朝花夕拾19:上海中学27届高三数学开学考

第12题

原题

已知正整数数列满足则________

解析

步骤1：计算前几项寻找规律

逐项计算数列前若干项

观察到，对应下标为，相邻间隔为，均为的幂次

步骤2：证明回归1的下标规律

若第次出现时下标为，则下一次回归1时，下标增量为由数学归纳法可证：第次对应的下标

验证：时，，符合时，，符合时，，符合

步骤3：定位2026附近的回归点

计算得时，，即时，

因此从，开始向后推导

步骤4：递推规律推导

从任意开始，递推规律为

• • 
• • 
• • 对，

，即从往后递推933步，对应

代入得

答案：

第21题

原题

设和是两个不同的函数定义域均为设(1) 若直接写出(2) 若求实数的取值范围(3) 若和的值域也都为且当时恒有证明函数是偶函数

解析

(1)

由得

可取任意实数因此

(2)

对任意恒成立即的最小值大于的最大值

令化简

由基本不等式得

分情况讨论

1. 1. ：需得结合得（时等号不满足严格大于）
2. 2. ：恒成立符合条件
3. 3. ：需得结合得

综上的取值范围为

(3) 证明

任取用反证法证明

假设取实数满足因为的值域为存在使得

由得由题设条件得即

又由得故即与矛盾

同理假设也可推出矛盾因此对任意成立即是偶函数