文档文本内容
专题 20 电学计算题
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
在电场部分，常考查电场强度、电势
考点1 恒定电
2021、2023、2024 差、电势能等概念，以及带电粒子在电场
流
中的运动，可能涉及类平抛运动等知识
考点2 带电粒 点，要求考生运用牛顿运动定律、动能定
子在磁场中的 2021、2022、2023、2024、2025 理等求解粒子的运动轨迹、速度和位移
运动 等。
电磁感应是考查的重中之重，题型多
考点3 电磁感
2021、2022 以导体棒切割磁感线或线圈磁通量变化为
应
主，涉及感应电动势、感应电流的计算，
还常结合能量守恒定律，考查电能与其他
形式能量的转化，以及与动量定理结合分
析导体棒的运动过程。
电路部分则侧重于闭合电路欧姆定律
的应用，包括路端电压、电源功率等计
算，也可能涉及非纯电阻电路中电功和电
考点4 交变电
2023 功率的分析，还可能结合实际电路情境，
流
考查电路的动态分析、故障判断等内容。
此外，试题常创设贴近生活实际或前
沿科技的物理情境，如磁悬浮列车、电磁
感应加热装置等，要求考生将物理知识应
用于实际问题，综合考查考生的分析推
理、数学运算等能力。
考点01 恒定电流
1．（2024·浙江·6月选考）某小组探究“法拉第圆盘发电机与电动机的功用”，设计了如图所示装置。飞
轮由三根长a=0.8m的辐条和金属圆环组成，可绕过其中心的水平固定轴转动，不可伸长细绳绕在圆环
上，系着质量m=1kg的物块，细绳与圆环无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电
路通过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开关S可分别与图示中的电路连接。已知电源电动势E =12V
0
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学科网（北京）股份有限公司、内阻r=0.1Ω、限流电阻R =0.3Ω、飞轮每根辐条电阻r =0.9Ω，电路中还有可调电阻R（待
1 0 2
求）和电感L，不计其他电阻和阻力损耗，不计飞轮转轴大小。
（1）开关S掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数U=8V。
①判断磁场方向，并求流过电阻R 的电流I；
1 1
②求物块匀速上升的速度v。
1
（2）开关S掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与“电动机”匀速提
升物块的速度大小相等，
①求可调电阻R 的阻值；
2
②求磁感应强度B的大小。
2．（2023·浙江·6月选考）某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导
轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A组成，并形成闭合回路。装置A能自动
调节其输出电压确保回路电流I恒定，方向如图所示。导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什
么位置，电流I在导电杆以上空间产生的磁场近似为零，在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，
大小B =kI（其中k为常量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀
1
强磁场，大小B =2kI，方向与B 相同。火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v 进入导
2 1 0
轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停。已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距
3Mg
d=
，导电杆电阻为R。导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻
kI2
和装置A的内阻。在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L；
（2）求回路感应电动势E与运动时间t的关系；
（3）求装置A输出电压U与运动时间t的关系和输出的能量W；
（4）若R的阻值视为0，装置A用于回收能量，给出装置A可回收能量的来源和大小。
2 / 23
学科网（北京）股份有限公司3．（2021·浙江·1月选考）嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无
法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导
轨、产生垂直船舱导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，
“∧”型线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m 整个装置竖
1
直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨
0
下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r，“∧”型线框的质量为m，其
2
7条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为g/6。整个运动过程中只有ab边在磁场中，
线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。
(1)求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E；
(2)通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab型线框的电流I；
0
(3)求船舱匀速运动时的速度大小v；
(4)同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收
部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大小v′和此时电容器所带电荷量
q。
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学科网（北京）股份有限公司考点02 带电粒子在磁场中的运动
4．（2025·浙江·1月选考）同位素 14C相对含量的测量在考古学中有重要应用，其测量系统如图1所示。
6
将少量古木样品碳化、电离后，产生的离子经过静电分析仪ESA-I、磁体-I和高电压清除器，让只含有
三种碳同位素
12C、 13C、 14C的C3+离子束（初速度可忽略不计）进入磁体-Ⅱ．磁体-Ⅱ由电势差为U
6 6 6
的加速电极P，磁感应强度为B、半径为R的四分之一圆弧细管道和离子接收器F构成。通过调节U，
可分离
12C、 13C、❑ 14C三种同位素，其中 12C、 13C的C3+离子被接收器F所接收并计数，它们的
6 6 6 6 6
离子数百分比与U之间的关系曲线如图2所示，而 14C离子可通过接收器F，进入静电分析仪ESA-
6
Ⅱ，被接收器D接收并计算。
(1)写出中子与 14N发生核反应生成 14C，以及 14C发生β衰变生成 14N的核反应方程式：
7 6 6 7
(2)根据图2写出 12C的C3+离子所对应的U值，并求磁感应强度B的大小（计算结果保留两位有效数
6
字。已知R=0.2m，原子质量单位u=1.66×10−27kg，元电荷e=1.6×10−19C）；
(3)如图1所示，ESA-Ⅱ可简化为间距d=5cm两平行极板，在下极板开有间距L=10cm的两小孔，仅允
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学科网（北京）股份有限公司许入射角φ=45°的 14C离子通过。求两极板之间的电势差U：
6
(4)对古木样品，测得 14C与 12C离子数之比值为4×10−13；采用同样办法，测得活木头中 14C与 12C
6 6 6 6
的比值为1.2×10−12，由于它与外部环境不断进行碳交换，该比例长期保持稳定。试计算古木被砍伐距
今的时间（已知
14C的半衰期约为5700年，ln3=1.1,ln2=0.7）
6
5．（2024·浙江·1月选考）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”
和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大
小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为φ 和φ
Ⅰ Ⅲ
，其电势差U=φ −φ 。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角θ射向Ⅰ区，在P点以出
Ⅰ Ⅲ
射角θ射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角θ射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方
向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为v ，不
0
计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。
（1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值；
mv2
（2）若U= 0，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值）
2e
（3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区）
√3mv 4mv
（4）在P点下方距离 0处水平放置一长为 0的探测板CQD（Q在P的正下方），CQ长为
eB eB
mv
0，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同
eB
时从O点射入Ⅰ区，且θ=30°，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。
6．（2024·浙江·6月选考）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，
截面如图所示。在xOy平面内，除x轴和虚线之间的区域外，存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面
向外的匀强磁场，在无磁场区域内，沿着x轴依次放置离子源、长度为L的喷镀板P、长度均为L的栅
极板M和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P上表面中点Q的坐标为（1.5L，0），栅极板M
中点S的坐标为（3L，0），离子源产生a和b两种正离子，其中a离子质量为m，电荷量为q，b离子
1 B2qL2
的比荷为a离子的 倍，经电压U=kU（其中U = ，k大小可调，a和b离子初速度视为0）的电
4 0 0 8m
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学科网（北京）股份有限公司场加速后，沿着y轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N和M间电压U 调控（U >0），a和b离
NM NM
子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收且电中和，忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子
间相互作用力。
（1）若U=U，求a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置x（用L表示）。
0 0
3
（2）调节U和U ，并保持U = U，使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，求：
NM NM 4
①U的调节范围（用U 表示）；
0
②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度；
（3）要求a和b离子恰好分别落在喷镀板P上下表面的中点，求U和U 的大小。
NM
7．（2023·浙江·6月选考）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面
（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应
强度大小为B 的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B 的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的
1 2
下边界与x轴重合。位于(0,3L)处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为
60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效
应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v 及其在磁场中的运动时间t；
1
L
（2）若B =2B ，求能到达y= 处的离子的最小速度v；
2 1 2 2
B B qL 6B qL
（3）若B = 1 y，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在 1 ~ 1 范围，求进入第四
2 L m m
象限的离子数与总离子数之比η。
8．（2023·浙江·1月选考）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直xOy
平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属
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学科网（北京）股份有限公司薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。
位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为60∘
1
；且各个方向均有速度大小连续分布在 v 和√2v 之间的离子射出。已知速度大小为v 、沿y轴正方
2 0 0 0
向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽
（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。
（1）求孔C所处位置的坐标x ；
0
（2）求离子打在N板上区域的长度L；
（3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压U ；
0
（4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压U 与
x
孔C位置坐标x之间关系式。
9．（2022·浙江·1月选考）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy平
面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O。有一由x轴、y轴
和以O为圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向
垂直纸面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ
1
右侧还有一左边界与y轴平行且相距为l、下边界与x轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够
长，其中的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M逸出后经极板间电压U加速
（板间电场视为匀强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为
（a+2l，0）的点上，被置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M的逸出功为
W，普朗克常量为h。忽略电子的重力及电子间的作用力。当频率为ν的光照射板M时有光电子逸
0
出，
（1）求逸出光电子的最大初动能E ，并求光电子从O点射入区域Ⅰ时的速度v 的大小范围；
km 0
√3eU √emU
（2）若区域Ⅰ的电场强度大小E=B ，区域Ⅱ的磁感应强度大小B = ，求被探测到的电
1 m 2 ea
子刚从板M逸出时速度v 的大小及与x轴的夹角β；
M
（3）为了使从O点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电场
强度E和区域Ⅱ的磁感应强度B，求E的最大值和B 的最大值。
2 2
7 / 23
学科网（北京）股份有限公司10．（2022·浙江·6月选考）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直
xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存
在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A
点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度
大小为v 的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的
0
离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B的大小；
②若速度大小为v 的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小；
0
（2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转
筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；
6v
（3）若转筒P的角速度小于 0，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探
R
测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。
11．（2021·浙江·6月选考）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两
平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点，
垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀
强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量B 和B 随
x y
时间周期性变化规律如图乙所示，图中B 可调。氙离子（Xe2+）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀
0
速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N
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学科网（北京）股份有限公司中心点O处相对推进器的速度为v。已知单个离子的质量为m、电荷量为2e，忽略离子间的相互作
0
用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
（1）求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小v ；
S
（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节B 的值，使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P
0
射出，求B 的取值范围；
0
（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P射出的离子数为n，且
√2mv
B = 0。求图乙中t 时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。
0 5eL 0
12．（2021·浙江·1月选考）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工
作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离
子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁
场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均
为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R 和R 的四分之一圆
1 2
环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正
方体，其偏转系统的底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子
恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计
离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有sinα≈tanα≈α
1
，cosα≈1− α2 。求：
2
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。
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学科网（北京）股份有限公司考点03 电磁感应
13．（2022·浙江·6月选考）舰载机电磁弹射是现在航母最先进的弹射技术，我国在这一领域已达到世界先
进水平。某兴趣小组开展电磁弹射系统的设计研究，如图1所示，用于推动模型飞机的动子（图中未
画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，可在水平导轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场
中，其所在处的磁感应强度大小均为B。开关S与1接通，恒流源与线圈连接，动子从静止开始推动
飞机加速，飞机达到起飞速度时与动子脱离；此时S掷向2接通定值电阻R，同时施加回撤力F，在
0
F和磁场力作用下，动子恰好返回初始位置停下。若动子从静止开始至返回过程的v-t图如图2所示，
在t 至t 时间内F=(800－10v）N，t 时撤去F。已知起飞速度v=80m/s，t=1.5s，线圈匝数n=100匝，
1 3 3 1 1
每匝周长l=1m，飞机的质量M=10kg，动子和线圈的总质量m=5kg，R=9.5Ω，B=0.1T，不计空气阻力
0
和飞机起飞对动子运动速度的影响，求
（1）恒流源的电流I；
（2）线圈电阻R；
（3）时刻t。
3
14．（2022·浙江·1月选考）如图所示，水平固定一半径r=0.2m的金属圆环，长均为r，电阻均为R 的两
0
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学科网（北京）股份有限公司金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴OO′上，并随轴
以角速度ω=600rad/s匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为B 的匀强磁场。圆环边缘、与
1
转轴良好接触的电刷分别与间距l 的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C=0.09F的电容
1
器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。电容器左侧宽度也为l、长度为l、磁感应强度
1 2
大小为B 的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒ab，磁场区域外有间
2
距也为l 的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“［”形金属框fcde。棒ab长
1
度和“［”形框的宽度也均为l、质量均为m=0.01kg，de与cf长度均为l=0.08m，已知l=0.25m，
1 3 1
l=0.068m，B=B=1T、方向均为竖直向上；棒ab和“［”形框的cd边的电阻均为R=0.1Ω，除已给
2 1 2
电阻外其他电阻不计，轨道均光滑，棒ab与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开
关S和接线柱1接通，待电容器充电完毕后，将S从1拨到2，电容器放电，棒ab被弹出磁场后与
“［”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S与2断开，已知框abcd在倾斜轨道上重心上升0.2m
后返回进入磁场。
（1）求电容器充电完毕后所带的电荷量Q，哪个极板（M或N）带正电？
（2）求电容器释放的电荷量ΔQ；
（3）求框abcd进入磁场后，ab边与磁场区域左边界的最大距离x。
15．（2021·浙江·6月选考）一种探测气体放电过程的装置如图甲所示，充满氖气（Ne）的电离室中有两
电极与长直导线连接，并通过两水平长导线与高压电源相连。在与长直导线垂直的平面内，以导线为
对称轴安装一个用阻值R =10Ω的细导线绕制、匝数N=5×103的圆环形螺线管，细导线的始末两端
0
c、d与阻值R=90Ω的电阻连接。螺线管的横截面是半径a=1.0×10−2m的圆，其中心与长直导线的
距离r=0.1m。气体被电离后在长直导线回路中产生顺时针方向的电流I，其I−t图像如图乙所示。
kI
为便于计算，螺线管内各处的磁感应强度大小均可视为B= ，其中k=2×10−7T⋅m/A 。
r
（1）求0~6.0×10−3s内通过长直导线横截面的电荷量Q；
（2）求3.0×10−3s时，通过螺线管某一匝线圈的磁通量Φ；
（3）若规定c→R→d为电流的正方向，在不考虑线圈自感的情况下，通过计算，画出通过电阻R的
i −t图像；
R
（4）若规定c→R→d为电流的正方向，考虑线圈自感，定性画出通过电阻R的i −t图像。
R
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学科网（北京）股份有限公司考点04 交变电流
16．（2023·浙江·1月选考）如图1所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆，与长为2l的
两轻质横杆组成，且L≫2l。线框通有恒定电流I ，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O为原
0
点、转轴为z轴建立直角坐标系，在y轴上距离O为a处，固定放置一半径远小于a，面积为S、电阻
为R的小圆环，其平面垂直于y轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度ω匀速转动，当线框平
面与xOz平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y分量B 与时间的近似关系如图2所示，图
y
中B 已知。
0
π
（1）求0到 时间内，流过圆环横截面的电荷量q；
ω
2π
（2）沿y轴正方向看以逆时针为电流正方向，在0~ 时间内，求圆环中的电流与时间的关系；
3ω
（3）求圆环中电流的有效值；
π Δω
（4）当撤去外力，线框将缓慢减速，经
时间角速度减小量为Δω( ≪1)
，设线框与圆环的
ω ω
能量转换效率为k，求Δω的值（当0<x≪1 ，有(1− x)2≈1−2 x）。
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学科网（北京）股份有限公司1．（2025·浙江北斗星盟·三模）如图所示，平行光滑的金属导轨由水平和左右两倾斜导轨组成，水平导轨
与两侧倾斜导轨均有光滑绝缘圆弧轨道（长度可忽略）平滑相连。两侧倾斜导轨与水平面夹角均为
30°。左侧倾斜导轨由间距L的导轨CE、DF构成，水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨连
接构成，其中EG、FH段间距为L，有与竖直方向成60°斜向左上方的磁感应强度大小为2B的匀强磁
场。MP、NQ段间距为2L，有与竖直方向成（斜向右上方的磁感应强度大小为B的匀强磁场。右侧足
够长的倾斜导轨PK、QJ间距为2L，上端连接电容为C的电容器，有垂直右侧倾斜导轨平面向上的磁
感应强度大小为5B的匀强磁场。导体棒甲的质量为0.5m、电阻为R，乙的质量为m、电阻不计，导体
棒乙静止于MP、NQ段。现使导体棒甲自斜面导轨上距水平导轨h高度处静止释放，两金属棒在运动
过程中始终垂直导轨，且与导轨保持良好接触。若稳定时导体棒甲未进入MP、NQ段，导轨电阻和空
5
气阻力均忽略不计。已知B=0.2T， m=0.4kg，h=0.45m，L=0.2m，R=0.3Ω，C= F，g=10m/s2。
12
求：
(1)甲棒刚进入磁场时，乙棒的加速度；
(2)从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，通过乙棒的电量；
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学科网（北京）股份有限公司(3)从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，回路产生的焦耳热；
(4)稳定后，乙棒进入右侧倾斜轨道，随即撤去甲棒，求乙棒上滑的最大距离。
2．（2025·浙江Z20名校联盟·模拟预测）芯片制造工艺中，离子注入控制是一道重要的工序。某技术人员
利用电磁场设计一种方案简要如图所示，从离子源产生的离子（初速度不计）经匀强电场加速U 后，
0
沿中轴线飞入平行金属板A、B，之后经需要先后进入由电流控制磁场的半径为r（较小）的圆形边界
匀强磁场B 和足够大的匀强磁场B，两磁场的磁感应强度分别由相应的电流I 和I 大小和方向控制，
x y x y
磁感应强度与电流关系满足B=kI，k为常数，忽略边缘效应，以平行极板中心O为坐标原点，建立O-
xyz坐标系（垂直纸面向外为z轴正方向），平行极板长为L，间距为d，圆形边界在YOZ平面内的匀
1
强磁场B 的圆心坐标（0，L，0），待制造芯片放置位置中心坐标（0，L，0）。已知离子电量为
X 2 3
θ
2tan
2
+q、质量为m。tanθ=
θ
1− tan2
2
(1)若I=I=0时，离子恰好打到（R， L， O） 点，求U 的值；
x y 3 AB
(2)若U =0， I =0时，控制离子恰好打到（0，L，R）点，求I 的值；
AB y 3 x
(3)若U =0，I 为某值时，离子经圆形磁场偏转θ角进入B 磁场，试导出离子打到芯片上位置 （x，
AB x y
y，z） 与I 的关系式（设离子转动不到90°）。
y
3．（2025·浙江精诚联盟·二模）如图所示，间距l=1m的两平行竖直导轨空间存在垂直平面向内的匀强磁
场，磁感应强度B=1T，其中AB两处为处于同一高度、长度可忽略不计的绝缘物质，其余部分均由金
属材料制成，其上下分别接有电阻R=0.2Ω和电容C=1F，开始时电容器不带电。现将一质量m=1kg的
导体棒从上磁场边界上方不同高度h处紧贴导轨静止释放，导体棒与导轨始终接触良好，导轨和导体棒
的电阻极小，忽略一切摩擦，不计回路自感。若AB上下导轨足够长，
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学科网（北京）股份有限公司(1)试定性分析导体棒进入AB上方磁场区时运动的情况，并在答题纸上画出其速率随时间变化可能的
关系曲线；
(2)导体棒通过AB后一瞬间，求电容器C所带的电荷量；
(3)求导体棒运动到AB下方y=1.5m处的速度。
4．（2025·浙江稽阳联谊学校·二模）某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律，设计装
置如图所示，频率为ν=1.06×1015Hz的激光照射在竖直放置的锌板K的中心位置O点，其右侧距离
为d =0.4m处有另一足够大极板A，A上正对O点有一竖直狭缝，并在两极板间加电压U=1.8V，两极
1
板间电场可视为匀强电场。在A板右侧有宽度为D、方向垂直纸面向内、大小为B=10−5T的匀强磁
场。锌板的逸出功W=5.376×10−19J，普朗克常量h=6.6×10−34J⋅s，电子质量为m=9×10−31kg
，元电荷e=1.6×10−19C，π=3，sin53°=0.8，cos53°=0.6。不计光电子重力及光电子间的相互
作用。求：
(1)光电子到达极板A的最大速度v ；
m
(2)极板A上有光电子打中的区域面积；
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学科网（北京）股份有限公司(3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件，并计算电子在磁场中运动最短时
间（计算结果保留1位有效数字）；
(4)将匀强磁场改为垂直平面向内的非匀强磁场，磁感应强度满足B′=kx(k=2×10−4T/m)，x为该位
置到磁场左边界的距离，要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D′应满足的条件。
5．（2025·浙江稽阳联谊学校·二模）倾角为θ=37°间距为L=0.5m的固定金属导轨下端接R=0.4Ω的电阻，
导轨平面有三个区域，如图所示，图中虚线为区域边界。区域Ⅰ宽度为x =1m，无磁场。区域Ⅱ宽度为
1
x =2m，有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B =1T。区域Ⅲ宽度为x =1m，有垂直斜面向下的
2 1 3
匀强磁场，磁感应强度为B =0.4T。质量为m=0.5kg，电阻为r=0.1Ω，长度也为L=0.5m的导体棒ab垂
2
直导轨放置，从区域Ⅰ下边界开始在电动机牵引作用下由静止开始加速，进入区域Ⅱ时，速度为
v=4m/s，且恰好能匀速通过区域Ⅱ。当导体棒刚进入区域Ⅲ时关闭电动机，导体棒恰好能到达区域Ⅲ
的上端。已知导体棒与区域Ⅰ导轨间的动摩擦因数为μ=0.5，其它区域导轨光滑。导体棒在区域Ⅰ、Ⅱ
时，电动机功率保持不变，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，不计导轨电阻，重力加速度g=10m/s2
。求：
(1)导体棒在区域Ⅱ运动时两端的电压U ；
ab
(2)电动机的功率P；
(3)全过程所用时间t；
(4)全过程中电阻R产生的焦耳热Q 。
R
6．（2025·浙江Z20名校联盟·模拟预测）如图所示，半径r=0.5m的均匀金属圆盘D垂直固定在水平金属
转轴上，圆盘中心位于转轴中心线上，不计转轴粗细。D盘处存在方向平行转轴向左、大小B =0.5T
1
的匀强磁场。圆盘边缘和转轴分别通过电刷连接间距L=1m的水平平行金属导轨。导轨HI处用绝缘材
料平滑连接，左侧接有电容C=0.5F的电容器，EG与绝缘点HI之间有方向竖直向下的匀强磁场
B =0.5T，JK左侧、HI右侧区域有方向竖直向下、大小随x变化的磁场（x表示到JK的距离），变化
2
规律满足B =2√x（T）（x≥0），同一位置垂直于轨道方向的磁场相同，紧靠JK左侧附近放置质量
3
m=0.5kg、电阻R=0.5Ω、边长d=0.5m的“]”缺边正方形金属框PPQQ， 质量也为m=0.5kg的金属棒
1 1
ab放置在HI的左侧EG处，其单位长度的电阻R =1.0Ω/m，保持金属圆盘按图示方向以ω=16rad/s的
0
角速度匀速转动。不考虑电流产生的磁场影响，除已知电阻外其他电阻不计，忽略转动的摩擦阻力。
1 Q2
E= CU2=
2 2C
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学科网（北京）股份有限公司(1)单刀双掷开关S接通1时，电容器M板带正电还是负电荷，带电量多少；
(2)稳定后S接通2，金属棒ab到达HI前已达到稳定速度，求棒ab到HI过程中产生的热量；
(3)金属棒ab与缺边正方形金属框发生完全非弹性碰撞后，
①求碰后瞬间U ；
PQ
②金属框出磁场过程中，棒ab两端电压随x的关系。
7．（2025·浙江温州·三模）如图所示，水平固定一半径r=0.5m的金属圆环，圆环右侧水平放置间距L=1m
的平行金属直导轨，两导轨通过导线及电刷分别与金属圆环，过圆心O的竖直转轴保持良好接触，导
轨间接有电容C=0.5F的电容器，通过单刀双掷开关S可分别与触点1、2相连，导轨最右端连接恒流
源，可为电路提供I=2A的电流，方向如图所示。金属圆环所在区域Ⅰ，矩形PQMN区域Ⅱ，正三角形
EFG区域Ⅲ存在磁感应强度大小分别为B =1T，B =2T，B =√3T的匀强磁场，磁场方向均竖直向下。
1 2 3
区域Ⅱ沿导轨方向足够长，区域Ⅱ的F，G两点分别在两导轨上，且FG垂直于导轨。导轨在M、N处各
被一小段绝缘材料隔开。金属杆a与圆环接触良好，以角速度ω=4rad/s绕转轴逆时针匀速转动。质
√2
量m=8.0kg，电阻R= Ω的金属杆b垂直导轨静置于PQ右侧。不计其他电阻和一切摩擦阻力。
10π
√m
（提示：简谐运动回复力与位移的关系为F=− kx，周期T=2π ）
k
(1)开关S置于触点1，求电容器充电完毕后所带的电荷量Q ；
0
(2)电容器充电完毕后，再将开关S置于触点2，求：
①金属杆b到达MN时的速度大小v 。
1
②金属杆b从开始进入区域Ⅲ到速度减为0的过程中，恒流源输出的能量E。
③金属杆b从PQ离开区域Ⅱ前，电容器最终带电荷量Q。
8．（2025·浙江县域教研联盟·模拟）某智能电力系统可提供或回收电能，其工作方式简要理解如下。如图
所示，水平面内有光滑轨道MN和PD，间距为L，在MN轨道上设置了一个开关S，在MN和PD间用导线接
了智能电力系统A，接了阻值为R 的定值电阻。在水平面上布置垂直水平面的足够大的匀强磁场，磁感
2
应强度为B，现在轨道上放置光滑导体杆ab，阻值为R ，在ab上施加水平向左的恒力，闭合开关S，使
1
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学科网（北京）股份有限公司之由静止开始向右做加速度大小为a的匀加速运动。
(1)若此过程电路中电流恒定大小为I，
①判断电流流过ab棒的方向
②求恒力的大小
③求智能电力系统输出的功率P随时间t的变化关系
(2)若恒力为F，ab由静止开始向左运动，加速度大小仍为a，经过时间t，智能电力系统被充的电能E
（只考虑被充的电能，不考虑净值）与时间t的关系
9．（2025·浙江宁波·三模）如图所示，在xOy平面内有一平行于y轴宽为R的线状电子源，每秒沿x轴正方
向均匀发射n个速度相同的电子。电子源中心与半径为R、磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的
圆形匀强磁场区域圆心O 等高。射入圆形磁场区域的电子汇聚到磁场的最低点O后，进入x轴正下方足
1
够大的、磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场区域。在x轴上有一左端置于原点O点，
(√6+√2)R
长为s= 的电子收集板（不计收集板的厚度）。打到收集板上的电子被收集板吸收后全部导
2
入大地。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略电子重力和电子间的相互作用。
(1)求从电子源发射出来的电子的速度大小；
(2)求电子从O点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围；
(3)电子源发射一段时间后，求收集板接地导线中的电流大小；
(4)若收集板平行于y轴放置，且足够长，其上端位于原点O，则在收集板向右平移的过程中，试求收
集板上能接收到电子的区域长度l与收集板所处位置横坐标x之间的关系。
10．（2025·浙江金华·三模）图1为某离子发电装置，可简化为三个区域：离子发射区、加速区和发电
区，图2是其截面示意图。发射区存在一垂直纸面向里的半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度
为B，长度均为L的线状离子发射源P（正离子源）、Q（负离子源）正对位于磁场的上下顶点；加速
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学科网（北京）股份有限公司12qB2R2
区由两高度均为R，长、宽均为L的匀强电场组成，电场强度E= ，电场方向相反；发电区
mL
由长为3R，宽为L的平行金属板S、T组成，板间存在垂直纸面向里，大小可调的匀强磁场，金属板
外连接开关和电动机，开关初始均断开。电场上下边界及金属板S、T均与圆形磁场上下边界切线共
线。离子发射源P、Q单位时间单位长度分别能向右侧90°范围内均匀发射N个质量为m，初速率相
同，电量为q的离子，且所有离子均能水平离开圆形磁场区域。不考虑离子间作用力及离子重力，
求：
(1)离子发射的初速率v 及发射区磁场内离子运动的最长时间；
0
(2)当发电区磁感应强度为B时，提供的最大电动势及闭合S 且电路稳定时的外电路电流；
1
(3)当发电区磁感应强度B'=5B时，保持S 断开，闭合S ，待电路稳定后，测得金属板间电压为
1 2
40qB2R2
U= ，电动机此时消耗的功率多大？
m
11．（2025·浙江湖州·三模）图1为某振动发电机原理图，图2是其俯视图。质量m=0.2kg的共轭磁铁由
一竖直轻质弹簧（劲度系数k=200N/m）与水平地面连接，磁铁和弹簧构成振动体。磁铁中心部分为
N极，外圆部分为S极，两磁极之间可视为均匀辐向磁场。固定不动的线圈与磁铁共轴且始终处于辐
向磁场内，线圈所处的磁感应强度大小B=0.5T，线圈匝数n=20匝，直径d=10cm，电阻r=1Ω。线
圈上下两端点a、b通过导线与外部一理想二极管D和阻值R=4Ω的电阻构成闭合回路（如图3）。在
外力F的驱动下，磁铁在竖直方向做简谐运动，若取竖直向上为正，初始平衡位置为原点，其振动方
程y=0.01sin100πt(m)。已知磁铁最大速率v =πm/s，当弹簧形变量为x时，其弹性势能
m
1
E = kx2 。不考虑空气阻力、线圈的自感和其它电阻，计算时π2取10。求
p 2
(1)t=0时，线圈中产生电动势的大小E 及电流的大小I ；
0 0
(2)0~1s内，电阻R上产生的热量Q；
(3)0~0.02s内，通过电阻的电荷量q；
(4)0.01s~0.015s内，外力F做的功W。
12．（2025·浙江台州·二模）如图所示，接有恒流源的光滑水平导轨放在地面上，处于垂直地面向下、磁
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学科网（北京）股份有限公司感应强度为B的匀强磁场中，取cd中点为坐标原点O，以水平向右为正方向建立x轴，导轨关于x轴
对称且关于cd也对称。a、b的间距为2L，横坐标为x=-x，c、d处是光滑绝缘件，间距为L。导轨上
a
的金属棒与x轴垂直且对称，在安培力作用下从x=-x 位置静止开始向右运动。已知金属棒的质量为
a
m，长度为3L，电阻为R，恒流源甲、乙能自动调节其输出电压确保回路电流恒定，分别为I、3I。金
属棒与导轨接触良好，不计导轨电阻和空气阻力。
(1)金属棒运动至x=-0.6x 过程中，求安培力做的功；
a
(2)金属棒运动至x=-0.6x 时，求恒流源甲的输出电压；
a
t
1
(3)金属棒运动至x=-0.6x、x=0的时间分别为t、t，求 ；
a 1 2 t
2
(4)求金属棒速度为0时的坐标x。
13．（2025·浙江绍兴·三模）自由电子激光器是以自由电子束为工作物质产生激光的装置，它在科研、生
产等领域中都具有重大应用前景。如图所示，它的基本结构有三个部分：电子束加速器、扭摆器和光
学谐振腔。其中扭摆器是自由电子激光器的核心部分，它由沿z方向按空间周期A=2mm排列（即单一
磁场边界宽度是1mm）的永磁体组成，总长度为1m，产生沿±x方向周期性分布的磁场，磁感应强度
大小恒为B =0.0225T。电子束由静止出发经过加速器加速，在xOz平面内与z轴成60∘方向射入轨道
0
半径为R=0.09m的弯曲磁体（产生沿y轴正方向的匀强磁场），经过弯曲磁体后，沿z轴正方向注入
扭摆器。高速运动的电子在扭摆器中受到周期性磁场的作用做扭摆运动，同时辐射出电磁波，电磁波
的频率等于电子在y方向的振动频率。不考虑多普勒效应，电子束辐射电磁波对电子动能的损耗可忽
略不计。电子静止质量m=9.0×10−31kg，电子电荷量−e,e=1.6×10−19C，光速为c=3×108m/s
。
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学科网（北京）股份有限公司(1)已知电子进入扭摆器的速度为v =8×106m/s，在不考虑相对论效应的情况下，求
1
①电子束加速器的加速电压U；
②弯曲磁体区域的磁感应强度B ；
1
③一个电子经过扭摆器的时间t；
(2)在电子速度为v =0.8c时，必须考虑相对论效应，已知相对论导致的“尺缩效应”由公式
0
√ v2
l=l 1− 决定，其中l 为相对静止时测得的物体长度，l为相对物体以速度v运动时测得的物体长
0 c2 0
度。
①电子在z方向的速度改变很小，可认为几乎保持v 不变，电子在y方向的周期性运动导致的侧移可忽
0
略不计，求在运动电子参考系观察（即沿z轴正方向以速度v 运动的惯性参考系）到的辐射激光的波
0
长；
②谐振腔镜之间的距离d称为谐振腔的长度，在谐振腔中，激光依次经前、后谐振腔镜反射后再次到
达出射的前谐振腔镜，其相位不变，若某个实验中，辐射激光的频率为0.75×1018Hz，求d可能的
值。
14．（2025·浙江温州·二模）如图1所示，在光滑绝缘的水平面内建立xOy坐标系，空间中0<x<5L的范围
内存在竖直向下的磁场，任一时刻磁感应强度分布与y无关，随x按B=kx的规律变化，k随时间的变
化如图2所示，其中k =2T/m，t =0.5s。水平面上有一边长L=1m、质量m=2kg、总电阻R=0.5Ω的
0 0
匀质正方形刚性导线框abcd，0~t 内锁定在图1所示的位置，t 时刻解除锁定，同时对线框施加向右
0 0
的水平恒力F =4 N，使之开始沿x轴正方向运动，已知当ab边到达x=3L时，线框开始做匀速运动。
0
在线框ab边越过磁场右边界后瞬间，改施加变力，使之后线框在离开磁场的过程中其电流保持不
变。线框在全过程中始终处于xOy平面内，其ab边与y轴始终保持平行，空气阻力不计。求：
21 / 23
学科网（北京）股份有限公司(1)0~t 内线框中电流I的大小及方向；
0
(2)线框在磁场中匀速运动的速度大小v；
(3)线框在匀速运动过程中，ab两端的电势差U 随ab边的x坐标变化的关系式；
ab
(4)线框在穿出磁场的过程中产生的焦耳热Q。
15．（2025·浙江宁波十校·一模）十九世纪中叶，科学家对物理学电学量的研究有广泛兴趣。图甲改编自
当年Rayleigh与Sidgwick设计的实验装置。其中恒流源提供大小为I=10 A的电流，方向如图箭头所
示。图甲中R 为可变电阻，R 为阻值0.25Ω的定值电阻，S 、S 为单刀双掷开关。两个相同的线圈A
1 2 1 2
、B，匝数均为N=5×104匝，半径均为k=0.5 m。其中心处各有一电阻不计且上端带电刷的中心镂空
导体圆盘，两者相距l=5 m，圆盘大圆半径r =0.3 m，小圆半径r =0.1 m，如图乙所示。圆盘套在一
1 2
根薄壁轻质中空的金属转轴上并和它固定，转轴薄壁厚度d=1 mm，电阻率ρ=π×10−5Ω⋅m 。一足
够长且不计粗细的轻绳一端缠绕在转轴上，另一端连接一质量M=0.05 kg的重物。已知一匝电流为I
μ I
的线圈在中心处产生的磁感应强度大小为 0 （其中μ =4π×10−7N/A2 为真空磁导率，k为线圈
2k 0
半径），圆盘处可看作匀强磁场。实验开始时装置开关S 与S 分别置于a、c。由静止释放重物，从左
1 2
往右看转轴为顺时针转动。假设装置中A、B线圈产生的磁场互不干扰，不计一切阻力，计算时将
π2≈10。
(1)比较a点和c点的电势高低；
(2)计算重物最终运动状态时圆盘的角速度的大小；
(3)重新开始实验时，将S 与S 分别置于b、d，发现当物块速度v=6 m/s时灵敏电流计G表的示数为
1 2
0。求此时可变电阻R 大小。
1
16．（2025·浙江绍兴一中·模拟）如图所示，足够长的平行金属导轨CDC′D′水平放置，左右两端各与
表面涂有绝缘涂层的倾斜导轨ACA′C′、DED′E′平滑连接，左侧导轨顶端接有C=10F的电容器
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学科网（北京）股份有限公司和理想二极管，右侧顶端与无限长水平金属导轨EFE′F′平滑连接，导轨间距L=0.5m，水平部分
均有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=0.2T；EFE′F′导轨上放置一根长为L、质量m=0.1kg
、电阻R=1Ω的导体棒b，b棒左侧有一个自动控制开关S，其通断由C′、D′处的两触发器控制，
当导体棒经过两个触发器各一次时S才自动改变通断状态。不计一切摩擦阻力和连接处能量损耗。
(1)起初S“断开”，将与b完全相同的导体棒a从右侧斜轨上高h=3.2m处静止释放，求a棒
①第一次达到匀速时的速度大小；
1
②最多能产生的焦耳热（提示：电容器储存的能量E= CU2 ）；
2
(2)起初S“闭合”，将a棒从左侧斜轨上高3.2m处静止释放，求a棒
①第三次达到匀速时的速度大小；
②稳定时的速度大小。
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