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2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷
（二组一试）
一、填空题（共3题，每题10分）
1．（10分）小林做下面的计算：M÷37，其中M是一个自然数，要求计算结果是经四舍五入后
保留六位小数．小林得到的结果是9.684469，这个结果的整数位是正确的，小数各位的数
字也没有错，只是次序乱了，则正确的计算结果是 ．
2．（10分）小兔和小龟同时从A地出发到森林游乐园，小兔1分钟向前跳36米，每跳3分钟
就原地玩耍，第1次玩耍0.5分钟，第2次玩耍1分钟，第3次玩耍1.5分钟，…，第k次玩
耍0.5k分钟，小龟途中从不休息和玩耍．已知小龟比小兔早到森林游乐园3分20秒，A地
到森林游乐园有2640米，则小龟1分钟爬行 米．
3．（10分）a ，a ，a ，…，a 是满足0＜a ＜a ＜a …＜a 的自然数，且 ＝ + + +…+
1 2 3 n 1 2 3 n
，那么n的最小值是 ．
二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）
4．（10分）长方形O O BA的宽AO ＝1厘米，分别以O 与O 为圆心，1厘米为半径画圆O
1 2 1 1 2 1
和圆O ，交线段O O 于点C和D，如图所示，则四边形ABCD的面积等于多少平方厘米？
2 1 2
5．（10分）如图，在直角三角形 ABC中，∠ABC＝90°，ABPA′B′，BCPB′C′，
ACPA′C′，且三对平行线的距离都是 1，若AC＝10，AB＝8，BC＝6，求三角形
A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值．6．（10分）n张纸片，每张都写有不大于n的3个不同正整数，任意2张纸片恰有一个数是相
同的，求纸片上所有写的数的和．2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛
试卷（二组一试）
参考答案与试题解析
一、填空题（共3题，每题10分）
1．（10分）小林做下面的计算：M÷37，其中M是一个自然数，要求计算结果是经四舍五入后
保留六位小数．小林得到的结果是9.684469，这个结果的整数位是正确的，小数各位的数
字也没有错，只是次序乱了，则正确的计算结果是 9.64864 9 ．
【分析】根据题意可设 ＝9+ （m≤36），而 ， ×m≤ ×36＝
，所以 是循环节为3的纯循环小数，小林得到的结果是9.684469，是四舍五入
后保留的结果，所以是2个循环节，三位数相同，这个循环节应是由6、4、8组成的，因小
数各位的数字也没有错，所以最后的一位9，是由第七位五入得到的，所以循环节的第一
位应是大于或等于5的数，第三位是8，所以这个循环节是648，据此解答．
【解答】解：根据题意可设 ＝9+ （m≤36），
×m≤ ×36＝ ，
所以 是循环节由3个数组成的纯循环小数
0.684469是7位小数四舍五入的结果，因此是2个循环节，它的最后一位是循环节的第3
位加1得到的，所以循环节的第一位是6，循环节的正确排序是0.
所以正确的计算结果是9.648649．
故答案为：9.648649．
2．（10分）小兔和小龟同时从A地出发到森林游乐园，小兔1分钟向前跳36米，每跳3分钟
就原地玩耍，第1次玩耍0.5分钟，第2次玩耍1分钟，第3次玩耍1.5分钟，…，第k次玩耍0.5k分钟，小龟途中从不休息和玩耍．已知小龟比小兔早到森林游乐园3分20秒，A地
到森林游乐园有2640米，则小龟1分钟爬行 1 2 米．
【分析】首先分析兔子不休息时用时多少，再找出休息的次数，求出对应的时间做差即是
乌龟的时间．即可求解．
【解答】解：依题意可知：
小兔子不休息需要2640÷36＝73 ．
24×3＝72证明兔子休息了24次．
24次休息的时间成等差数列．
0.5，1，…，12．
那么休息时间是0.5+1+1.5+2+…+12＝150（分钟）
兔子的总时间为：150+73+ ＝223 ．
乌龟的时间是223 ﹣3 ＝220（分）
乌龟的速度为：2640÷220＝12（米/分）
故答案为：12
3．（10分）a ，a ，a ，…，a 是满足0＜a ＜a ＜a …＜a 的自然数，且 ＝ + + +…+
1 2 3 n 1 2 3 n
，那么n的最小值是 4 ．
【分析】要使n最小，就是使项数最小，则要使每一项都尽量小．0＜a ＜a ＜a …＜a ，告诉
1 2 3 n
我们没有任何两项的分母相同，为了便于表述，不妨设 ＜1，令a ＝2，则 + +…+
1
＝ ﹣ ＝ ＞ ，
令a ＝3，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ＞ ，
2
令a ＝11，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ，所以a ＝231．
3 4
所以，n最小值是4．
【解答】解：设 ＜1，令a ＝2，则 + +…+ ＝ ﹣ ＝ ＞ ，
1令a ＝3，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ＞ ，
2
令a ＝11，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ，所以a ＝231．
3 4
所以，n最小值是4．
二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）
4．（10分）长方形O O BA的宽AO ＝1厘米，分别以O 与O 为圆心，1厘米为半径画圆O
1 2 1 1 2 1
和圆O ，交线段O O 于点C和D，如图所示，则四边形ABCD的面积等于多少平方厘米？
2 1 2
【分析】按题意，可以过D作DE⊥AB于E，易知AE＝O D＝O C，△AED与△BCO 的面
1 2 2
积相等，可以得出，图中阴影部分的面积即等于正方形EBO D的面积，不难求得阴影部分
2
的面积．
【解答】解：根据分析，如图，过D作DE⊥AB于E，易知AE＝O D＝O C，△AED与
1 2
△BCO 的面积相等，
2
可以得出，图中阴影部分的面积即等于正方形EBO D的面积＝1×1＝1（平方厘米）．
2
故答案是：1
5．（10分）如图，在直角三角形 ABC中，∠ABC＝90°，ABPA′B′，BCPB′C′，
ACPA′C′，且三对平行线的距离都是 1，若AC＝10，AB＝8，BC＝6，求三角形
A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值．【分析】设该点为P，若点P在A′C′上，设该点到AB边和BC边的距离分别为a，b，则
该点到三角形ABC的三边距离之和为a+b+1，连接AP、BP、CP，由于三角PAB，PBC，PAC
面积和为24，于是有5+3b+4a＝24可得b＝ ，a+b+1＝ 然后再分情况进行讨
论．
【解答】解：设设点为P，若点P在A′C′上，设该点到AB边和BC边的距离分别为a，b，
则该点到三角形ABC的三边距离之和为a+b+1（1），连接AP、BP、CP，由于三角PAB，
PBC，PAC面积和为24，于是有5+3b+4a＝24可得b＝ ，a+b+1＝ 然后再分情
况进行讨论．
当a＝1时，a+b+1＝7，取得最大值7；
若点P在B′C′边上，则同样方法可得a+c+＝ ＜7．
若点P在A′B′边上，则同样方法可得b+c+1＝ b+5，而易得b最大是5，所以此时距离
和的最大值也是7．
综上，三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值是7；
答：三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值是7．
6．（10分）n张纸片，每张都写有不大于n的3个不同正整数，任意2张纸片恰有一个数是相
同的，求纸片上所有写的数的和．
【分析】由题意，每个数字都是出现了3次，n≥2k+1＝7，再分析出n＝7，此时，7张牌上的
数字是1﹣7，各出现3次，数字和为84．
【解答】解：设a是出现最多的数字．一共有k张，则这k张纸片一共写有2k+1个不同的数字，因为每个数都不大于n，所以2k+1≤n．因此，k＜n，所以，至少还有一张纸片没写上a．
这张没写a的纸片与前面 k 张纸片中任一张纸片都恰 有一个数相同，这些数字彼此不
同，而且这个数不是a．但是这张纸片上只有三个不同的数字，所以，k＝3．因此，n≥2k+1
＝7．
另外，n张纸片写有3n个数，同 一个数最多写 3 次，所以，1，2，…n 每个数都写了3次．
如果n＞7，三张写有1的纸片上有7个不同的数，由于 n＞7，所以，还有一 个数不出现
在这三张纸片上，记为 b．
写有b的纸片上有3个数，这张纸片与写有a的三张纸片的每一张恰有一个相同的数字，
这个数字不是 1，也不是b．但是写有b的纸片上，除了b外，还只有2个数字，不可能与
写有1的三张纸片每张都有一个相同的数字．所以n＝7． 每个数恰在三张纸片上出现，
所有写的数的和为3×（1+2+…+7）＝3×28＝84．
下面是一个实例：1，2，3；1，4，5；1，6，7；2，4，6；2，5，7；3，4，7；3，5，6．
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日期：2019/5/7 10:49:12；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
