文档内容
2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷
（三组二试）
一、填空题（共3小题，每小题0分，满分0分）
1．静水中，甲船速度是乙船速度的两倍．甲、乙两船沿河分别从A、B两地同时出发，相向而
行，相遇时距A、B两地的距离之是3：1，如果甲、乙两船分别从B、A两地同时出发，相向
而行，相遇时距A、B的距离之比是 ．
2．一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2
人护旗．则n最小等于 ．
3．自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，
CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S ，S ，S ，S ，S ，
1 2 3 4 5
S ，若S ﹣S ＝2，S ﹣S ＝1，那么S ﹣S ＝ ．
6 5 6 1 2 4 3
二、解答题（共3小题，满分0分）
4．小华把数字2～9分成4对，使得每对数的和为质数．问一共有多少种不同的分法？
5．将1，2，3，…，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a ，a ，…，a ，其中a ＝37，a
1 2 37 1 2
＝1，并使得a +a +…+a 能被a 整除（k＝1，2，…，36），求a ＝？a ＝？
1 2 k k+1 3 37
6．15张卡片，每张卡片上写有3个不同的汉字，任意2张上的汉字不完全相同；任意6张中，
一定有2张，它们上面有共同的汉字．问：这15张卡片上最多有多少个不同的汉字？2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛
试卷（三组二试）
参考答案与试题解析
一、填空题（共3小题，每小题0分，满分0分）
1．静水中，甲船速度是乙船速度的两倍．甲、乙两船沿河分别从A、B两地同时出发，相向而
行，相遇时距A、B两地的距离之是3：1，如果甲、乙两船分别从B、A两地同时出发，相向
而行，相遇时距A、B的距离之比是 5 ： 7 ．
【分析】由甲船速度是乙船速度的两倍先设在静水中乙船速度为x，则甲船速度为2x，水速
为y，根据甲、乙两船相向而行，相遇时距A、B两地的距离之比是3：1，可知从A到B为顺
水，从B到A为逆水，就可得出第一次相遇时的速度比：（2x+y）：（x﹣y）＝3：1，即可求出
x＝4y；那么甲、乙两船分别从B、A两地同时出发，相向而行，第二次相遇时的速度比为：
（2x﹣y）：（x+y），再由x＝4y，即可求出相遇时距A、B的距离之比．
【解答】解：设在静水中乙船速度为x，则甲船速度为2x，水速为y，
第一次相遇时的速度比：（2x+y）：（x﹣y）＝3：1，
即可求出x＝4y；
第二次相遇时的速度比为：（2x﹣y）：（x+y），
因为x＝4y，
所以（2x﹣y）：（x+y）＝（2×4y）：（4y+y）＝7：5，
即相遇时距A、B的距离之比5：7．
故答案为：5：7．
2．一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2
人护旗．则n最小等于 14 1 ．
【分析】根据题干分析可得，这个方阵的人数是8的倍数，一个小方阵有15×15＝225人，
设有k个方阵，那么8n＝225k+3，则225k+3应该是8的倍数，考虑除以8的余数，k最小为
5，n最小为141．
【解答】解：设有k个方阵，那么8n＝225k+3，
当k＝1时，225+3＝228，不是8的倍数；不符合题意；
当k＝2时，225×2+3＝453，不是8的倍数，不符合题意；当k＝3时，225×3+3＝678，不是8的倍数，不符合题意；
当k＝4时，225×4+3＝903，不是8的倍数，不符合题意；
当k＝5时，225×5+3＝1128，是1128÷8＝141；
答：k最小为5时，n最小为141．
故答案为：141．
3．自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，
CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S ，S ，S ，S ，S ，
1 2 3 4 5
S ，若S ﹣S ＝2，S ﹣S ＝1，那么S ﹣S ＝ 3 ．
6 5 6 1 2 4 3
【分析】解：如图， ，连接AP、BP、CP，根据勾股定
理，可得AP2﹣BP2＝AF2﹣BF2，BP2﹣CP2＝BD2﹣CD2，CP2﹣AP2＝CE2﹣EA2，所以
AF2+BD2+CE2＝BF2+CD2+EA2；然后根据圆的面积公式，可得S +S +S ＝S +S +S ，所以S
1 3 5 2 4 6 4
﹣S ＝（S ﹣S ）+（S ﹣S ）＝2+1＝3，据此解答即可．
3 5 6 1 2【解答】解：如图， ，连接AP、BP、CP，
根据勾股定理，可得AP2＝AF2+FP2… ，BP2＝BF2+FP2… ，
﹣ ，可得AP2﹣BP2＝AF2﹣BF2…① ， ②
①同理，②可得BP2﹣CP2＝BD2﹣CD2… ③，
同理，可得CP2﹣AP2＝CE2﹣EA2…④，
+ + ，可得AF2+BD2+CE2＝BF⑤ 2+CD2+EA2，
③ 所以 ④ ⑤ （AF2+BD2+CE2）＝ ×（BF2+CD2+EA2），
因此S +S +S ＝S +S +S ，
1 3 5 2 4 6
所以S ﹣S
4 3
＝（S ﹣S ）+（S ﹣S ）
5 6 1 2
＝2+1
＝3
故答案为：3．
二、解答题（共3小题，满分0分）
4．小华把数字2～9分成4对，使得每对数的和为质数．问一共有多少种不同的分法？
【分析】因为使得每对数的和为质数，不可能把两个偶数或两个奇数分为一组，只能是一
奇一偶，根据20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19来尝试分组即可．
【解答】解：显然这4对数均为1奇1偶，6只能和5或7一组．
（1）6与5一组，那么7与4一组，剩下4个数有2种排法：2与3，8与9（或8与3，2与
9）．
（2）6与7一组， 4和3一组，剩下4个数2种排法：2与9，5与8（或2与5，8与9）；
4和9一组，剩①下4个数2种排法：2与5，8与3（或2与3，8与5）．
②一共有6种排法．5．将1，2，3，…，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a ，a ，…，a ，其中a ＝37，a
1 2 37 1 2
＝1，并使得a +a +…+a 能被a 整除（k＝1，2，…，36），求a ＝？a ＝？
1 2 k k+1 3 37
【分析】显然这37个数的总和是a 的倍数，所以总和37×19是a 的倍数，由此求出a 的
37 37 37
值，对于a ，有38是a 的倍数，由此求出a 的值，解决问题．
3 3 3
【解答】解：这37个数的总和是a 的倍数，所以总和37×19是a 的倍数，所以a ＝19；
37 37 37
对于a ，a 可以整除a +a ＝37+1＝38，所以38是a 的倍数，所以a ＝2．
3 3 1 2 3 3
6．15张卡片，每张卡片上写有3个不同的汉字，任意2张上的汉字不完全相同；任意6张中，
一定有2张，它们上面有共同的汉字．问：这15张卡片上最多有多少个不同的汉字？
【分析】考察1～6张卡片，至少有2个汉字重复，不妨设第一张有汉字重复，考察2～7张
卡片，至少有2个汉字重复，不妨设第二张有汉字重复，…，考察10～15张卡片，至少有2
个汉字重复，这样的话，至少重复了10次，15张卡片共45个汉字，至多还有35个不同的
汉字．
【解答】解：根据题干分析可得：1～6张卡片，至少有2个汉字重复，不妨设第一张有汉字
重复，
2～7张卡片，至少有2个汉字重复，不妨设第二张有汉字重复，
…，
10～15张卡片，至少有2个汉字重复，
这样的话，至少重复了10次，
又因为15张卡片共45个汉字，
45﹣10＝35（个），
答：至多有35个不同的汉字．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:51:39；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
