弹性势能为
0
【答案】C
【详解】A．根据图像可知小球接触弹簧时的加速度为a，所以星球表面的重力加速度为
0
所以第一宇宙速度为
故A错误；
B．当压缩量为x 时加速度为0，故
0
所以
故B错误；
C．根据
可知，若小球从弹簧原长处释放到最底部时小球的加速度为
在h>0情况下，小球到最低点的加速度大于a，故C正确；
0
D．小球下降到最低点的高度差根据机械能守恒弹性势能最大值大于 ，故D错误。
故选C。
【模型二】“f=kv”运动模型
【概述】高中物理中有这样一类问题：物体受到一个与物体的运动速度 v成正比变化的外力而做复杂的变
速运动我们不妨称之为“f= kv”问题。。
【模型要点】
1.运动特点分析-------“另类匀变速运动”：
若物体所受合力为f= kv，则产生的加速度为 等式两边同乘以 并求和得到等式
，可得 ，也就是说物体在任意相等的位移内速度的变化量是相等的。这与匀
变直线运动的定义：物体在任意相等时间内速度速度的变化量都相等极为相似。唯一的区别就是一个对空
间均匀变化。一个对时间均匀变化。我们把满足 的运动定义为“另类匀变速运动”定义
为“另类匀变速运动”的“另类加速度”二者的区别展示如下：
正常加速度 另类加速度
二者关系： 即a=A·v
(1).当A>0且恒定时，a随v增大而变大；
(2).当A<0且恒定时，a随v减小而变小；
(3)图像
2.“另类匀变速运动”的动量特征
物体在变力作用下做复杂的变速运动，可以把物体的运动分割成若干小段，在每一小段内，可认为力 f不
变，这样，在△t 时间内，力f的冲量：
1同理，时间内，力f的冲量
，……
所以整个过程力f的冲量为：
即变力的冲量大小与物体的位移大小成正比。
这个结论的几何解释如图所示（仅仅是示意性地画出，并不真正表示物体就做图示形式的运动）。对于 v
—t图象，图象与t轴所围的面积表示物体的位移x。由于f=kv，力f随时间t变化的f—t图象与v—t图象相
似（纵轴相差k倍）。对f—t图象来说，图象与t轴所围的面积就是力f的冲量I，显然I= kx 。此结论在
解答“f=kv”问题中有很重要的作用。
3.流体的变加速运动问题
(1)注意阻力的三种可能情况：①阻力不计；②阻力大小恒定；③阻力跟速度（或速度的二次方）大小成正
比即f=kv或f=kv2。
(2)上升加速度a=g+f/m=g+kv/m随速度减小而减小 ；
[来源:学科网ZXXK]
下降加速度a=g-f/m =g-kv/m随速度增大而减小 。
v
v
0
v=0，a=g
f
0
t
-v
mg m
f
mg=kv 或mg=kv 2
mg m m
【模型演练1】（2023·全国·高三专题练习）一质点由静止开始沿直线运动，速度随位移变化的图像如图所
示，关于质点的运动，下列说法正确的是（ ）A．质点做匀速直线运动
B．质点做匀加速直线运动
C．质点做加速度逐渐增大的加速运动
D．质点做加速度逐渐减小的加速运动
【答案】C
【详解】从图可知，x与v成正比，即 ，k是比例系数（常量），根据
显然加速度与速度成正比，所以质点做加速度逐渐增大的加速运动。
故选C。
【模型演练2】．（2023·全国·高三专题练习）从地面上以大小为 的初速度竖直上抛一质量为 的小球，
若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，小球运动的速度大小随时间变化的规律如图所示， 时刻
到达最高点，再落回地面时速度大小为 ，且落地前小球已经做匀速运动，在小球的整过运动过程中，则
下列说法中错误的是（ ）
A．小球加速度在上升过程中逐渐减小，在下降过程中也逐渐减小
B．小球抛出瞬间的加速度大小为
C．小球被抛出时的加速度值最大，到达最高点的加速度值最小D．小球上升过程的平均速度小于
【答案】C
【详解】A．由小球受到的空气阻力与速率成正比，由可以知道在上升过程中空气阻力减小，又重力向下，
故上升阶段合力减小，故加速度减小。下降过程中速率增大，空气阻力增大，方向向上，而重力向下故合
力逐渐减小，加速度逐渐减小，A正确，不符合题意；
B．由图可以知道，速度为 时球匀速，说明重力等于阻力，故有
得
故抛出瞬间的空气阻力为
故抛出瞬间的加速度为
B正确，不符合题意；
C．小球抛出时重力向下，阻力向下，此时速率最大时阻力最大，可以知道合力在抛出时最大，此时加速
度也最大，而加速度最小值为零，出现在匀速运动至落地前，C错误，符合题意；
D．上升过程若是匀减速直线运动，其平均速度为 ，而从图中可以看出其面积小于匀减速直线运动的面
积，即图中的位移小于做匀减速的位移，而平均速度等于位移比时间，故其平均速度小于匀减速的平均速
度，即小于 ，D正确，不符合题意。
故选C。
【模型演练3】．（2023·山东·高三统考阶段练习）新型冠状病毒引发的肺炎疫情牵动着亿万国人的心，一
方有难，八方支援，当武汉各种物品告急时，全国人民纷纷慷慨解囊，捐款捐物，支援武汉。1月28日下
午，山东寿光首批援助武汉的350多吨20余种新鲜优质蔬菜装载完毕，如图甲所示，满载蔬菜的大卡车沿
一段平直公路缓缓驶出，其速度v随位移x的变化关系如图乙所示。则卡车（ ）A．做匀加速直线运动 B．相同时间内速度变化量相同
C．相同时间内速度变化量越来越大 D．相同位移内所受合外力做功相同
【答案】C
【详解】ABC．因为
可知v-x图线的斜率表示 ，汽车的速度增大，则加速度a增大，做加速度增大的加速运动，根据
可知，相同时间内速度变化量越来越大，选项AB错误，C正确；
D．由图可知，相同位移内速度的增加量相同，根据
则相同位移内所受合外力做功越来越大，选项D错误。
故选C。
【模型演练4】．（2023·山西晋中·高三祁县中学阶段练习）某一物理兴趣研究小组让一个玩具电动飞机由
静止开始沿直线运动，得到速度随位移变化的图线关系，如图所示，可将该玩具电动飞机视为质点，关于
该玩具电动飞机的运动下列说法正确的是（ ）
A．质点做匀加速直线运动
B．质点做加速度逐渐减小的加速运动
C．质点运动S 过程中的平均速度小于
0D．质点运动S 过程中的平均速度大于
0
【答案】C
【详解】AB．从图像可知，s与v成正比，即s=kv
由上式可知a与v成正比，所以v增大a也增大，质点做加速度逐渐增大的加速运动。所以AB错误；
CD．质点做加速度逐渐增大的加速运动，由v-t图像可知：质点运动S 过程中的平均速度小于 。所以C
0
正确；D错误；
故选C。
【模型演练5】（2023春·湖南怀化·高三怀化市铁路第一中学校考阶段练习）物体在粘滞流体中运动时所
受的阻力叫做粘滞阻力，球形物体在流体中运动时受到的粘滞阻力的表达式为 ，其中η为流体的
粘滞系数， 为球形物体的半径， 为球形物体运动的速率。小球在蓖麻油中从液面下某处由静止开始下
落，经过一段时间达到最大速度。已知蓖麻油足够深，小球的密度为 ，蓖麻油的密度为 ，重力加速
度为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．在国际单位制中粘滞系数的单位为
B．仅改变小球半径，小球达到最大速度所需时间不变
C．仅改变小球密度，小球达到最大速度所需时间不变
D．小球运动过程中加速度的最大值为
【答案】D
【详解】A．结合题述可得
则在国际单位制中粘滞系数的单位为 ，A错误。
B．设释放后某一时刻小球的速度为 ，则此时小球所受粘滞阻力为小球受到重力、浮力和粘滞阻力，由牛顿第二定律有
化简得
可知在密度、速度相同时，小球的加速度与半径有关，故仅改变小球半径，小球达到最大速度所需时间改
变，B错误；
C．结合上述分析可知在半径、速度相同时，小球的加速度与小球密度有关，故仅改变小球密度，小球达
到最大速度所需时间改变，C错误。
D．小球运动过程中，小球速度为零时加速度最大，为
D正确。
故选D。
【模型演练6】（2023春·辽宁抚顺·高三抚顺一中校考阶段练习）一个质量为100 g的空心小球，从地面以
的速度竖直向上弹射出去，在空中受到的空气阻力大小与速度 成正比（即 ），它在空中运
动的 图像如图所示，2s后的图线是平行于横轴的直线。取 ，下列说法正确的是（ ）
A．小球拋出瞬间的加速度大小为
B．小球上升过程中空气阻力的冲量大小为
C．空气的阻力系数
D．小球从抛出到落地瞬间克服空气阻力做的功为【答案】C
【详解】C．2s后的图线是平行于横轴的直线，则有
解得空气的阻力系数
选项C正确；
A．根据牛顿第二定律可知小球拋出瞬间的加速度大小
选项A错误；
B．小球上升过程中根据动量定理有
解得空气阻力的冲量大小为
选项B错误；
D．小球从抛出到落地瞬间根据动能定理有
选项D错误。
故选C。
【模型演练7】．（2023·山东·济南一中统考二模）小木块在外力F的作用下由静止开始沿粗糙水平面运动，
运动过程中木块的速度v随位移x变化的图像如图所示，下列速度v随时间t、外力F随速度v变化的图像
可能正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】AB．由题图可得
则
整理可得
可得
可知加速度随速度的增大而增大，B正确，A错误；
CD．根据牛顿第二定律
可得
当 时
CD错误。
故选B。
【模型演练8】．（2023·全国·高三专题练习）一质量为m的小球用细线悬挂静止在空中（图甲），某时
刻剪断细线，小球开始在空中下降，已知小球所受空气阻力与速度的大小成正比，通过传感器得到小球的
加速度随下降速度变化的图像如图乙所示，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）A．小球刚开始运动时的加速度a<g
0
B．小球下降的速度将会一直增大
C．小球下降过程所受空气阻力f＝
D．小球下降过程机械能的减少大于克服空气阻力所做的功
【答案】C
【详解】A．某时刻剪断细线，小球只受重力，则小球刚开始运动时的加速度a＝g，故A错误；
0
B．当小球下降的速度使小球受到的空气阻力与重力相等时，合力为零，加速度为零，速度达到最大，之
后以最大速度做匀速下降，故小球下降的速度不会一直增大，故B错误；
C．根据牛顿第二定律可得
mg－f＝ma
由图乙可知
a＝a－ v
0
又
a＝g
0
联立解得
故C正确；
D．根据功能关系可知，小球下降过程机械能的减少等于克服空气阻力所做的功，故D错误。
故选C。
【模型演练9】（2023·山东·高三济南一中学业考试）如图甲所示，左侧接有定值电阻 的水平平行
且足够长的光滑导轨处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度 ，导轨间距 。一质量
、接入电路的阻值 的金属棒在拉力F的作用下由静止开始从CD处沿导轨向右加速运动，金
属棒的 图像如图乙所示。若金属棒与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计取 ，则金属棒从
静止开始向右运动的位移为 的过程中，下列说法正确的是（ ）甲 乙
A．所用的时间大于1s B．拉力F做的功为5J
C．通过电阻的电荷量为0.25C D．定值电阻R产生的焦耳热为0.75J
【答案】ABD
【详解】A．速度位移图像的斜率
得
则速度增大，金属棒的加速度也随之增大，速度时间图像的斜率增大，金属棒做加速增大的变加速运动，
在相同时间内，达到相同速度时通过的位移小于匀加速运动的位移，平均速度小于匀加速运动的平均速度，
即
则
A正确；
C．根据
C错误
BD．由速度位移图像得 金属棒所受的安培力代入得
则知 与x是线性关系，当 时， ，当 时， ，从起点发生 位移的过程中，
克服安培力做功
根据动能定理得
解得
根据功能关系知，整个电路产生的焦耳热等于克服安培力做功，所以整个电路产生的焦耳热
定值电阻R中产生的焦耳热
BD正确。
故选ABD。
【模型演练10】．（2023·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中阶段练习）某跳伞员在无风的天气做跳伞训练时，
从离地面高为H的空中悬停的直升飞机上跳下，然后立即打开降落伞，由于空气阻力（阻力大小与速度成
正比）的作用，跳伞员降落的 距离后其速度达到最大值，此后开始匀速运动最后到达地面。若加速运动
过程中，降落伞克服阻力做的功为W，运动的时间为t；匀速运动过程中，降落伞克服阻力做的功为W，
1 1 2
运动的时间为t，则
2
A．W>2W B．W<2W C．t>t D．t<t
2 1 2 1 1 2 1 2
【答案】AD
【详解】AB．加速运动过程，由动能定理可得匀速运动过程，由动能定理可得
则
故A正确，B错误；
CD．如果加速过程是匀加速运动，运动的时间
由于加速过程是加速度减小的加速运动，所以运动时间
匀速运动的时间
可知t<t，故C错误，D正确。
1 2
故选AD。
【模型三】“F随x均匀变化与F随t均匀变化”运动模型
【模型演练1】（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）如图1所示，一轻弹簧竖直固定于水
平桌面上，另一相同的弹簧下端与光滑固定斜面底端的挡板相连，物体P、Q分别从两弹簧上端由静止释
放，加速度a与弹簧压缩量x的关系分别如图2中实线、虚线所示。则（ ）
A．光滑斜面的倾角为37°B．P、Q向下运动达到最大速度时两弹簧的压缩量之比为
C．P、Q的质量之比为
D．P、Q向下运动过程中的最大速度之比为
【答案】CD
【详解】A．设物体P、Q分别质量为 、 。由图2可知弹簧压缩量为零时，物体P、Q加速度分别为
， 。对物体P，有
得
①
设斜面的倾角为 ，对物体Q，有
②
由①②得
得
A错误；
B．加速度为零时，物体P、Q的速度最大。由图2可知，P、Q向下运动达到最大速度时两弹簧的压缩量
分别为 ， 。P、Q向下运动达到最大速度时两弹簧的压缩量之比为 。B错误；
C．P、Q向下运动达到最大速度时，对两物体，有又
得
C正确；
D．P、Q向下运动过程中的最大速度分别为 和 ，对P、Q由动能定理得
③
④
由③④得，P、Q向下运动过程中的最大速度之比
D正确。
故选CD。
【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，劲度系数为k的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端
与置于水平面上质量为m的物体接触（未连接），弹簧水平且无形变。用水平力缓慢推动物体，在弹性限
度内弹簧长度被压缩了x，此时物体静止。撤去F后，物体开始向左运动，运动的最大距离为4x。物体与
0 0
水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。则（ ）
A．撤去F后，物体先做匀加速运动，再做匀减速运动
B．撤去F后，物体刚运动时的加速度大小为
C．物体做匀减速运动的时间为
D．物体开始向左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为μmg（x－ ）
0【答案】CD
【详解】A．撤去F后，弹簧形变在恢复的过程中，弹力逐渐减小，则合力先减小，再增大，最后脱离弹
簧后，保持不变，A错误；
B．撤去F后，物体刚运动时有
kx－μmg＝ma
0
解得
a＝
B错误；
C．物体脱离弹簧后，做匀减速直线运动，逆向得物体做初速度为零的匀加速直线运动，有
× t2＝3x
0
解得
t＝
C正确；
D．速度最大时，合力为零，有
kx－μmg＝0
此时弹簧形变为
x＝
则该过程中克服摩擦力做的功为
W＝μmg（x－ ）
f 0
D正确。
故选CD。
【模型演练3】．（2023·全国·模拟预测）如图甲所示，轻质弹簧的下端固定在倾角为 的固定光滑斜面的
底部，在弹簧的上端从静止开始释放 的滑块，滑块的加速度 与弹簧压缩量 间的关系如图乙所示。
重力加速度大小 取 ，弹簧的弹性势能可表示为 ， 为弹簧的劲度系数， 为弹簧的形变
量，则（ ）A．斜面的倾角 B．弹簧的劲度系数为
C．滑块速度最大时，弹簧的弹性势能为 D．滑块最大的动能为
【答案】BC
【详解】A．当弹簧压缩量 时
解得
故A错误；
B．当弹簧压缩量为 时， ，则
解得
故B正确；
C．在图像中，当 时， ，此时滑块速度最大，此时克服弹力做功等于弹性势能的增加量，即
故C正确；
D．滑块速度最大时，动能最大，由能量守恒得
则滑块的最大动能为故D错误。
故选BC。
【模型演练4】（2023·上海·高三专题练习）地震引起的海啸会给人们带来巨大的损失。某中学的部分学生
组成了一个课题小组，对海啸的威力进行了模拟研究，他们设计了如下的模型：如图甲所示，在水平地面
上放置一个质量为m=4kg的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力（模拟海啸）作用下运动，推力F随
位移x变化的图象如图乙所示，已知物体与地面之间的动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度g取10m/s2，则（
）
A．运动过程中物体的最大加速度为15m/s2
B．在距出发点3.0m位置时物体的速度达到最大
C．整个过程中推力对物体做功180J
D．物体在水平地面上运动的最大位移是10m
【答案】D
【详解】A．由牛顿第二定律有
可得当推力F=100N时，物体加速度最大，为20m/s2，A错误；
B．由题图乙可得推力F随位移x变化的关系为
F=100-25x（N）
物体速度最大时，加速度为零，有
解得
x=3.2m
即在距出发点3.2m位置时物体的速度达到最大，B错误；
C．由F-x图象中图线与坐标轴所围的“面积”表示功可知，推力对物体做功为
C错误；D．由动能定理有
代入数据得
即物体在水平面上运动的最大位移是10m，D正确。
故选D。
【模型演练5】（2023·全国·模拟预测）如图甲所示，质量为m的物块在水平力F的作用下可沿竖直墙面
滑动，水平力F随时间t变化的关系图像如图乙所示，物块与竖直墙面间的动摩擦因数为μ，物块所受的最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，竖直墙面足够高，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．物块一直做匀加速直线运动
B．物块先做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动
C．物块的最大速度为
D． 时，物块停止下滑
【答案】C
【详解】根据物块的受力，由牛顿第二定律有
由图像可知
而
解得
故随时间的增大，物块先做加速度逐渐减小的加速运动，后做加速逐渐增大的减速运动，最后停止下滑，静止后物块的加速度为零，处于平衡状态；当 时，物块的加速度为零，此时物块的速度最大，做出
图像如下图所示
根据其面积求出最大速度为
故选C。
【模型演练6】（2023·全国·校联考模拟预测）如图1所示，一滑块放在水平面上， 时刻在滑块上施加
一水平向右的外力F，已知外力随时间的变化规律为 ，滑块产生的加速度和时间的关系如图2
所示，假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度g取10 。则下列说法正确的是（ ）
A．滑块的质量为2.5kg
B．滑块与水平面间的动摩擦因数为0.25
C．0~3s的时间内摩擦力的冲量大小为6.25N·s
D．3s末滑块的速度大小为6.5m/s
【答案】AC
【详解】AB.由图2可知， 时，滑块开始运动，此时的拉力 大小等于滑块所受的最大静摩擦力，由
公式可知
则
又最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则滑块与水平面间的滑动摩擦力大小为 ，根据牛顿第二定律有
由图2知，当 时
又 时
解得
又
则
故A正确，B错误；
C. 的时间内，摩擦力为静摩擦力，且摩擦力的大小由0逐渐增大到 ，则该时间内摩擦力的冲量
为
的时间内摩擦力为滑动摩擦力，该时间内摩擦力的冲量为
所以 时间内摩擦力的冲量大小为
C正确；
D. 的时间内由动量定理得代入数据解得
D错误。
故选AC。
【模型演练7】．（2023·贵州·高三统考阶段练习）如图甲所示，紧挨但不粘连的两物块P、Q静止放置在
光滑水平地面上． 时，水平方向的力F作用于P上，以水平向右为正方向，F随时间变化的规律如图
乙所示．下列关于P运动的速度v及加速度a随时间t变化的图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】在0~t 时间内，F沿正方向，则PQ两物体加速度相同，大小为
1
随着F随时间的均匀减小，两物体做加速度均匀减小的加速运动；在t~t 时间内，F沿负方向，则此后PQ
1 2
脱离，Q做匀速运动，P做减速运动，此时P的加速度
由对称性可知，在力F大小相同的位置，a>a，可知P速度减为零的时间小于t，则选项AD正确，BC错
2 1 1
误。
故选AD。【模型四】 机车启动模型
1.以恒定功率启动
(1)动态过程
(2)这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
2.以恒定加速度启动
(1)动态过程
(2)这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
3.三个重要关系式
(1)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F x＝ΔE 。此式经常用于求解机车
阻 k
以恒定功率启动过程的位移大小。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率达到最大，但速度没有达到最大，即 v
＝<v ＝。
m
(3)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v ＝＝(式中F 为最小牵引力，
m min
其值等于阻力F )。
阻
4． 倾斜、竖直机车启动问题
P/v f
mgsinθ mgsinθ P/v
f P/v
θ( θ( mg
上坡最大速度v =P/(f+mgsinθ) 下坡最大速度v =P/(f-mgsinθ) 竖直提升最大速度v =P/mg
m m m [来源:Z*xx*k.Com]
【模型演练1】（2023春·山东·高三统考学业考试）某款质量 的汽车沿平直公路从静止开始做直线运动，其 图像如图所示。汽车在 时间内做匀加速直线运动， 内汽车保持额定功率不变，
内汽车做匀速直线运动，最大速度 ，汽车从 末开始关闭动力减速滑行， 时刻停
止运动。已知， ，汽车的额定功率为 ，整个过程中汽车受到的阻力大小不变。下列说法正确
的是（ ）
A． 时刻的瞬时速度
B．汽车在 内通过的距离
C． 为
D．阻力大小为
【答案】B
【详解】CD．根据题意可知，当汽车以额定功率行驶时，牵引力等于阻力时，速度最大，则有
解得
由牛顿第二定律可得，关闭发动机之后，加速度为
由运动学公式 可得解得
故CD错误；
AB．根据题意，设 时刻，汽车的速度为 则，此时的牵引力为
设汽车在 时间内做匀加速直线运动的加速度为 ，则有
由牛顿第二定律有
联立解得
内，由动能定理有
解得
故A错误，B正确。
故选B。
【模型演练2】．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）一起重机用钢绳提起静止在地面上的重物，开始在竖直
方向上做匀加速运动，然后做匀速运动。重物上升高度为h，运动时间为t，加速度为a，动能为E，起重
k
机功率为P，下列图像能描述上述过程的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】A．重物开始在竖直方向上做匀加速运动，则
图像是开口向上的抛物线，故A错误；
B．重物开始在竖直方向上做匀加速运动，然后做匀速运动。 图像先是与时间轴平行且不为零的直线，
然后加速度为零，故B错误；
C．重物开始在竖直方向上做匀加速运动时，由牛顿第二定律得
解得起重机的拉力
起重机的功率
图像是过原点的倾斜的直线；重物匀速运动时，起重机的拉力
起重机的功率
则起重机的功率为定值，故C正确；
D．重物开始在竖直方向上做匀加速运动时的动能
图像是过原点的倾斜的直线，故D错误。
故选C。
【模型演练3】．（2023·辽宁营口·校联考模拟预测）在汽车的设计研发中，需要测试发动机的性能。汽车
在倾角为 的长直斜坡上由静止启动，汽车的输出功率与速度的关系图像如图所示，当汽车的速度增大到后保持最大功率不变，汽车能达到的最大速度为 。汽车的质量为m，汽车启动过程中所受的阻力
（不包括重力沿斜坡向下的分力）大小恒为f，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．汽车发动机的最大功率为
B．当汽车的速度大小为 时，其加速度大小为
C．汽车的速度从0增大到 所用的时间为
D．在汽车的速度从0增大到 的过程中，汽车发动机做的功为
【答案】D
【详解】A．根据物体的平衡条件可知，当汽车的速度大小为 时，汽车所受的牵引力大小为
因为在汽车的速度从 增大到 的过程中，汽车发动机的功率均为最大功率，所以汽车发动机的最大功
率
解得
A错误；
B．设当汽车的速度大小为 时，汽车所受的牵引力大小为 ，有
设此时汽车的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有
解得B错误；
C．在汽车的速度从0增大到 的过程中，汽车做匀加速直线运动，加速时间
C错误；
D．该过程汽车通过的位移大小
设该过程汽车发动机做的功为W，根据动能定理有
解得
D正确。
故选D。
【模型演练4】．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图所示为美团的电单车，美团电单车的电池铭牌上标有
“48V 10A·h”字样，正常工作时电动机额定功率为250W，电池输出电压为40V。由于电动机发热造成损
耗，电动机的效率为80%，不考虑其他部件的摩擦损耗。有一次小厉同学骑着电单车在平路上匀速行驶，
小厉同学和车的总质量为100kg，阻力为总重力的0.04倍，重力加速度 ，则下列判断正确的是
（ ）
A．正常工作时，电动机额定电流约为5.2A
B．充满电后电池储存的能量约为C．电池的内阻约为1.3Ω
D．电单车匀速行驶时的速度为22.5km/h
【答案】C
【详解】A．由 可知，解得额定电流
I=6.25A
故A错误；
B．充满电后该电池的总能量
故B错误；
C．根据闭合电路欧姆定律有
可得
故C正确；
D．平路上行驶的人和车受到阻力
匀速行驶时牵引力F=f=40N，此时速度
故D错误；
故选C。
【模型演练5】．（2023·山东·模拟预测）高铁已成为中国的“国家名片”，截至2022年末，全国高速铁
路营业里程4.2万千米，位居世界第一。如图所示，一列高铁列车的质量为m，额定功率为 ，列车以额
定功率 在平直轨道上从静止开始运动，经时间t达到该功率下的最大速度，设高铁列车行驶过程所受到
的阻力为 ，且保持不变．则（ ）A．列车在时间t内可能做匀加速直线运动
B．如果改为以恒定牵引力启动，则列车达到最大速度经历的时间一定大于t
C．列车达到的最大速度大小为
D．列车在时间t内牵引力做功为
【答案】B
【详解】A．列车以恒定功率 运动，根据牛顿第二定律可得
列车的速度v逐渐增大，则加速度a逐渐减小，所以列车做加速度减小的加速直线运动，直到达到最大速
度 ，故A错误；
C．当牵引力等于阻力时，列车速度达到最大，则有
解得最大速度为
故C错误；
B．列车以恒定牵引力启动时先做匀加速直线运动，根据功率 ，可知列车速度增大，功率增大，达
到额定功率 后又开始做加速度减小的加速运动，直至达到最大速度，并且此过程与以额定功率 启动的
最后阶段运动情况完全相同，而开始时的加速度比以额定功率 启动的加速度小，所以经历的时间较长，
列车达到最大速度经历的时间一定大于t，故B正确；D．列车从开始到最大速度过程中，根据动能定理
将 代入解得
故D错误。
故选B。
【模型演练6】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）为了减少环境污染，适应能源结构调整的
需要，我国对新能源汽车实行了发放补贴、免征购置税等优惠政策鼓励购买。在某次直线运动性能检测实
验中，根据两辆新能源汽车运动过程分别作出甲车速度随时间变化的 图像和乙车牵引力随速度倒数变
化的 图像，甲车8s至28s以额定功率行驶，乙车匀加速后，也以额定功率行驶，两辆汽车的质量均
为 ，均由静止开始沿平直公路行驶，最终匀速运动。假设两辆车行驶中所受阻力恒定，重力加速
度g取 。则在此次检测中（ ）
A．乙车最大速度为20m/s
B．8s至28s，甲车牵引力做功为
C．甲、乙两车匀加速阶段的加速度均为
D．甲车额定功率小于乙车额定功率
【答案】AC
【详解】A．当乙车速度为10m/s时，牵引力为4000N，恰好达到额定功率，可得当达到最大速度20m/s时，牵引力等于阻力，可得
乙车的加速度为
A正确；
C．甲车匀加速的加速度为
C正确；
D．当甲车速度达到16m/s时，刚好达到额定功率，可得
当甲车达到最大速度30m/s时，牵引力等于阻力，可得
联立解得
故甲车额定功率大于乙车额定功率，D错误；
B．8s至28s，甲车牵引力做功为
B错误。
故选AC。
【模型演练7】（2023·江西南昌·统考三模）港珠澳大桥是建筑史上里程最长、投资最多、施工难度最大的
跨海大桥。如图所示的水平路段由一段半径为 的圆弧形弯道和直道组成。现有一总质量为 、
额定功率为 的测试汽车通过该路段，汽车可视为质点，取重力加速度 。
(1)若汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的径向最大静摩擦力是车重的0.675倍，求该汽车安全
通过此弯道的最大速度；(2)若汽车由静止开始沿直道做加速度大小为 的匀加速运动，在该路段行驶时受到的阻力为车重的0.1
倍，求该汽车运动 末的瞬时功率。
【答案】(1) ；(2)
【详解】(1)径向最大静摩擦力提供向心力时，汽车通过此弯道的速度最大，设最大速度为 ，则有
解得
(2)汽车在匀加速过程中
当功率达到额定功率时
代入数据解得：
则 末发动机功率为
【模型演练8】．（2023·全国·高三专题练习）某智能家居品牌，因科技含量高、丰富的人性化设计深受年
轻人的追捧，其中一款语音控制电动窗帘轨道盒的工作原理可简化成如图所示的示意图，电动机通过轻细
绳拉动滑块A（正常使用时滑块A与窗帘布连接），滑块B为防撞模块（它用一段柔软轻绳与左面墙连
接），从语音控制电动机接收到打开窗帘的指令开始计时，电动机以额度功率牵引滑块A（未连接窗帘布），当滑块A以最大速度向左运动与滑块B发生碰撞，碰撞瞬间电动机自动切断电源停止对滑块A提供
拉力，碰撞时间极短可忽略不计，到达墙面前速度刚好减为零。已知语音控制电动机在正常工作时的额定
功率为0.16W，滑块A、B在轨道上滑动时所受阻力均为滑块重力的0.1倍，滑块A最初位置与滑块B相
距4m。已知m ＝0.2kg、m ＝7.6kg。求：
A B
（1）电动机牵引滑块A在轨道上运动能达到的最大速度；
（2）滑块A由静止出发到最后停在墙边共需要多少时间。
【答案】（1）0.8m/s；（2）5.6s
【详解】（1）由题意可知
P=0.16W，k=0.1，m ＝0.2kg、m ＝7.6kg，L＝4m
A B
当A达到最大速度时牵引力等于阻力，根据功率的计算公式可得
P＝km gv
A m
解得
v ＝0.8m/s
m
（2）设A碰撞前运动时间为t，根据动能定理可得
1
Pt﹣km gL＝
1 A
其中
L＝4m
代入数据解得
t＝5.4s
1
碰撞过程中，取向左为正方向，由动量守恒定律
m v ＝（m +m ）v
A m A B
解得碰撞后的速度大小为
v＝0.2m/s
设碰撞后到静止的时间为t，取向左为正方向，对整体根据动量定理可得
2
-k（m +m ）gt＝0-（m +m ）v
A B 2 A B
解得
t＝0.2s
2
所以滑块A由静止出发到最后停在墙边共需要的时间为t＝t+t＝5.4s+0.2s＝5.6s
1 2
【模型演练9】．（2023·全国·高三专题练习）2022年9月28日汕头海湾隧道正式开通，隧道全长约6.68
公里，全段最高限速为60km/h。海湾隧道中间为盾构段，埋于海底，南北两侧路段以较小的坡度与盾构段
连接，全段可简化为下图所示模型。一汽车从南岸由静止开始以 的加速度沿斜面向下匀加速启动，
已知汽车质量为 ，汽车所受阻力恒为重力的0.2倍。斜面倾角的正弦值 ，重力加速度
。
（1）若汽车发动机的最大功率为 ，下坡阶段足够长，求汽车下坡阶段做匀加速直线运动的
时间。
（2）若汽车在上、下坡时均以最高限速匀速行驶，则下坡和上坡时的汽车发动机功率之比为多少。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）汽车下坡时，以恒定加速度启动，有
其中 ，汽车加速运动过程中，功率逐渐增加，刚达到 时
，
解得
（2）汽车下坡过程中以最高时速 匀速行驶，有
此时汽车发动机功率 ，有汽车上坡过程中以最高时速 匀速行驶，有
此时汽车发动机功率 ，有
解得
【模型演练10】．（2023·河南周口·高三校考阶段练习）2022年中国基建再次震惊世界，6月16日和若铁
路开通运营，和若铁路与南疆铁路、格库铁路构成一条全长2712公里的环塔克拉玛干沙漠铁路线，自此，
世界首条环沙漠铁路线建成。如图所示为铁路修建现场常用的塔式起重机，在起重机将质量为
的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度 ，当
起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做 的匀速直线运动。取
，不计额外功。求：
（1）起重机允许的最大输出功率；
（2）重物做匀加速直线运动所经历的时间和起重机在第2s末的输出功率。
【答案】（1） ；（2）5s，
【详解】（1）设起重机允许的最大输出功率为 ，重物达到最大速度时拉力 等于重力，则有可得
（2）匀加速运动结束时，起重机达到允许的最大输出功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为 ，匀加
速运动经历的时间为 ，则有
联立并代入数据得
第2s末，重物处于匀加速运动阶段
设此时速度为 ，输出功率为P，有
联立并代入数据解得
【模型演练11】．（2023·北京·模拟预测）如图1所示为汽车在足够长水平路面上以恒定功率P启动的模
型，假设汽车启动过程中所受阻力f恒定，汽车质量为M；如图2所示为一足够长的水平的光滑平行金属
导轨，导轨间距为L，左端接有定值电阻R，导轨处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大
小为B，将一质量为m的导体棒垂直搁在导轨上并用水平恒力F向右拉动，导体棒和导轨的电阻不计且两
者始终接触良好。图3、图4分别是汽车、导体棒开始运动后的v t图像，图3和图4中的t 和t 已知。
1 2
（1）请分别求汽车和导体棒在运动过程中的最大速度 和 ；
（2）请求出汽车从启动到速度达到最大所运动的距离x；
1
（3）求出导体棒从开始运动到速度达到最大所运动的距离x
2【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【详解】（1） 代表的是匀速运动的速度，也就是平衡时物体的运动速度，对汽车启动问题，有
①
②
得
对导体棒问题，有
③
④
得
（2）由动能定理可知
⑤（3）由电磁感应定律
⑥
得，在导体棒从开始运动到速度达到最大过程中
⑦
由欧姆定律可知
⑧
故
⑨
由动量定理可知
⑩
计算可知
【模型演练12】．（2023·北京·高三专题练习）电动汽车具有零排放、噪声低、低速阶段提速快等优点。
随着储电技术的不断提高，电池成本的不断下降，电动汽车逐渐普及。电动汽车行驶过程中会受到阻力作
用，已知阻力f与车速v的关系可认为 （k为未知常数）。某品牌电动汽车的电动机最大输出功率
为P ，最高车速为v ，车载电池最大输出电能为A。
m m
①若电动汽车始终以最大输出功率启动，经过时间t 后电动汽车的速度大小为v，求该过程中阻力对电动
0 0
汽车所做的功W；
f
②若该车以速度v（v 小于v ）在平直公路上匀速行驶时，电能转化为机械能的总转化率为η，求该电动
1 1 m
汽车在此条件下的最大行驶里程s。
【答案】（1） ；（2）
【详解】①由动能定理可得阻力对电动汽车所做的功
②若该车以速度v 在平直公路上匀速行驶时，此时车的牵引力大小等于阻力，则有
1
F=
1
电动汽车的电动机的输出功率为
P=Fv=f v
1 1 1 1 1
由功能关系，该电动汽车在此条件下的最大行驶里程，则有
电动汽车最高车速为v ，当电动汽车的速度达到最大时，牵引力等于最大阻力，则有
m
电动汽车的最大功率有
解得
解得该电动汽车在此条件下的最大行驶里程
【模型演练13】．（2023·浙江·模拟预测）公交站点1与站点2之间的道路由水平路面 段、 段及倾
角为15°的斜坡 段组成，斜坡足够长。一辆公交车额定功率为210kW，载人后总质量为8000kg。该车
在 段以54km/h的速率匀速行驶，此过程该车的实际功率为额定功率的一半。该车到达 点时的速率为
21.6km/h，此后在大小恒为 的牵引力作用下运动，直到速度达到54km/h时关闭发动机自由滑行，
结果该车正好停在了 点（站点2）。若在整个行驶过程中，公交车的实际功率不超过额定功率，它在每
一个路段的运动都可看成直线运动，它受到的由地面、空气等产生的阻力 大小不变。已知 ，求：
（1） 的大小；
（2）公交车上坡过程中能够保持匀速行驶的最大速率；
（3） 点与 点之间的距离。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）匀速行驶的速度
匀速运动时
解得
（2）受力分析如图所示
有
又
得（3）C点的速度大小为
加速度为
匀变速的时间为
匀变速的位移为
关闭发动机自由滑行的加速度为
减速的位移为
总位移为
