文档内容
2010年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试
卷（小学组笔试一）
一、填空题
1．（3分）下图左图是最近被发现的阿基米得的《胃痛》拼图，将正方形分割成14块多边形：
专家研究后发现，可以在边长12cm的正方形上，正确的画出这14块拼图，如图所示．问：
灰色那块的面积是 平方公分．
2．（3分）如图，要在下列5×5的方格表中填入A、B、C、D、E五个英文字母，并且要求五个字
母在每一行与每一列及对角在线，都只出现一次，则@所表示的英文字母为 ．
3．（3分）切斯特要从花莲赴彰化鹿港参加华罗庚金杯数学竞赛，爸爸开车出门前看了一下车
子的里程表，刚好是一个回文数69696公里（回文数：从左到右，或从右到左读到的数字结
果都一样）．一连开了5个小时到达目的地，到达时里程表又刚好是另一个回文数，在路程
中，爸爸开车的时速从未超过85公里，请问爸爸开车的平均速度最大值是每小时
公里．
4．（3分）有四组数的平均数，其规定如下：
（1）从1到100810的自然数中，所有11的倍数之平均数．
（2）从1到100810的自然数中，所有13的倍数之平均数．
（3）从1到100810的自然数中，所有17的倍数之平均数．
（4）从1到100810的自然数中，所有19的倍数之平均数．
这四个平均数中，最大的平均数的值是 ．
5．（3分）有三个最简真分数，其分子的比为3：2：4，分母的比为5：9：15．将这三个分数相加，再经过约分后为 ．问：三个分数的分母相加是 ．
6．（3分）在 为正整数的情形下，n的最大值是 ．
7．（3分）如图，若将正方形ABCD各边三等分，延长等分点作出新四边形MNPQ，则正方形
ABCD的面积：四边形MNPQ的面积＝ ．
8．（3分）教数学的王老师准备去拜访一位朋友，出发前王老师先和这位朋友通电话，朋友家
的电话号码是27433619，当王老师打完电话之后，发现这个电话号码恰好是 4个连续质
数的乘积．问：这4个质数的总和是 ．
9．（3分）下图是一个九宫图，图内文字【华、罗、庚、杯、数、学、精、英、赛】分别表示1～9中
的九个不同的数字，并且这九个数字符合以下三个条件：
（1）每个「田」内四个数的和都相等．
（2）华×华＝英×英+赛×赛．
（3）数＞学
根据上述条件，【华、杯、赛】所代表的三数之乘积为 ．
10．（3分）下图中，有很多大大小小的三角形，这些三角形有的是单独显现的，有的是合并若
干区块才得到的，这些位置不完全相同的三角形共有 个．
11．（3分）怡荣号渡轮时速40千米，单数日由A地顺流航行到B地，双数日由B地逆流航行到A地．（水速为每小时24千米）有一单数日渡轮航行到途中的C地时，失去动力，只能
任船漂流到B地，船长计得该日所用的时间为原单数日的 倍．另一双数日渡轮航行到
途中的C地时，又失去动力，船在漂流过程中，维修人员全力抢修了1小时后船以2倍时
速前进到A地，结果船长发现该日所用的时间与原双数日所用时间一秒不差．请问A、B
两地的距离为多少千米？
12．（3分）老师用10个1cm×1cm×1cm的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图
所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（1cm）共享，或有一面（1cm×1cm）共①享．
老师拿出一张3cm×4cm的方格纸（如图 ），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放
在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后②的左视图有 种．（小正立方体摆放时不得
悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）2010 年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀
请赛试卷（小学组笔试一）
参考答案与试题解析
一、填空题
1．（3分）下图左图是最近被发现的阿基米得的《胃痛》拼图，将正方形分割成14块多边形：
专家研究后发现，可以在边长12cm的正方形上，正确的画出这14块拼图，如图所示．问：
灰色那块的面积是 1 2 平方公分．
【分析】根据灰色部分四边形的特点，将图形合理地分割为两个三角形求面积．
【解答】解：如图，灰色部分为四边形ABCD，连接BD，
则 S 四 边 形 ABCD ＝ S△ ABD +S△ BCD ＝ ×6×3+ ×3×2 ＝ 9+3 ＝ 12 ．
故答案为：12．
2．（3分）如图，要在下列5×5的方格表中填入A、B、C、D、E五个英文字母，并且要求五个字
母在每一行与每一列及对角在线，都只出现一次，则@所表示的英文字母为 B ．【分析】以坐标来表示数学，已知（1，1）是A，（4，1）是D，（5，1）是E；首先可以确定（3，5）
＝E，因为（4，5），（5，5）是C，D，而（1，5），（2，5）不能是E，所以只能是（3，5）是E，这样
（1，5），（2，5）只能是C，D，而左下角是D，所以右上角只能是C，即（1，5）＝C，从而（2，
5）＝D，进而确定各个位置上的数即可．
【解答】解：根据图形中原有各部分的字母的位置，容易确定各部分的具体的字母如下：
E，B，D，A，C
A，C，E，B，D
B，D，A，C，E
C，E，B，D，A
D，A，C，E，B
故@所表示的英文字母为B．
故答案为：B．
3．（3分）切斯特要从花莲赴彰化鹿港参加华罗庚金杯数学竞赛，爸爸开车出门前看了一下车
子的里程表，刚好是一个回文数69696公里（回文数：从左到右，或从右到左读到的数字结
果都一样）．一连开了5个小时到达目的地，到达时里程表又刚好是另一个回文数，在路程
中，爸爸开车的时速从未超过85公里，请问爸爸开车的平均速度最大值是每小时 82. 2
公里．
【分析】要使平均速度最大，则另一个回文数也要最大，因为69696+85×5＝70121，而小于
70121的最大回文数是70107，所以，最大平均速度为（70107﹣69696）÷5＝82.2（km）
【解答】解：69696+85×5＝70121（公里）
70121的最大回文数是70107，
（70107﹣69696）÷5
＝411÷5
＝82.2（km）
答：爸爸开车的平均速度最大值是每小时 82.2公里．
故答案为：82.2．
4．（3分）有四组数的平均数，其规定如下：（1）从1到100810的自然数中，所有11的倍数之平均数．
（2）从1到100810的自然数中，所有13的倍数之平均数．
（3）从1到100810的自然数中，所有17的倍数之平均数．
（4）从1到100810的自然数中，所有19的倍数之平均数．
这四个平均数中，最大的平均数的值是 （ 3 ） ．
【分析】因为任意一组数排成一列都是一个等差数列，而等差数列的平均数等于首项和末
项的平均数，所以求出首项和末项的平均值即可得出平均数最大的值．
【解答】解：因为任意一组数排成一列都是一个等差数列，而等差数列的平均数等于首项
和末项的平均数，
这四组的首项和末项分别是11和100804，13和100802，17和100810，19和100795，
很明显平均数最大的为：（17+100810）÷2＝50413.5．
故填：（3）．
5．（3分）有三个最简真分数，其分子的比为3：2：4，分母的比为5：9：15．将这三个分数相加，
再经过约分后为 ．问：三个分数的分母相加是 20 3 ．
【分析】根据题意，可设这三个最简真分数分别是 、 、 ，其中a、b互质，然后求得
a、b的值；最后将其代入三个最简真分数的分母求得每一个分母．
【解答】解：根据题意，设这三个最简真分数分别是 、 、 ，其中a、b互质．
∵ + + ＝ ＝ ，
∴a＝4、b＝7．
∴三个分数的分母相加是 7×（5+9+15）＝203．
故答案为：203．
6．（3分）在 为正整数的情形下，n的最大值是 15 0 ．
【分析】此题可将810分解质因数，得到810＝2×3×3×3×3×5，再找一找分子中各数含有的
810的质因数的倍数即可解答．
【解答】解：∵810＝2×3×3×3×3×5，811﹣﹣2010共有1200个数，
含有约数2的有600个，5的240个，3的有400个，9的有133个，27的有44个，81的有
14个，243的有5个，729的有1个，含有约数3共有（400+133+44+14+5+1）＝597个，597÷4＝149…3，
149+1＝150．
故答案为：150．
7．（3分）如图，若将正方形ABCD各边三等分，延长等分点作出新四边形MNPQ，则正方形
ABCD的面积：四边形MNPQ的面积＝ 9 ： 8 ．
【分析】根据勾股定理可以计算EF与AE的值，根据MN＝3EF，AD＝3AE即可计算MN与
AD的比值，即可计算正方形MQPN与正方形ABCD的比值．
【解答】解：设AD＝3．则AE＝AF＝EH＝1，
根据EF＝ ＝ ，ME＝MH＝EH•cos45°＝ ，
同理：NF＝ ，
∴MN＝ME+EF+NF＝2 ，
∴正方形MQPN的面积为 ＝8，
正方形ABCD的面积为32＝9，
正方形ABCD的面积：正方形MQPN的面积＝9：8．
故答案为：9：8．
8．（3分）教数学的王老师准备去拜访一位朋友，出发前王老师先和这位朋友通电话，朋友家
的电话号码是27433619，当王老师打完电话之后，发现这个电话号码恰好是 4个连续质数的乘积．问：这4个质数的总和是 29 0 ．
【分析】根据27433619是四个连续质数的积，求出四个连续质数，再求出四个连续质数的
和．
【解答】解：通过试解，2，3，5，7…61等质数，不是27433619的因式，
最小的质数因数为67，
27433619÷67＝409457，
则四个连续质数为67，71，73，79．
其和为67+71+73+79＝290．
故答案为：290．
9．（3分）下图是一个九宫图，图内文字【华、罗、庚、杯、数、学、精、英、赛】分别表示1～9中
的九个不同的数字，并且这九个数字符合以下三个条件：
（1）每个「田」内四个数的和都相等．
（2）华×华＝英×英+赛×赛．
（3）数＞学
根据上述条件，【华、杯、赛】所代表的三数之乘积为 12 0 ．
【分析】根据题中的3个条件，逐一分类讨论，确定华，杯，赛三个数字的值，从而得出三数
之积即可．
【解答】解：根据图内文字华、罗、庚、杯、数、学、精、英、赛分别表示1～9中的九个不同的
数字，
52＝32+42，根据条件（2）可得，华为5，英，赛为3，4或4，3；
（1）当英为3，赛为4时，由条件（1）罗+庚＝7，又5+罗＝3+精，
可得罗只能为6，庚为1，精为8，
所以8+杯＝4+学，无解，不符合题意，
因此英为4，赛为3；
（2）由于由条件（1）罗+庚＝7，此时，罗，庚只能为1，6或6，1，
当罗为6，庚为1时，由条件（1）5+6＝4+精，杯+精＝3+学，此时精为7，杯比学大4，不
①符合题意．当罗为1，庚为6，由条件（1）5+杯＝6+学，杯+精＝学+3，可得：精＝2，杯比学大1，
②又由条件（3）数＞学，可得学为7，杯为8，数为9，符合题意．
所以华为5，杯为8，赛为3，
因此华、杯、赛所代表的三数之乘积为：5×8×3＝120．
故答案为：120．
10．（3分）下图中，有很多大大小小的三角形，这些三角形有的是单独显现的，有的是合并若
干区块才得到的，这些位置不完全相同的三角形共有 4 2 个．
【分析】本题就是找出图形中有多少个三角形，根据不在同一直线上三点可以确定一个三
角形，据此即可判断．
【解答】解：
以AD为边的三角形有：△ADQ，△ADI，△ADB；
以CD为边的三角形有：△CDB，△CDM；
以AC为边的三角形有：△ACP，△ACH，△ACE，△ACB，△ACG，△ACF，△ACE；
以AE为边的三角形有：△AEH，△AEP，△AEC；
以BE为边的三角形有：△BEC；
以AB为边的三角形有：△ABI，△ABF，△ABG，△ABD
以BF为边的三角形有：△BFI，△BFA；
以BG为边的三角形有：△BGA
以CG为边的三角形有：△CGP，△CGA；
以BG为边的三角形有：△BGQ，△BGA
以CF为边的三角形有：△CFH，△CFA
以BC为边的三角形有：△BCM，△BCE，△BCD
以AQ为边的三角形有：△AQD，△AQI，△AQB
以AP为边的三角形有：△APC，△APH，△APE
以PG为边的三角形有：△PGC
以PQ为边的三角形有：△PQM
以QG为边的三角形有：△QGB
以MH为边的三角形有：△MHI；三角形共有42个．
故答案为：42．
11．（3分）怡荣号渡轮时速40千米，单数日由A地顺流航行到B地，双数日由B地逆流航行
到A地．（水速为每小时24千米）有一单数日渡轮航行到途中的C地时，失去动力，只能
任船漂流到B地，船长计得该日所用的时间为原单数日的 倍．另一双数日渡轮航行到
途中的C地时，又失去动力，船在漂流过程中，维修人员全力抢修了1小时后船以2倍时
速前进到A地，结果船长发现该日所用的时间与原双数日所用时间一秒不差．请问A、B
两地的距离为多少千米？
【分析】两个等量关系为：A、C两地的距离顺流行驶需要的时间+B、C两地的距离顺流漂
流需要的时间＝A、B两地的距离顺流行驶需要的时间× ；B、C两地的距离逆流行驶需
要的时间+抢修的时间+（A、C两地的距离+24千米）逆流需要的时间＝A、B两地的距离逆
流行驶需要的时间，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设A、B两地的距离为x千米，A、C两地的距离为y千米，得
则
解得
答：A、B两地的距离为192千米．
12．（3分）老师用10个1cm×1cm×1cm的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图
所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（1cm）共享，或有一面（1cm×1cm）共①享．老师拿出一张3cm×4cm的方格纸（如图 ），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放
在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后②的左视图有 1 6 种．（小正立方体摆放时不得
悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）
【分析】小荣摆放完后的左视图有： 从左往右依次是3个正方形、1个正方形、1个正方
形； 从左往右依次是3个正方形、①1个正方形、2个正方形； 从左往右依次是3个正方
形、②2个正方形、1个正方形； 从左往右依次是3个正方形、③2个正方形、2个正方形；
从左往右依次是2个正方形、④3个正方形、1个正方形； 从左往右依次是2个正方形、⑤3
个正方形、2个正方形； 从左往右依次是2个正方形、⑥1个正方形、3个正方形； 从左
往右依次是2个正方形、⑦2个正方形、3个正方形； 从左往右依次是1个正方形、⑧3个正
方形、1个正方形； 从左往右依次是1个正方形、3⑨个正方形、2个正方形；（11）从左往右
依次是1个正方形⑩、1个正方形、3个正方形；（12）从左往右依次是1个正方形、2个正方
形、3个正方形；（13）从左往右依次是3个正方形、1个正方形；（14）从左往右依次是3个
正方形、2个正方形； （15）从左往右依次是2个正方形、3个正方形；（16）从左往右依次
是1个正方形、3个正方形；由此得出答案即可．
【解答】解：由题意可知，立体图形只有一排左视图有3个正方形，有两到三排．
三排的左视图有：3×4＝12种；
两排的左视图有：2×2＝4种；
共12+4＝16种．
故答案为：16．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:51:03；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
