文档内容
专题 20 电学计算题
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
在电场部分，常考查电场强度、电势
考点1 恒定电
2021、2023、2024 差、电势能等概念，以及带电粒子在电场
流
中的运动，可能涉及类平抛运动等知识
考点2 带电粒 点，要求考生运用牛顿运动定律、动能定
子在磁场中的 2021、2022、2023、2024、2025 理等求解粒子的运动轨迹、速度和位移
运动 等。
电磁感应是考查的重中之重，题型多
考点3 电磁感
2021、2022 以导体棒切割磁感线或线圈磁通量变化为
应
主，涉及感应电动势、感应电流的计算，
还常结合能量守恒定律，考查电能与其他
形式能量的转化，以及与动量定理结合分
析导体棒的运动过程。
电路部分则侧重于闭合电路欧姆定律
的应用，包括路端电压、电源功率等计
算，也可能涉及非纯电阻电路中电功和电
考点4 交变电
2023 功率的分析，还可能结合实际电路情境，
流
考查电路的动态分析、故障判断等内容。
此外，试题常创设贴近生活实际或前
沿科技的物理情境，如磁悬浮列车、电磁
感应加热装置等，要求考生将物理知识应
用于实际问题，综合考查考生的分析推
理、数学运算等能力。
考点01 恒定电流
1．（2024·浙江·6月选考）某小组探究“法拉第圆盘发电机与电动机的功用”，设计了如图所示装置。飞
轮由三根长a=0.8m的辐条和金属圆环组成，可绕过其中心的水平固定轴转动，不可伸长细绳绕在圆环
上，系着质量m=1kg的物块，细绳与圆环无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电
路通过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开关S可分别与图示中的电路连接。已知电源电动势E =12V
0
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学科网（北京）股份有限公司、内阻r=0.1Ω、限流电阻R =0.3Ω、飞轮每根辐条电阻r =0.9Ω，电路中还有可调电阻R（待
1 0 2
求）和电感L，不计其他电阻和阻力损耗，不计飞轮转轴大小。
（1）开关S掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数U=8V。
①判断磁场方向，并求流过电阻R 的电流I；
1 1
②求物块匀速上升的速度v。
1
（2）开关S掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与“电动机”匀速提
升物块的速度大小相等，
①求可调电阻R 的阻值；
2
②求磁感应强度B的大小。
2．（2023·浙江·6月选考）某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导
轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A组成，并形成闭合回路。装置A能自动
调节其输出电压确保回路电流I恒定，方向如图所示。导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什
么位置，电流I在导电杆以上空间产生的磁场近似为零，在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，
大小B =kI（其中k为常量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀
1
强磁场，大小B =2kI，方向与B 相同。火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v 进入导
2 1 0
轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停。已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距
3Mg
d=
，导电杆电阻为R。导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻
kI2
和装置A的内阻。在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L；
（2）求回路感应电动势E与运动时间t的关系；
（3）求装置A输出电压U与运动时间t的关系和输出的能量W；
（4）若R的阻值视为0，装置A用于回收能量，给出装置A可回收能量的来源和大小。
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学科网（北京）股份有限公司3．（2021·浙江·1月选考）嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无
法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导
轨、产生垂直船舱导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，
“∧”型线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m 整个装置竖
1
直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨
0
下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r，“∧”型线框的质量为m，其
2
7条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为g/6。整个运动过程中只有ab边在磁场中，
线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。
(1)求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E；
(2)通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab型线框的电流I；
0
(3)求船舱匀速运动时的速度大小v；
(4)同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收
部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大小v′和此时电容器所带电荷量
q。
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学科网（北京）股份有限公司考点02 带电粒子在磁场中的运动
4．（2025·浙江·1月选考）同位素 14C相对含量的测量在考古学中有重要应用，其测量系统如图1所示。
6
将少量古木样品碳化、电离后，产生的离子经过静电分析仪ESA-I、磁体-I和高电压清除器，让只含有
三种碳同位素
12C、 13C、 14C的C3+离子束（初速度可忽略不计）进入磁体-Ⅱ．磁体-Ⅱ由电势差为U
6 6 6
的加速电极P，磁感应强度为B、半径为R的四分之一圆弧细管道和离子接收器F构成。通过调节U，
可分离
12C、 13C、❑ 14C三种同位素，其中 12C、 13C的C3+离子被接收器F所接收并计数，它们的
6 6 6 6 6
离子数百分比与U之间的关系曲线如图2所示，而 14C离子可通过接收器F，进入静电分析仪ESA-
6
Ⅱ，被接收器D接收并计算。
(1)写出中子与 14N发生核反应生成 14C，以及 14C发生β衰变生成 14N的核反应方程式：
7 6 6 7
(2)根据图2写出 12C的C3+离子所对应的U值，并求磁感应强度B的大小（计算结果保留两位有效数
6
字。已知R=0.2m，原子质量单位u=1.66×10−27kg，元电荷e=1.6×10−19C）；
(3)如图1所示，ESA-Ⅱ可简化为间距d=5cm两平行极板，在下极板开有间距L=10cm的两小孔，仅允
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学科网（北京）股份有限公司许入射角φ=45°的 14C离子通过。求两极板之间的电势差U：
6
(4)对古木样品，测得 14C与 12C离子数之比值为4×10−13；采用同样办法，测得活木头中 14C与 12C
6 6 6 6
的比值为1.2×10−12，由于它与外部环境不断进行碳交换，该比例长期保持稳定。试计算古木被砍伐距
今的时间（已知
14C的半衰期约为5700年，ln3=1.1,ln2=0.7）
6
5．（2024·浙江·1月选考）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”
和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大
小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为φ 和φ
Ⅰ Ⅲ
，其电势差U=φ −φ 。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角θ射向Ⅰ区，在P点以出
Ⅰ Ⅲ
射角θ射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角θ射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方
向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为v ，不
0
计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。
（1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值；
mv2
（2）若U= 0，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值）
2e
（3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区）
√3mv 4mv
（4）在P点下方距离 0处水平放置一长为 0的探测板CQD（Q在P的正下方），CQ长为
eB eB
mv
0，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同
eB
时从O点射入Ⅰ区，且θ=30°，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。
6．（2024·浙江·6月选考）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，
截面如图所示。在xOy平面内，除x轴和虚线之间的区域外，存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面
向外的匀强磁场，在无磁场区域内，沿着x轴依次放置离子源、长度为L的喷镀板P、长度均为L的栅
极板M和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P上表面中点Q的坐标为（1.5L，0），栅极板M
中点S的坐标为（3L，0），离子源产生a和b两种正离子，其中a离子质量为m，电荷量为q，b离子
1 B2qL2
的比荷为a离子的 倍，经电压U=kU（其中U = ，k大小可调，a和b离子初速度视为0）的电
4 0 0 8m
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学科网（北京）股份有限公司场加速后，沿着y轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N和M间电压U 调控（U >0），a和b离
NM NM
子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收且电中和，忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子
间相互作用力。
（1）若U=U，求a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置x（用L表示）。
0 0
3
（2）调节U和U ，并保持U = U，使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，求：
NM NM 4
①U的调节范围（用U 表示）；
0
②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度；
（3）要求a和b离子恰好分别落在喷镀板P上下表面的中点，求U和U 的大小。
NM
7．（2023·浙江·6月选考）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面
（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应
强度大小为B 的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B 的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的
1 2
下边界与x轴重合。位于(0,3L)处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为
60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效
应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v 及其在磁场中的运动时间t；
1
L
（2）若B =2B ，求能到达y= 处的离子的最小速度v；
2 1 2 2
B B qL 6B qL
（3）若B = 1 y，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在 1 ~ 1 范围，求进入第四
2 L m m
象限的离子数与总离子数之比η。
8．（2023·浙江·1月选考）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直xOy
平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属
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学科网（北京）股份有限公司薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。
位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为60∘
1
；且各个方向均有速度大小连续分布在 v 和√2v 之间的离子射出。已知速度大小为v 、沿y轴正方
2 0 0 0
向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽
（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。
（1）求孔C所处位置的坐标x ；
0
（2）求离子打在N板上区域的长度L；
（3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压U ；
0
（4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压U 与
x
孔C位置坐标x之间关系式。
9．（2022·浙江·1月选考）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy平
面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O。有一由x轴、y轴
和以O为圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向
垂直纸面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ
1
右侧还有一左边界与y轴平行且相距为l、下边界与x轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够
长，其中的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M逸出后经极板间电压U加速
（板间电场视为匀强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为
（a+2l，0）的点上，被置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M的逸出功为
W，普朗克常量为h。忽略电子的重力及电子间的作用力。当频率为ν的光照射板M时有光电子逸
0
出，
（1）求逸出光电子的最大初动能E ，并求光电子从O点射入区域Ⅰ时的速度v 的大小范围；
km 0
√3eU √emU
（2）若区域Ⅰ的电场强度大小E=B ，区域Ⅱ的磁感应强度大小B = ，求被探测到的电
1 m 2 ea
子刚从板M逸出时速度v 的大小及与x轴的夹角β；
M
（3）为了使从O点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电场
强度E和区域Ⅱ的磁感应强度B，求E的最大值和B 的最大值。
2 2
7 / 23
学科网（北京）股份有限公司10．（2022·浙江·6月选考）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直
xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存
在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A
点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度
大小为v 的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的
0
离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B的大小；
②若速度大小为v 的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小；
0
（2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转
筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；
6v
（3）若转筒P的角速度小于 0，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探
R
测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。
11．（2021·浙江·6月选考）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两
平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点，
垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀
强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量B 和B 随
x y
时间周期性变化规律如图乙所示，图中B 可调。氙离子（Xe2+）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀
0
速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N
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学科网（北京）股份有限公司中心点O处相对推进器的速度为v。已知单个离子的质量为m、电荷量为2e，忽略离子间的相互作
0
用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
（1）求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小v ；
S
（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节B 的值，使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P
0
射出，求B 的取值范围；
0
（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P射出的离子数为n，且
√2mv
B = 0。求图乙中t 时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。
0 5eL 0
12．（2021·浙江·1月选考）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工
作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离
子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁
场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均
为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R 和R 的四分之一圆
1 2
环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正
方体，其偏转系统的底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子
恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计
离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有sinα≈tanα≈α
1
，cosα≈1− α2 。求：
2
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。
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学科网（北京）股份有限公司考点03 电磁感应
13．（2022·浙江·6月选考）舰载机电磁弹射是现在航母最先进的弹射技术，我国在这一领域已达到世界先
进水平。某兴趣小组开展电磁弹射系统的设计研究，如图1所示，用于推动模型飞机的动子（图中未
画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，可在水平导轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场
中，其所在处的磁感应强度大小均为B。开关S与1接通，恒流源与线圈连接，动子从静止开始推动
飞机加速，飞机达到起飞速度时与动子脱离；此时S掷向2接通定值电阻R，同时施加回撤力F，在
0
F和磁场力作用下，动子恰好返回初始位置停下。若动子从静止开始至返回过程的v-t图如图2所示，
在t 至t 时间内F=(800－10v）N，t 时撤去F。已知起飞速度v=80m/s，t=1.5s，线圈匝数n=100匝，
1 3 3 1 1
每匝周长l=1m，飞机的质量M=10kg，动子和线圈的总质量m=5kg，R=9.5Ω，B=0.1T，不计空气阻力
0
和飞机起飞对动子运动速度的影响，求
（1）恒流源的电流I；
（2）线圈电阻R；
（3）时刻t。
3
14．（2022·浙江·1月选考）如图所示，水平固定一半径r=0.2m的金属圆环，长均为r，电阻均为R 的两
0
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学科网（北京）股份有限公司金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴OO′上，并随轴
以角速度ω=600rad/s匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为B 的匀强磁场。圆环边缘、与
1
转轴良好接触的电刷分别与间距l 的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C=0.09F的电容
1
器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。电容器左侧宽度也为l、长度为l、磁感应强度
1 2
大小为B 的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒ab，磁场区域外有间
2
距也为l 的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“［”形金属框fcde。棒ab长
1
度和“［”形框的宽度也均为l、质量均为m=0.01kg，de与cf长度均为l=0.08m，已知l=0.25m，
1 3 1
l=0.068m，B=B=1T、方向均为竖直向上；棒ab和“［”形框的cd边的电阻均为R=0.1Ω，除已给
2 1 2
电阻外其他电阻不计，轨道均光滑，棒ab与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开
关S和接线柱1接通，待电容器充电完毕后，将S从1拨到2，电容器放电，棒ab被弹出磁场后与
“［”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S与2断开，已知框abcd在倾斜轨道上重心上升0.2m
后返回进入磁场。
（1）求电容器充电完毕后所带的电荷量Q，哪个极板（M或N）带正电？
（2）求电容器释放的电荷量ΔQ；
（3）求框abcd进入磁场后，ab边与磁场区域左边界的最大距离x。
15．（2021·浙江·6月选考）一种探测气体放电过程的装置如图甲所示，充满氖气（Ne）的电离室中有两
电极与长直导线连接，并通过两水平长导线与高压电源相连。在与长直导线垂直的平面内，以导线为
对称轴安装一个用阻值R =10Ω的细导线绕制、匝数N=5×103的圆环形螺线管，细导线的始末两端
0
c、d与阻值R=90Ω的电阻连接。螺线管的横截面是半径a=1.0×10−2m的圆，其中心与长直导线的
距离r=0.1m。气体被电离后在长直导线回路中产生顺时针方向的电流I，其I−t图像如图乙所示。
kI
为便于计算，螺线管内各处的磁感应强度大小均可视为B= ，其中k=2×10−7T⋅m/A 。
r
（1）求0~6.0×10−3s内通过长直导线横截面的电荷量Q；
（2）求3.0×10−3s时，通过螺线管某一匝线圈的磁通量Φ；
（3）若规定c→R→d为电流的正方向，在不考虑线圈自感的情况下，通过计算，画出通过电阻R的
i −t图像；
R
（4）若规定c→R→d为电流的正方向，考虑线圈自感，定性画出通过电阻R的i −t图像。
R
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学科网（北京）股份有限公司考点04 交变电流
16．（2023·浙江·1月选考）如图1所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆，与长为2l的
两轻质横杆组成，且L≫2l。线框通有恒定电流I ，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O为原
0
点、转轴为z轴建立直角坐标系，在y轴上距离O为a处，固定放置一半径远小于a，面积为S、电阻
为R的小圆环，其平面垂直于y轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度ω匀速转动，当线框平
面与xOz平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y分量B 与时间的近似关系如图2所示，图
y
中B 已知。
0
π
（1）求0到 时间内，流过圆环横截面的电荷量q；
ω
2π
（2）沿y轴正方向看以逆时针为电流正方向，在0~ 时间内，求圆环中的电流与时间的关系；
3ω
（3）求圆环中电流的有效值；
π Δω
（4）当撤去外力，线框将缓慢减速，经
时间角速度减小量为Δω( ≪1)
，设线框与圆环的
ω ω
能量转换效率为k，求Δω的值（当0
