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2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷
（三组一试）
一、填空题（共3题，每题10分）
1．（10分）小兔和小龟从A地到森林游乐园，小兔上午9点出发，1分钟向前跳40米，每跳3
分钟就原地玩耍2分钟；小龟上午6点40分出发，1分钟爬行只有10米，但途中从不休息
和玩耍．已知小龟比小兔早到森林游乐园15秒，那么A地到森林游乐园有 米．
2．（10分）小林做下面的计算：M÷37，其中M是一个自然数，要求计算结果是经四舍五入后
保留六位小数．小林得到的结果是9.684469，这个结果的整数位是正确的，小数各位的数
字也没有错，只是次序乱了，则正确的计算结果是 ．
3．（10分）a ，a ，a ，…，a 是满足0＜a ＜a ＜a …＜a 的自然数，且 ＝ + + +…+
1 2 3 n 1 2 3 n
，那么n的最小值是 ．
二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）
4．（10分）蓝精灵王国的A，B两地的距离等于2010米，国王每分钟派一名信使从A地向B
地送信．第1号信使的速度是1米/分，以后每一名信使的速度都比前一名每分钟快1米，
直到派出第2010号信使为止．问哪些信使能同时到达B地？
5．（10分）如图，在直角三角形 ABC中，∠ABC＝90°，ABPA′B′，BCPB′C′，
ACPA′C′，且三对平行线的距离都是 1，若AC＝10，AB＝8，BC＝6，求三角形
A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值．
6．（10分）13个不同的自然数的和是996，且这些数的各位数码之和都彼此相等，求这13个数．2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛
试卷（三组一试）
参考答案与试题解析
一、填空题（共3题，每题10分）
1．（10分）小兔和小龟从A地到森林游乐园，小兔上午9点出发，1分钟向前跳40米，每跳3
分钟就原地玩耍2分钟；小龟上午6点40分出发，1分钟爬行只有10米，但途中从不休息
和玩耍．已知小龟比小兔早到森林游乐园15秒，那么A地到森林游乐园有 237 0 米．
【分析】如线段图所示：
已知第一阶段为5分钟，兔子走40×3＝120米，龟5分钟走50米，兔比龟快：120﹣50＝70
（米），第一阶段（即中途玩耍阶段）龟走的路程要大于等于兔的路程，15秒即 分钟，兔走
40× ＝10米；6：40至9：00中间140分钟，140×10＝1400（米），1400﹣10＝1390（米），
1390÷70≈19（组），即19个5分钟19×5＝95（分钟），则兔子第一阶段的路程：19×120＝
2280（米），龟第一阶段的路程：1390+95×10＝2340（米）第二阶段：2340﹣2280＝60（米），
每五分钟兔子比乌龟快：40﹣10＝30（米），60÷30＝2（分钟）95+2＝97（分钟）总路程：
1400+97×10＝2370（米）．
【解答】解：如线段图所示：
每五分钟，兔子比龟快：40×3﹣50＝70（米）15秒即 分钟，兔走40× ＝10米
6：40至9：00中间140分钟
140×10＝1400（米）
1400﹣10＝1390（米）
1390÷70≈19（组）
即19个5分钟19×5＝95（分钟）
则兔子第一阶段的路程：19×120＝2280（米）
龟第一阶段的路程：1390+95×10＝2340（米）
第二阶段：2340﹣2280＝60（米）
60÷（40﹣10）＝2（分钟）
95+2＝97（分钟）
总路程：1400+97×10＝2370（米）．
2．（10分）小林做下面的计算：M÷37，其中M是一个自然数，要求计算结果是经四舍五入后
保留六位小数．小林得到的结果是9.684469，这个结果的整数位是正确的，小数各位的数
字也没有错，只是次序乱了，则正确的计算结果是 9.64864 9 ．
【分析】根据题意可设 ＝9+ （m≤36），而 ， ×m≤ ×36＝
，所以 是循环节为3的纯循环小数，小林得到的结果是9.684469，是四舍五入
后保留的结果，所以是2个循环节，三位数相同，这个循环节应是由6、4、8组成的，因小
数各位的数字也没有错，所以最后的一位9，是由第七位五入得到的，所以循环节的第一
位应是大于或等于5的数，第三位是8，所以这个循环节是648，据此解答．
【解答】解：根据题意可设 ＝9+ （m≤36），
×m≤ ×36＝ ，
所以 是循环节由3个数组成的纯循环小数
0.684469是7位小数四舍五入的结果，因此是2个循环节，它的最后一位是循环节的第3位加1得到的，所以循环节的第一位是6，循环节的正确排序是0.
所以正确的计算结果是9.648649．
故答案为：9.648649．
3．（10分）a ，a ，a ，…，a 是满足0＜a ＜a ＜a …＜a 的自然数，且 ＝ + + +…+
1 2 3 n 1 2 3 n
，那么n的最小值是 4 ．
【分析】要使n最小，就是使项数最小，则要使每一项都尽量小．0＜a ＜a ＜a …＜a ，告诉
1 2 3 n
我们没有任何两项的分母相同，为了便于表述，不妨设 ＜1，令a ＝2，则 + +…+
1
＝ ﹣ ＝ ＞ ，
令a ＝3，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ＞ ，
2
令a ＝11，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ，所以a ＝231．
3 4
所以，n最小值是4．
【解答】解：设 ＜1，令a ＝2，则 + +…+ ＝ ﹣ ＝ ＞ ，
1
令a ＝3，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ＞ ，
2
令a ＝11，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ，所以a ＝231．
3 4
所以，n最小值是4．
二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）
4．（10分）蓝精灵王国的A，B两地的距离等于2010米，国王每分钟派一名信使从A地向B
地送信．第1号信使的速度是1米/分，以后每一名信使的速度都比前一名每分钟快1米，
直到派出第2010号信使为止．问哪些信使能同时到达B地？
【分析】从第一名信使到最后一名信使从A地向B地送信，能够同时到达B地的，说明都
是2010的约数，由此求出结论即可．
【解答】解：设第m名与第n名信使同时抵达B地．则由t ＝n得出 ＝n，再得出
m＝n，
则mn＝2010＝2×3×5×67，由此看出同时抵达B地的信使成对出现，
共8对：（1，2010），（2，1005），（3，670），（5，402），（6，335），（10，201），（15，134），（30，
67）；
答：有（1，2010），（2，1005），（3，670），（5，402），（6，335），（10，201），（15，134），（30，
67）这8对信使各自两人同时到达．
5．（10分）如图，在直角三角形 ABC中，∠ABC＝90°，ABPA′B′，BCPB′C′，
ACPA′C′，且三对平行线的距离都是 1，若AC＝10，AB＝8，BC＝6，求三角形
A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值．
【分析】设该点为P，若点P在A′C′上，设该点到AB边和BC边的距离分别为a，b，则
该点到三角形ABC的三边距离之和为a+b+1，连接AP、BP、CP，由于三角PAB，PBC，PAC
面积和为24，于是有5+3b+4a＝24可得b＝ ，a+b+1＝ 然后再分情况进行讨
论．
【解答】解：设设点为P，若点P在A′C′上，设该点到AB边和BC边的距离分别为a，b，
则该点到三角形ABC的三边距离之和为a+b+1（1），连接AP、BP、CP，由于三角PAB，
PBC，PAC面积和为24，于是有5+3b+4a＝24可得b＝ ，a+b+1＝ 然后再分情
况进行讨论．
当a＝1时，a+b+1＝7，取得最大值7；
若点P在B′C′边上，则同样方法可得a+c+＝ ＜7．若点P在A′B′边上，则同样方法可得b+c+1＝ b+5，而易得b最大是5，所以此时距离
和的最大值也是7．
综上，三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值是7；
答：三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值是7．
6．（10分）13个不同的自然数的和是996，且这些数的各位数码之和都彼此相等，求这13个
数．
【分析】几个加数的数字和除以9余几，这几个加数的和的数字和除以9也余几；996除以
9余6，所以这13个数的数码和除以9也6．又因为这13个数的数码和都相等，所以这13
个数的数码和可能是6、15、24；进而推算即可．
【解答】解：996÷9＝110…6，
所以这13个数的数码和除以9也6，
又因为这13个数的数码和都相等，所以这13个数的数码和可能是6、15、24；
数字和为6的最小13个数分别是6、15、24、33、42、51、60、105、114、123、132、141、150这
13个数的和正好是996．
所以这13个数是：6、15、24、33、42、51、60、105、114、123、132、141、150．
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日期：2019/5/7 10:54:20；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
