南沙湾区实验学校2024—2025学年10月月考九年级数学试题（答案解析）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_九上月考_初三上十月考

2024 学年第一学期九年级 10 月阶段性练习数学习题 （本卷分三部分，共4页，25题．全卷满分120分，练习用时120分钟．） 亲爱的同学，你好！这是一次学科阶段性的常规练习．请放松心情，愉快地完成本次练习． 注意事项： 1．答卷前，务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的场室号、姓名、班级、座位 号． 2．选择题的答案用2B 铅笔把答题卡上选择题答题区中对应题目选项的答案信息点涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答案不能写在习题卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再这写上新的答案，改动后的答案不能超出指 定的区域；不准使用圆珠笔、铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．务必保持答题卡的整洁．练习结束时，将所有答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一 个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 以下各方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） 1 5x20210 A. x20 B. x2 5x2020 C. 3x3 6x1 D. x 【答案】B 【解析】 ax2 bxc0 【分析】根据一元二次方程的定义：一般地，形如 （其中a、b、c是常数，a≠0）的方程 叫做一元二次方程，由此进行逐一判断即可． 【详解】解：A、x20未知数的最高次为1，不是一元二次方程，不符合题意； x2 5x2020 x2 5x20200 B、 即 ，是一元二次方程，符合题意； 3x3 6x1 C、 未知数的最高次是3，不是一元二次方程，不符合题意； 1 5x20210 x D、 ，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键． x2 10x24 2. 用配方法解一元二次方程 ，此方程可化为（ ） 第1页/共21页 学科网（北京）股份有限公司x52 24 x52 24 x52 49 x52 49 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．在方程左右两边同时加上 10 一次项系数 的一半的平方，然后配方即可． x2 10x24 【详解】解： ， x2 10x252425 x52 49 配方得： ，即 ， 故选：C． 3. 将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ） A. y＝（x+2）2﹣2 B. y＝（x﹣4）2+6 C. y＝（x﹣3）2﹣2 D. y＝（x﹣3）2+2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移抛物线解析式的变化原则：“上加下减，左加右减”，即可得到答案． 【详解】根据题意得， y (x13)2 24 平移后的解析式为： ， y (x2)2 2 即 ． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关 键． y x12 2 4. 对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴是直线x1 x1 y x C. 图象有最高点 D. 时， 随 的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐一判断即可求解，掌握二次函 第2页/共21页 学科网（北京）股份有限公司数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵ a10 ， ∴抛物线开口向上，该选项说法错误，不合题意； y x12 2 B、∵ ， 1,2 ∴抛物线的顶点坐标为 ， ∴抛物线的对称轴为直线𝑥=1，该选项说法错误，不合题意； C 、∵抛物线开口向上， ∴抛物线有最低点，该选项说法错误，不合题意； D、∵抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥=1， x1 y x ∴ 时， 随 的增大而增大，该选项说法正确，符合题意； 故选：D． x kx2 6x10 k 5. 关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ） A. k 9 B. k 9 C. k 9 且 k 0 D. k 9且 k 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程 kx2 6x10 有实数根得出0且 k 0 ，求出即 可． 【详解】解：Q关于 x 的一元二次方程 kx2 6x10 有两个不相等的实数根， Δ62 4k1364k 0  且 k 0 ， k 9 k 0 解得： 且 ， 故选：C． 1,2 0,5 6. 已知二次函数的图象的顶点是 ，且经过点 ，则二次函数的解析式是（ ） y 3x12 2 y 3x12 2 A. B. y 3x12 2 y 3x12 2 C. D. 【答案】D 【解析】 第3页/共21页 学科网（北京）股份有限公司1,2 【分析】此题主要考查待定系数法求函数解析式，由二次函数图象的顶点为 ，设出二次函数顶点式， 0,5 代入点 求得答案即可． 1,2 【详解】解：Q二次函数图象的顶点为 ， y ax12 2 0,5 的 设二次函数 解析式为 ，由于抛物线过点 ，则有： a012 25 a3 ，解得 ； y 3x12 2 因此抛物线的解析式为： ． 故选：D． x1 x2 mxn0 m2 2mnn2 7. 已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ） A. 1 B. 1 C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义及代数式求值，把 x1 代入已知方程，求得mn1， 然后将其整体代入整理后的代数式进行求值． 【详解】解： Qx1是一元二次方程 x2 mxn0 的一个根， 1mn0 ， 解得，mn1， m2 2mnn2 (mn)2 (1)2 1 ． 故选：C． 8. 有一人感染了新冠肺炎，经过两轮传染后共有100人被感染，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足 的方程为（ ） 1xx(1x)100 x(1x)100 1xx2 100 x2 100 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,即经过第一轮有（x+1）人感染,则经过第二轮有 x1xx1   人得了流感,根据两次一共有100患了流感即可列出方程． 【详解】解：由题可知1+x+x（1+ x）=100． 第4页/共21页 学科网（北京）股份有限公司故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，认真审题，找到等量关系是解题关键． y （3 x）1 2 8 y y y y y 9. 已知二次函数 的图像上有三点A（1， 1），B（2， 2），C（-2， 3），则 1， 2， y 3的大小关系为（ ） y＞y＞ y y＞y＞ y y＞y＞ y y＞y＞ y A. 1 2 3 B. 2 1 3 C. 3 1 2 D. 3 2 1 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为x＝−1，图像开口向上，A、B两点在对称轴右边，y随 x的增大而增大，故y ＜y ；A、B、C三点中，C点离对称轴最近，故y 最小． 1 2 3 【详解】解：由二次函数y＝3（x＋1）2−8可知，对称轴为x＝−1，开口向上， A（1，y ），B（2，y ）两点在对称轴右边，y随x的增大而增大， 1 2 由1＜2得y ＜y ， 1 2 QA、B、C三点中，C点离对称轴最近， y  y  y y 最小，即 2 1 3， 3 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的增减性：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在 对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边， y随x的增大而减小，熟练掌握二次函数增减性并灵活运用是解决问题的关键． y mxn2 y  x2 m 10. 在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的 选项． n2 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知， ＜0，错误； 第5页/共21页 学科网（北京）股份有限公司B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次 项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分．请在答题卡规定区域答题） x2 2x0 11. 一元二次方程 的解是_______． 【答案】0或-2 【解析】 【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0， 这两式中至少有一式值为0来解题． 【详解】x2+2x=0 x(x+2)=0 ∴x=0或x+2=0 ∴x=0或−2 故本题的答案是0，−2. 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据因式分解法解一元二次方程. 12. 已知二次函数y＝（a+2）x2有最小值，那么a的取值范围是_____． 【答案】a＞﹣2． 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数大于0时抛物线开口向下，函数有最小值，即可得出答案． 【详解】解：因为二次函数y＝（a+2）x2有最小值， 所以a+2＞0， 解得a＞﹣2． 故答案为：a＞﹣2． 【点睛】本题考查二次函数性质，熟练掌握y=ax2形的图象性质是解题关键． (m1)xm212x30 13. 已知关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为_________． 第6页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【答案】-1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数 是2，且二次项系数不为0．得出m-1≠0，m2+1=2，求出m的值即可． m1xm212x30 【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程， ∴m2+1=2且m-1≠0， 解得：m=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，牢固掌握一元二次方程的定义是做出本题的关 键． y (m2)x2 2x1 x m 14. 若抛物线 与 轴有两个公共点，则 的取值范围是______． 【答案】 m1 且m 2 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，得m 2；结合题意，根据抛物线和一元二次方程判别式的性质分析，即可 得到答案． y (m2)x2 2x1 【详解】∵抛物线 m20 ∴ ∴m 2 y (m2)x2 2x1 x (m2)x2 2x10 ∵抛物线 与 轴有两个公共点，即 有两个不同的实数根 22 4m214m40 ∴ m1 ∴ 故答案为： m1 且m 2． 【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程判 别式的性质，从而完成求解． y  x2 2x2 0 x4 y 15. 二次函数 中，当 时， 的取值范围是________． 3 y6 【答案】 【解析】 第7页/共21页 学科网（北京）股份有限公司y  x2 2x2(x1)2 3 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线 ，又 a10 ，故当 x1 时， y 取最小值为3，根据到对称轴距离越远值越大可得当x4时，有最大值 y 6 ，从而结合二次函数的性质即可判断得解． y  x2 2x2(x1)2 3 【详解】解：由题意，Q抛物线 ， a10 又∵ ， 当 x1 时， y 取最小值为3． 01  41 ∵ ， y 6 ∴当x4时，有最大值 ， 当 0 x4 时， 3 y6 ． 3 y6 故答案为： ． y ax2 bxca 0 ax2 bx ax 2 bx x  x 16. 二次函数图象如图，下列结论：①若 1 1 2 2，且 1 2，则 x +x 1 2ab0 abc0 m1 abam2 bm 1 2 ；② ；③ ；④当 时， ．其中正确的有______． 【答案】②④##④② 【解析】 b x 1 ax2 bx ax 2 bx 【分析】先将 1 1 2 2进行变形得到a与b的关系，再根据对称轴 2a ，判断①； b x 1 根据对称轴 2a 判断②；把x1代入二次函数 y ax2 bxca 0 得 y abc ，然后 第8页/共21页 学科网（北京）股份有限公司根据 1，y 的位置判断③； abc 与 am2 bmc 是当 x1 ，xm时的二次函数值，根据二次函数 的最值进行判断即可． ax2 bx ax 2 bx 【详解】解：①∵ 1 1 2 2， a  x2 x2 b  x2 x2 0 ∴ 1 2 1 2 ， x  x ∵ 1 2， a(x x )b0 ∴ 1 2 ， b x x  1 2 a ∴ ． b x 1 ∵抛物线的对称轴 2a ， b  2 a ∴ ， x x 2 ∴ 1 2 ，故①错误，不符合题意； b x 1 ②∵抛物线对称轴 2a ， b2a ∴ ， 2ab0 ∴ ．故②正确，符合题意； x，x x  x ③设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为 1 2，且 1 2， x 11x 由图可以看出 1 2， 3，0 ∵点 在抛物线外部， x 131 x 12 ∴ 1 ，即 1 ， 1x 2 x 1 ∴ 2 ，解得 2 ， 1，0 ∴点 在抛物线的外部， ∴当x1时， y abc0 ．故③错误，不符合题意； ④由图可以看出，抛物线的最高点的横坐标为1， 第9页/共21页 学科网（北京）股份有限公司x1 abc ∴当 时，y有最大值，最大值为 ， 当xm时，且 m1 ， y am2 bmc ， abcam2 bmc ∴ ． abam2 bm 即 ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论有②④． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练运用抛物线上点的坐标特征是解决问题的关键． 三、解答题（本部分共8题，共72分．请在答题卡规定区域答题） x2 2x150 17. 解方程： ． x 3 x 5 【答案】 1 ， 2 ． 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程． Qx2 2x150 【详解】解： ， (x3)(x5)0 ， x30 x50 则 或 ， x 3 x 5 解得 1 ， 2 ． 【点睛】本题主要考查因式分解法解方程，解题的关键是因式分解方程左边，然后解方程． y ax32 1 4,3 18. 已知：二次函数 的图象经过点 ． a （1）求 的值； 5,9 （2）判断点 是否在此二次函数图象上． a2 【答案】（1） 5,9 （2）点 在这个二次函数图象上． 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，点与二次函数图象的关系． (2,3) （1）将 代入二次函数即可求解； 第10页/共21页 学科网（北京）股份有限公司5,9 （2）把 x5 代入二次函数计算，若y9，则点 在二次函数的图象上，否则就不在二次函数的图象 上． 【小问1详解】 4,3 y ax32 1 解：将 代入二次函数 得， 3a432 1 a2 ，解得 ， a2 ∴ ； 【小问2详解】 y 2x32 1 解：由（1）得二次函数的解析式为 ， y 2532 19 x5 当 时， ， 5,9 ∴点 在这个二次函数图象上． x2 2k1xk2 10 x x 19. 关于x的一元二次方程 有两个不等实根 1、 2． （1）求实数k的取值范围； x x x x x gx （2）若方程两实根 1、 2满足 1 2 1 2，求k的值． 3 【答案】（1） k > 4 ； （2）k=2. 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得出k的值． 【小问1详解】 解：∵原方程有两个不相等的实数根， =2k12 4  k2 1  4k3 ∴ >0， 3 解得： k > 4 ． 【小问2详解】 x x 2k1 x gx =k2 1 由根与系数的关系，得 1 2 ， 1 2 ． x x x gx ∵ 1 2 1 2， 第11页/共21页 学科网（北京）股份有限公司2k1  k2 1  ∴ ， 解得：k=0或k=2， 3 又∵ k > 4 ， ∴k=2． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系的应用，熟练掌握其基础知识是 解题的关键． 20. 已知平行四边形 ABCD 的两边AB、AD的长是关于 x 的一元二次方程 x2 8xm0 的两个实数 根． （1）若AB的长为5，求 m 的值； m ABCD （2） 为何值时，平行四边形 是菱形？ m15 【答案】（1） （2）m16，平行四边形 ABCD 是菱形 【解析】 的 【分析】本题考查了根与系数 关系，菱形的性质， x5 m （1）将 代入原方程可求出 的值； （2）根据菱形的性质可得出AB AD，结合根的判别式，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得 m 出 的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【小问1详解】 解：QAB、AD的长是关于 x 的一元二次方程 x2 8xm0 的两个实数根，AB的长为5， 把 x5 代入 x2 8xm0 ，得： 52 85m0 ， m15 解得： ； 【小问2详解】 解：Q平行四边形 ABCD 是菱形， AB AD， 方程 x2 8xm0 有两个相等的实数根， 第12页/共21页 学科网（北京）股份有限公司Δ82 4m0  ， m16 ， 答：m16，平行四边形 ABCD 是菱形． 21. 如图，在 VABC中， ∠B90o ，AB12， BC 24 ，动点P从点A开始沿边AB向点B以 2cm/ s 的速度移动，动点 Q 从点B开始沿边BC以 4cm/s 的速度移动．如果P、 Q 两点分别从A、 B两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为 ts ． （1）PB  ________ cm ， BQ  ________ cm ．（用含有 t 的式子表示） （2）设 VPBQ 的面积为S，当 t 为何值时， VPBQ 的面积最大？求该最大值． (122t) 4t 【答案】（1） ， t VPBQ 36cm2 （2）所以当 为3时 的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点． （1）由题意得 AP 2tcm ，由PB ABAP可得PB含有 t 的式子，由题意可直接得 BQ 4tcm ； （2）先列出 VPBQ 的面积S的函数解析式，再化成顶点式，求出最值即可． 【小问1详解】 AP 2tcm BQ 4tcm 解：根据题意得： ， ， BP(122t)cm 所以 ， (122t) 4t 故答案为： ， ； 【小问2详解】 1 S  BPBQ 解： VPBQ 的面积 2 1  (122t)4t 2 第13页/共21页 学科网（北京）股份有限公司4t2 24t 4(t3)2 36 ， t VPBQ 36cm2 所以当 为3时 的面积最大，最大面积是 ． 22. 如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的 长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米 的 花圃，那么AD的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）AD的长为6米 90 （2）不能围成面积为 平方米的花圃．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目设 AD的长为x 米，则 AB=27-3x，得x（27-3x）=54，解一元二次方程，按照条件， 解得AD的长； （2）根据题意得：x（27-3x）=90，通过判别式确定方程无根，可得不能围成面积为 90平方米的花圃． x273x54 【详解】（1）设AD的长为 x 米，则AB273x，根据题意，得 ， x2 9x180 整理，得 ， x 3 x 6 解得 1 ， 2 ， ∵墙的最大可用长度为12米， ∴273x12， x≥5 ∴ ， ∴ x6 ，即AD的长为6米； 90 （2）不能围成面积为 平方米的花圃． 理由如下： 第14页/共21页 学科网（北京）股份有限公司根据题意，得 x273x90 ，整理，得x29x300． 92 4130390 ∵ ， ∴该方程无实数根， 90 ∴不能围成面积为 平方米的花圃． 的 【点睛】本题考查用一元二次方程解实际问题，按照题意列出方程，是解题 关键． 23. 某大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，采取降 x x 价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为 元（ 为 y 正整数），每分钟的销售量为 袋． y x （1）求出 与 的函数关系式； （2）当获得利润为4000元时，降价多少元？ w （3）设每分钟获得的利润为 元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ y 5x500 【答案】（1） （2）当获得利润为4000元时，降价20元 （3）当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元 【解析】 【分析】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． y 1005(80x)5005x （1）根据销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋可得： ； （2）利用利润售价销量列出一元二次方程 (x40)(5x500)4000 ，解答即可得解； w(x40)y (x40)(5x500)5(x70)2 4500 （3）根据题意可得： ，由二次函数性质可得 答案． 【小问1详解】 y 1005(80x)5005x 解：根据题意得： ； y x y 5x500 与 的函数关系式为 ； 【小问2详解】 (x40)(5x500)5(x70)2 45004000 解： ， x 60 x 80 解得： 1 ， 2 （不合题意，舍去）； 降价为： 806020 （元 ) ， 80800 （元 ) ， 第15页/共21页 学科网（北京）股份有限公司答：当获得利润为4000元时，降价20元； 【小问3详解】 w(x40)y (x40)(5x500)5(x70)2 4500 解：根据题意得： ， Q50 ， 当 x70 时， w 取最大值4500， 当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元． 24. 已知二次函数 y  x2 bxc （b， c 为常数）. b2 c3 （1）当 ， 时，求二次函数的最小值； c 5 y 1 x （2）当 时，若在函数值 的情况下，只有一个自变量 的值与其对应，求此时二次函数的解析 式； （3）当 cb2 时，若在自变量 x 的值满足b ≤ x ≤ b3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为21，求 此时二次函数的解析式. y  x2 4x5 y  x2 4x5 【答案】（1）二次函数取得最小值-4；（2） 或 ； y  x2  7x7 y  x2 4x16 （3） 或 ． 【解析】 y  x2 2x3 【分析】（1）当b=2，c=-3时，二次函数的解析式为 ，把这个解析式化为顶点式利用二次 函数的性质即可求最小值． y  x2 bx5 （2）当c=5时，二次函数的解析式为 ,又因函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值 x2 bx51  0 与其对应，说明方程 有两个相等的实数根，利用 即可解得b值，从而求得函数解析 式． b x y  x2 bxb2 （3）当c=b2时，二次函数的解析式为 ，它的图象是开口向上，对称轴为 2的抛物 b  2 线．分三种情况进行讨论，①对称轴位于b≤x≤b+3范围的左侧时，即 ＜b；②对称轴位于b≤x≤b+3这 b b   2 2 个范围时，即b≤ ≤b+3；③对称轴位于b≤x≤b+3范围的右侧时，即 ＞b+3，根据列出的不等式求得 b的取值范围，再根据x的取值范围b≤x≤b+3、函数的增减性及对应的函数值y的最小值为21可列方程求 第16页/共21页 学科网（北京）股份有限公司b的值（不合题意的舍去），求得b的值代入也就求得了函数的表达式． y  x2 2x3 y(x1)2 4 【详解】解：（1）当b=2，c=-3时，二次函数的解析式为 ，即 ． ∴当x=-1时，二次函数取得最小值-4． y  x2 bx5 （2）当c=5时，二次函数的解析式为 ． x2 bx51 由题意得，方程 有两个相等的实数根． b2 160 b 4,b 4 有 ，解得 1 2 ， y  x2 4x5 y  x2 4x5 ∴此时二次函数的解析式为 或 ． y  x2 bxb2 （3）当c=b2时，二次函数的解析式为 ． b x 它的图象是开口向上，对称轴为 2的抛物线． b  2 ①若 ＜b时，即b＞0， 在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大， y b2 bbb2 3b2 故当x=b时， 为最小值． 3b2 21 b  7 b  7 ∴ ，解得 1 ， 2 （舍去）． b  2 ②若b≤ ≤b+3，即-2≤b≤0， 2 b  b  b 3  y     b    b2  b2 2  2  2 4 当x= 时， 为最小值． 3 b2 21 b 2 7 b 2 7 4 ∴ ，解得 1 （舍去）， 2 （舍去）． b  2 ③若 ＞b+3，即b＜-2， 在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而减小， y (b3)2 b(b3)b2 3b2 9b9 故当x=b+3时， 为最小值． 3b2 9b921 b2 3b40 ∴ ，即 b 1 b 4 解得 1 （舍去）， 2 ． 第17页/共21页 学科网（北京）股份有限公司b 7 综上所述， 或b=-4． y  x2  7x7 y  x2 4x16 ∴此时二次函数的解析式为 或 ． 考点：二次函数的综合题． 1 2 25. 如图，抛物线y=﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点 D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． 的 （1）求抛物线 表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置 时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 1 3 【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣ 2 x2+ 2 x+2 3 3 5 3 5 (2)存在，P （2 ，4），P （2 ， 2 ），P （2 ，﹣ 2 ） 1 2 3 13 2 (3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S = ． 四边形CDBF的面积最大 【解析】 【分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值； （2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧 交对称轴于P ；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P ，P ；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰 1 2 3 三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； 第18页/共21页 学科网（北京）股份有限公司（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而 可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S +S +S 可求出S与a的关系式，由二次函数的性 △BCD △CEF △BEF 质就可以求出结论． 1 2 【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣ x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．  3 m  2  n2 解得： ， 1 3 ∴抛物线的解析式为：y=﹣ 2 x2+ 2 x+2； 1 3 （2）∵y=﹣ 2 x2+ 2 x+2， 1 3 25 ∴y=﹣ 2 （x﹣2 ）2+ 8 ， 3 ∴抛物线的对称轴是x= 2 ． 3 ∴OD= 2 ． ∵C（0，2）， ∴OC=2． 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 5 2 CD= ． 第19页/共21页 学科网（北京）股份有限公司∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形， ∴CP =CP =CP =CD． 1 2 3 作CH⊥x轴于H， ∴HP =HD=2， 1 ∴DP =4． 1 3 3 5 3 5 ∴P （2 ，4），P （2 ， 2 ），P （2 ，﹣ 2 ）； 1 2 3 1 3 （3）当y=0时，0=﹣ 2 x2+ 2 x+2， ∴x =﹣1，x =4， 1 2 ∴B（4，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b，由图像，得 b2  4kb0 ，  1 k   2  b2 解得： ， 1 2 ∴直线BC的解析式为：y=﹣ x+2． 1 1 3 如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣ 2 a+2），F（a，﹣ 2 a2+ 2 a+2）， 1 3 1 1 ∴EF=﹣ 2 a2+ 2 a+2﹣（﹣ 2 a+2）=﹣ 2 a2+2a（0≤x≤4）． 1 1 1 2 2 2 ∵S =S +S +S = BD•OC+ EF•CM+ EF•BN， 四边形CDBF △BCD △CEF △BEF 1 5 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 = × ×2+ a（﹣ a2+2a）+ （4﹣a）（﹣ a2+2a）， 5 2 =﹣a2+4a+ （0≤x≤4）． 13 2 =﹣（a﹣2）2+ 第20页/共21页 学科网（北京）股份有限公司13 2 ∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大= ， ∴E（2，1）． 【点睛】1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值 第21页/共21页 学科网（北京）股份有限公司