当高中数学考试变得越来越“超纲”，我们该何去何从？

今天分享一道新高考一卷某地二模试题：

❝

桌上有若干盒牌，两个人轮流从其中一盒拿走任意张牌。 谁拿不到牌谁输。 给出几个具体的牌堆，判断先手是否必胜。

❞

它乍一看是一个类似脑筋急转弯的谜题，实际则上是一个非常经典的组合博弈问题——「Nim 游戏」。

如果知道 Nim 的结论，这道题甚至会变得异常简单。

对于牌堆

只需要计算：

异或为 ，先手必败；异或不为 ，先手必胜。

比如：

所以  是必败局面。

而

所以  是必胜局面。

是不是很漂亮？

但问题来了。

「高中生知道什么是异或吗？」

当然不知道。

至少它不是高中数学课程中的知识。

那么，不知道 Nim 怎么办？

其实这道题也不是完全做不了。

比如最简单的 ：

先手可以把第二盒拿到只剩 1 张：

之后对方拿哪一盒，自己就拿另一盒。

这很容易。

但问题是，一旦局面复杂起来，事情就开始变得有些阴间。

例如 。

如果完全不使用 Nim 的知识，就只能不断讨论：

• 先从第一盒拿；
• 先从第二盒拿；
• 先从第三盒拿；
• 每种情况下对手又有哪些选择……

理论上当然可以做。

但是你会越来越明显地感觉到：

❝

「这道题似乎在逼着你进行大量的状态分类。」

❞

而如果你恰好知道 Nim，只需要做几个异或。

不仅仅只有Nim游戏这一个“超纲”内容。

又比如另外一道二模试题：

出题人可以说是在考察“不等式的性质”，但我想对读过本科的读者们问一句，这难道不是在考察无穷级数的收敛性吗？

关于无穷级数的柯西收敛的证明，甚至可以说，本科非数学专业都不会考察，但是这样的题目，竟然出现在了高中生的考试当中。

再比如今年引起热议的新高考一卷最后一题：

在考试题目公布将近三个月之后，网上关于最后一问的解析质量依旧参差不齐，没有问题的正式证明并不多见。

这是因为这道题实际上要追溯到数学专业本科一二年级专业课“数学分析”甚至是高年级“实分析”的课程内容，这道题的证明是这两门课中常用的技巧。

于是一个很奇怪的问题出现了。

我们究竟在考什么？

假设有两个学生。

学生 A 没有接触过竞赛数学，也不知道 Nim，无穷级数，柯西列。

学生 B 学过组合博弈，知道 Nim 定理，无穷级数，柯西列。

面对同一道题：

学生 B 很快写出结果。

学生 A 则需要自己在大量可能的操作中寻找规律。

那么最后的考试成绩，究竟反映了什么？

是高中数学能力？

是解决陌生问题的能力？

是数学直觉？

还是知识储备？

又或者，是「有没有恰好接触过这类数学」？

这几个东西，其实并不完全一样。

更有意思的是：Nim 真正难的可能不是证明

让我们回到一开始的Nim游戏：

Nim 定理的证明其实并不算特别复杂。

它的核心是：

如果

[ X=0, ]

那么无论怎么操作，都会变成 。

而如果

总能找到一种操作，让它重新变成

[ X=0. ]

于是：

最终让拥有“”这个状态的一方获胜。

证明并不长。

但是：

❝

「如果你根本不知道 XOR，你怎么想到 XOR？」

❞

我最开始甚至想把这道题画成一张有向图。

把每一种牌局看成一个状态，把一次合法操作看成一条有向边。

这样当然是完全正确的。

但问题是：

「图太大了。」

你可以通过这张图计算出哪些状态是必胜态、哪些是必败态。

但仅仅靠把图画出来，你并不会突然得到：

也就是说：

❝

「有向图可以帮助我们验证一个规律（注意并非“证明”），却未必能帮助我们发现这个规律。」

❞

而“猜想”和“证明”恰恰是很多数学问题最有意思、也最困难的地方。

“超纲”究竟是一件好事还是坏事？

如果从一个角度来看，答案似乎是好的。

数学本来就不应该只有课本上的那些公式。

如果一道题让一个高中生第一次意识到：

❝

原来一个简单的小游戏背后，居然有这么漂亮的数学结构。

❞

那么这或许恰恰是一件好事。

数学教育也不应该永远停留在：

真正的数学，本来就充满了未知、猜测和意外。

但从另一个角度来看，事情又完全不同。

如果一道考试题的最佳解法依赖于学生没有学过的数学理论，那么：

「没有接触过这个理论的学生，真的应该为此失分吗？」

如果一个学生恰好参加过数学竞赛，知道图论、数论、组合博弈；

另一个学生只按照学校课程学习。

他们面对的真的是同一场考试吗？

如果我们不断把“发现未知结构”加入考试，

那么考试考查的究竟还是“高中数学”，

还是一种更广义的：

❝

「数学问题解决能力？」

❞

可是，如果完全不超纲呢？

问题又回来了。

如果所有考试题都严格限制在课本知识之内，那么学生是否会越来越习惯于：

❝

“这道题属于哪个题型？”

❞

看到函数就想函数套路；

看到数列就想数列套路；

看到概率就想概率套路。

最终训练出来的究竟是数学能力，

还是「识别题型的能力」？

而一个真正陌生的问题，恰恰可能没有现成的题型。

你不知道应该用什么。

你只能问：

❝

这个问题的结构是什么？

❞

❝

有没有什么量是不变的？

❞

❝

能不能换一种表示？

❞

❝

有没有更高层次的规律？

❞

这似乎又非常接近真正的数学。

所以问题变得越来越奇怪

我们一方面希望高中生：

❝

「不要只会套公式，要学会解决陌生问题。」

❞

另一方面又希望考试：

❝

「建立在所有学生共同拥有的知识基础上。」

❞

前者要求开放。

后者要求边界。

前者希望学生探索未知。

后者要求考试公平。

而当考试越来越“超纲”的时候，这两个目标似乎开始发生冲突。

那么，我们究竟应该怎么办？

我不知道。

甚至我觉得，这个问题可能本来就没有一个简单的答案。

我们当然可以说：

❝

“超纲不好，考试就应该严格按照课纲。”

❞

但这样真的能保证我们培养的是数学，而不是做题技巧吗？

我们也可以说：

❝

“数学就应该开放，学生应该具备解决未知问题的能力。”

❞

但如果未知问题越来越依赖课外知识，

那么它是否又会变成另一种形式的知识竞赛？

也许真正值得讨论的，并不是：

❝

「“这道题到底算不算超纲？”」

❞

而是：

❝

「“我们究竟希望高中数学考试评价什么？”」

❞

是知识？

是技巧？

是理解？

是直觉？

是迁移能力？

还是面对一个自己从未见过的问题时，

仍然能够尝试寻找结构的能力？

我没有答案。

但当我再次看到那个看起来普普通通的牌局时，

我还是会想到：

然后想到一个有点荒谬的问题：

「如果一道高中数学题的最漂亮答案，来自高中数学之外——」

「那么到底是题目出了问题，还是我们对“高中数学”的想象太狭窄了？」