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2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷
（一组二试）
一、填空题（共3小题，每题10分）
1．（10分）不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2的x应满足的条件是 ．
2．（10分）分别写有 1、2、3、4、5 的五张纸片，从小到大正面向上，摞成一摞．现在将 1、3
和 5 反面后，仍放在原来位置．将整摞纸片从任一张纸片分成两摞，将上一摞整摞反转后
再放在下一摞上，或者把 5 张纸片整摞反转，算是一次“反转”．若要使上述摆放的五张
纸片都转变成正面向上的状态，则至少要进行 次“反转”．（有数字的面为正面）
3．（10分）[a]表示不大于a的最大整数，已知（[ ]+1）×（[ ]+1）×（[ ]+1）×…×（[ ]+1）被
13除的余数是7，则不超过48的最大的正整数k＝ ．
二、解答题（共3小题，每小题10分，写出解答过程）
4．（10分）扑克牌中的J，Q，K分别看成11，12，13点，从1到13点的13张扑克牌中至多挑
出几张牌，使得没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？
5．（10分）汽车队去往受灾群众安置点运送物资，每辆汽车载重量为10吨，若每个帐篷分配
1.5吨物资，则余下不足一车物资：若每个帐篷分配1.6吨物资，则尚差2车多的物资．问：
这个安置点最少有多少顶帐篷？
6．（10分）（1）如图1中 的大正方形被分成了4个小长方形．已知黑色小长方形的总面积与
白色小长方形的总面积相等．证明，一定能将这两个黑色小长方形完整地对接拼成为一个
大长方形．
（2）如果图2所示的大正方形中黑色小长方形的总面积与白色小长方形的总面积相等．还
能将这些黑色小长方形完整地对接拼在一起成为一个大长方形吗？2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛
试卷（一组二试）
参考答案与试题解析
一、填空题（共3小题，每题10分）
1．（10分）不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2的x应满足的条件是 x ≤ ．
【分析】按题意，即：求|x+2|﹣|x﹣1|≤2的解，可以分情况讨论，分三种情况：x＜﹣2；x＞1；
﹣2≤x≤1故可以去掉绝对值，再求解．
【解答】解：根据分析，即：求|x+2|﹣|x﹣1|≤2的解，先去绝对值，分三种情况：
x＜﹣2时，x+2＜0； x﹣1＜0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2 ﹣（x+2）﹣（1﹣x）≤2 ﹣3≤2，成
①立；∴x＜﹣2； ⇒ ⇒
x＞1时，x+2＞0； x﹣1＞0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2 x+2﹣（x﹣1）≤2 2+1≤2，（不符合，
②舍去）； ⇒ ⇒
﹣2≤x≤1时，x+2≥0；x﹣1≤0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2 x+2﹣（1﹣x）≤2 2x+1≤2 x≤
③ ⇒ ⇒ ⇒
；∴﹣2≤x≤ ．
综上，x≤ 时，满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|≤2，即此时x不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2．
故答案是：x≤ ．
2．（10分）分别写有 1、2、3、4、5 的五张纸片，从小到大正面向上，摞成一摞．现在将 1、3
和 5 反面后，仍放在原来位置．将整摞纸片从任一张纸片分成两摞，将上一摞整摞反转后
再放在下一摞上，或者把 5 张纸片整摞反转，算是一次“反转”．若要使上述摆放的五张
纸片都转变成正面向上的状态，则至少要进行 5 次“反转”．（有数字的面为正面）
【分析】先将整摞纸片看成5个“子摞”组成，即可得出一次反正后，“子摞”数的变化情
况，即可得出结论．
【解答】解：如果把整摞纸片看成为，每一部分都是同方向的：“子摞”而成，因此原来的
整摞纸片有5摞纸片组成，
一次“反转”只能从一张纸片开始，把上部分最上面的纸片与下部分的上面第一张纸片相邻，中间次序没有发生变化，一次反正后“子摞”数只会出现三种情况：增加1，不变，
减少1，并且整摞反转时，“子摞”数目，不会发生变化．
按照要求，要把5变成正面向上，一定有一次5张纸片一次反转，而整摞的数码保持不变，
要把5个“子摞”变成一个子摞，至少“反转”4次，因此，至少反转5次，
下面说明5次可以保证5张纸片都是正面向上的状态：即：先将1先“反转”，再将1和2
同时反转，依次再反转2，1，3，再反转3，1，2，4，最后反转4，2，1，3，5就全都正面向上了，
共5次，（此种反转为其中一种），
故答案为：5．
3．（10分）[a]表示不大于a的最大整数，已知（[ ]+1）×（[ ]+1）×（[ ]+1）×…×（[ ]+1）被
13除的余数是7，则不超过48的最大的正整数k＝ 4 5 ．
【分析】a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的
余数）．例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1＝3．
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数．例如，23，19除以
5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数．这题就根据
这个性质去进行分析．
【解答】解：
前6个数相乘的积是1×1×1×1×1×1＝1；
第7个数到第13个数的积是2×2×2×2×2×2×2＝128；128÷13＝9…11；
第14个数到第20个数的积是3×3×3×3×3×3×3＝2187，2187÷13＝168…3；11×3＝33，
33÷13＝2…7；
第21个数到第27个数的积是4×4×4×4×4×4×4＝16384，16384÷13＝1260…4；4×7＝28，
28÷13＝2…2；
第28个数到第34个数的积是5×5×5×5×5×5×5＝78125，78125÷13＝6009…8；2×8＝16，
16÷13＝1…3；
第35个数到第41个数的积是6×6×6×6×6×6×6＝279936，279936÷13＝21533…7；3×7＝
21，21÷13＝1…8；
因为8×7×7×7×7＝19208，19208÷13＝1477…7，所以k是45．
二、解答题（共3小题，每小题10分，写出解答过程）
4．（10分）扑克牌中的J，Q，K分别看成11，12，13点，从1到13点的13张扑克牌中至多挑
出几张牌，使得没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？【分析】首先得到从1到13点的13张扑克牌中有1～12的差，进一步得到出现2a ＝a +a
n m l
（m＞n＞l）至少有5组，相当于从21组中取出这5组，尚有16组，再根据抽屉原理即可求
解．
【解答】解：设至少挑出n张牌，但是{1，2，3，5，8，13}中没有2对牌，其中一对牌的点数之
和等于另一对牌的点数之和，所以n≥6，
若n＝7，所取的7张牌，从小到大排列为：{a ，a ，…，a }，任取2个a 和a ，
1 2 7 m n
设a ＞a ，
m n
则 ＝21个在1～12的差，这些差中
（1）不可能出现a ﹣a ＝a ﹣a ，
m n k n
（2）若有a ﹣a ＝a ﹣a，即2a ＝a +a（m＞n＞l），
m n n l n m l
则不能有m ≠m，l ≠（l m ＞n＞l ），使得2a ＝a +a ，否则存在2对牌，其中一对牌的点
1 1 1 1 n m1 l1
数之和等于另一对牌的点数之和，
即对于同一个n，出现a ﹣a ＝a ﹣a 或2a ＝a +a（m＞n＞l）具有唯一性，
m n n l n m l
出现2a ＝a +a（m＞n＞l）至少有5组，相当于从21组中取出这5组，尚有16组，16个取
n m l
值在1～12的差，必有两个相同．
5．（10分）汽车队去往受灾群众安置点运送物资，每辆汽车载重量为10吨，若每个帐篷分配
1.5吨物资，则余下不足一车物资：若每个帐篷分配1.6吨物资，则尚差2车多的物资．问：
这个安置点最少有多少顶帐篷？
【分析】题目里两种分配案所用车辆和安置点的帐篷数是一样的．故分别设它们为X、Y，
根据题意列出相应的不等式组．在不等式组中先消元去掉Y，再求出所得关于X的不等式
的解集，在X解集内取整数值代入原不等式组，求得Y的解集即可．
【解答】解：设所用车为X辆，帐篷为Y顶．据题意得：
去掉Y得：
解得：30＜X＜61
因求最少帐篷，所以车辆也应是最少的．故车辆X从取整数31开始试起，直到找出适合所
列原不等式组Y的值．把X＝31代入原不等式组，解得：
①
故：Y无解．
把X＝32代入原不等式组解得：
②
故：Y最小值整数值为213
答：这个安置点最少有213顶帐篷．
6．（10分）（1）如图1中 的大正方形被分成了4个小长方形．已知黑色小长方形的总面积与
白色小长方形的总面积相等．证明，一定能将这两个黑色小长方形完整地对接拼成为一个
大长方形．
（2）如果图2所示的大正方形中黑色小长方形的总面积与白色小长方形的总面积相等．还
能将这些黑色小长方形完整地对接拼在一起成为一个大长方形吗？
【分析】如图： ，根据题意可知S长方形APKM +S长方形KNCQ ＝S长方形
PBNK
+S长方形KQDM ，即：AP×PK+KN×KQ＝PK×KN+AP×KQ，AP×PK﹣AP×KQ＝PK×KN﹣
KN×KQ，AP×（PK﹣KQ）＝KN（PK﹣KQ），AP×（PK﹣KQ）﹣KN（PK﹣KQ）＝0，（AP﹣
KN）（PK﹣KQ）＝0，从而得出AP＝KN或PK＝KQ，从而得出两个黑色长方形的边中一定
有一条是相等，从而能拼成一个大长方形，同理可证明这些黑色小长方形完整地对接拼在
一起能拼成一个大长方形．
【解答】解：（1）如图：，
S长方形APKM +S长方形KNCQ ＝S长方形PBNK +S长方形KQDM
AP×PK+KN×KQ＝PK×KN+AP×KQ
AP×PK﹣AP×KQ＝PK×KN﹣KN×KQ
AP×（PK﹣KQ）＝KN（PK﹣KQ）
AP×（PK﹣KQ）﹣KN（PK﹣KQ）＝0
（AP﹣KN）（PK﹣KQ）＝0
从而得出AP＝KN或PK＝KQ，
从而得出两个黑色长方形的边中一定有一条是相等，从而能拼成一个大长方形．
（2）同理可证明这些黑色小长方形完整地对接拼在一起能拼成一个大长方形．
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日期：2019/5/7 10:48:11；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
