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2010年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试
卷（小学组笔试二）
一、填空题（每题20分，共60分）
1．（20分）如图，∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝3，DC＝5，BC＝6，BE＝EF＝FC，AF交DE于
G．则三角形DFG与三角形AGE面积的和为 ．
2．（20分）在正八边形的8个顶点和中心O处放上9个不同的自然数，使得位于每对平行边
与中心O上的5个数之和都等于位于顶点的8个数之和．那么位于中心O处的数最小是
．
3．（20分）如图，对A，B，C，D，E，F，G七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜色中的某一
种来着色，规定相邻的区域着不同的颜色．那么有 种不同的着色方法．
二、解答题（每题20分，共60分）
4．（20分）对于平面上垂直的两条直线a和b，称 （a，b） 为一个“垂直对”，而a和b都是
属于这个“垂直对”的直线．那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直
对”？
5．（20分）方格网上有三个地点A，B，C，每个小方格的边长为100米．如果沿着网格线修路
把三个地点连起来，问：修的总路长最短为多少米？6．（20分）自然数a，b满足23a﹣13b＝1，求a+b的最小值．2010 年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀
请赛试卷（小学组笔试二）
参考答案与试题解析
一、填空题（每题20分，共60分）
1．（20分）如图，∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝3，DC＝5，BC＝6，BE＝EF＝FC，AF交DE于
G．则三角形DFG与三角形AGE面积的和为 ．
【分析】过E点作EH⊥BC交AF于H，过F点作FI⊥BC交DE于I，根据等高的三角形面
积比等于底之比求解即可．
【解答】解：过 E 点作 EH⊥BC 交 AF 于 H，过 F 点作 FI⊥BC 交 DE 于 I，
因为∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝3，DC＝5，BC＝6，BE＝EF＝FC，
所以EH＝1.5，FI＝2.5，三角形EFH面积＝三角形AEH面积＝2×3÷2÷2＝1.5，
三角形EFI面积＝三角形FID面积＝2×5÷2÷2＝2.5．
所以HG：GF＝1.5：2.5，IG：GE＝2.5：1.5，
所以三角形EGH面积＝1.5×1.5÷（1.5+2.5）＝ ，
三角形GFI面积＝2.5×2.5÷（1.5+2.5）＝ ．故三角形DFG与三角形AGE面积的和＝三角形AEH面积+三角形EGH面积+三角形
FID面积+三角形GFI面积，
＝1.5+ + +2.5＝ ．
故答案为： ．
2．（20分）在正八边形的8个顶点和中心O处放上9个不同的自然数，使得位于每对平行边
与中心O上的5个数之和都等于位于顶点的8个数之和．那么位于中心O处的数最小是
14 ．
【分析】设这9个数分别为A，B，C，D，E，F，G，H，O．然后根据题意列出式子，求出O的最
小值．
【解答】解：由题意可知：A+B+E+F+O＝B+C+F+G+O＝C+D+G+H+O＝D+E+H+A+O＝
A+B+C+D+E+F+G+H，
整理得：A+E＝C+G，B+F＝D+H，
所以A+B+C+D+E+F+G+H＝2O，
即当A，B，C，D，E，F，G，H为0，1，2，3，4，5，6，7时，O最小，
即O＝ •（0+1+2+3+4+5+6+7）＝14．
故答案为：14．
3．（20分）如图，对A，B，C，D，E，F，G七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜色中的某一
种来着色，规定相邻的区域着不同的颜色．那么有 288 0 种不同的着色方法．
【分析】将问题分解为七步进行：A→B→C→D→E→F→G，得到每一步的着色方式，利用
乘法原理解答即可．
【解答】解：对这五个区域，我们分五步依次给予着色：（1）区域A共有5种着色方式；
（2）区域B因不能与区域A同色，故共有4种着色方式；
（3）区域C因不能与区域B同色，故共有4种着色方式；
（4）区域D因不能与区域A，B，C同色，故共有2种着色方式；
（5）区域E因不能与区域A，D同色，故共有3种着色方式．
（6）区域F因不能与区域D，E同色，故共有3种着色方式．
（7）区域G因不能与区域A，E，F同色，故共有2种着色方式．
于是，根据乘法原理共有5×4×4×2×3×3×2＝2880种不同的着色方式．
故答案为：2880．
二、解答题（每题20分，共60分）
4．（20分）对于平面上垂直的两条直线a和b，称 （a，b） 为一个“垂直对”，而a和b都是
属于这个“垂直对”的直线．那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直
对”？
【分析】如下图：当二十条直线有10条互相平行；另10条不仅互相平行而且与前10条垂
直时垂直对最多共100对．
【解答】解：当二十条直线有10条互相平行；另10条不仅互相平行而且与前10条垂直时
垂直对最多．
10×10＝100（对）
答：平面上有二十条直线时最多可组成100个“垂直对”．
5．（20分）方格网上有三个地点A，B，C，每个小方格的边长为100米．如果沿着网格线修路
把三个地点连起来，问：修的总路长最短为多少米？【分析】由于要沿着网格线修路把三个地点连起来，可以先找到交点D，再分别求出各段的
长相加即可．
【解答】解：如图所示，
可得100×4+100×3+100×2+100＝1000（米）．
答：修的总路长最短为1000米．
6．（20分）自然数a，b满足23a﹣13b＝1，求a+b的最小值．
【分析】由23a﹣13b＝1，可得13b＝23a﹣1＝26a﹣（3a+1），得到b关于a的解的形式：b
＝26a÷13﹣（3a+1）÷13＝2a﹣（3a+1）÷13．因为a、b都是自然数，因此3a+1能被13整除，
显然a最小为4，b同时取得最小值b＝7，进而求得a+b的最小值．
【解答】解：由23a﹣13b＝1，可得13b＝23a﹣1＝26a﹣（3a+1）
推出b＝26a÷13﹣（3a+1）÷13＝2a﹣（3a+1）÷13
要使3a+1能被13整除，
显然a最小为4，b同时取得最小值b＝7
所以a+b最小值＝4+7＝11．
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日期：2019/5/7 10:52:46；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
