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2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷
（二组二试）
一、填空题（共3题，每题10分）
1．（10分）不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2的x应满足的条件是 ．
2．（10分）一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人
举旗，2人护旗．则n最小等于 ．
3．（10分）自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，
BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S ，S ，S ，
1 2 3
S ，S ，S ，若S ﹣S ＝2，S ﹣S ＝1，那么S ﹣S ＝ ．
4 5 6 5 6 1 2 4 3
二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）
4．（10分）扑克牌中的J，Q，K分别看成11，12，13点，从1到13点的13张扑克牌中至多挑
出几张牌，使得没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？
5．（10分）将1，2，3，…，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a ，a ，…，a ，其中a
1 2 37 1
＝37，a ＝1，并使得a +a +…+a 能被a 整除（k＝1，2，…，36），求a ＝？a ＝？
2 1 2 k k+1 3 37
6．（10分）汽车队去往受灾群众安置点运送物资，每辆汽车载重量为10吨，若每个帐篷分配
1.5吨物资，则余下不足一车物资：若每个帐篷分配1.6吨物资，则尚差2车多的物资．问：
这个安置点最少有多少顶帐篷？2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛
试卷（二组二试）
参考答案与试题解析
一、填空题（共3题，每题10分）
1．（10分）不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2的x应满足的条件是 x ≤ ．
【分析】按题意，即：求|x+2|﹣|x﹣1|≤2的解，可以分情况讨论，分三种情况：x＜﹣2；x＞1；
﹣2≤x≤1故可以去掉绝对值，再求解．
【解答】解：根据分析，即：求|x+2|﹣|x﹣1|≤2的解，先去绝对值，分三种情况：
x＜﹣2时，x+2＜0； x﹣1＜0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2 ﹣（x+2）﹣（1﹣x）≤2 ﹣3≤2，成
①立；∴x＜﹣2； ⇒ ⇒
x＞1时，x+2＞0； x﹣1＞0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2 x+2﹣（x﹣1）≤2 2+1≤2，（不符合，
②舍去）； ⇒ ⇒
﹣2≤x≤1时，x+2≥0；x﹣1≤0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2 x+2﹣（1﹣x）≤2 2x+1≤2 x≤
③ ⇒ ⇒ ⇒
；∴﹣2≤x≤ ．
综上，x≤ 时，满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|≤2，即此时x不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2．
故答案是：x≤ ．
2．（10分）一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人
举旗，2人护旗．则n最小等于 14 1 ．
【分析】根据题干分析可得，这个方阵的人数是8的倍数，一个小方阵有15×15＝225人，
设有k个方阵，那么8n＝225k+3，则225k+3应该是8的倍数，考虑除以8的余数，k最小为
5，n最小为141．
【解答】解：设有k个方阵，那么8n＝225k+3，
当k＝1时，225+3＝228，不是8的倍数；不符合题意；
当k＝2时，225×2+3＝453，不是8的倍数，不符合题意；
当k＝3时，225×3+3＝678，不是8的倍数，不符合题意；当k＝4时，225×4+3＝903，不是8的倍数，不符合题意；
当k＝5时，225×5+3＝1128，是1128÷8＝141；
答：k最小为5时，n最小为141．
故答案为：141．
3．（10分）自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，
BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S ，S ，S ，
1 2 3
S ，S ，S ，若S ﹣S ＝2，S ﹣S ＝1，那么S ﹣S ＝ 3 ．
4 5 6 5 6 1 2 4 3
【分析】解：如图， ，连接AP、BP、CP，根据勾股定
理，可得AP2﹣BP2＝AF2﹣BF2，BP2﹣CP2＝BD2﹣CD2，CP2﹣AP2＝CE2﹣EA2，所以
AF2+BD2+CE2＝BF2+CD2+EA2；然后根据圆的面积公式，可得S +S +S ＝S +S +S ，所以S
1 3 5 2 4 6 4
﹣S ＝（S ﹣S ）+（S ﹣S ）＝2+1＝3，据此解答即可．
3 5 6 1 2【解答】解：如图， ，连接AP、BP、CP，
根据勾股定理，可得AP2＝AF2+FP2… ，BP2＝BF2+FP2… ，
﹣ ，可得AP2﹣BP2＝AF2﹣BF2…① ， ②
①同理，②可得BP2﹣CP2＝BD2﹣CD2… ③，
同理，可得CP2﹣AP2＝CE2﹣EA2…④，
+ + ，可得AF2+BD2+CE2＝BF⑤ 2+CD2+EA2，
③ 所以 ④ ⑤ （AF2+BD2+CE2）＝ ×（BF2+CD2+EA2），
因此S +S +S ＝S +S +S ，
1 3 5 2 4 6
所以S ﹣S
4 3
＝（S ﹣S ）+（S ﹣S ）
5 6 1 2
＝2+1
＝3
故答案为：3．
二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）
4．（10分）扑克牌中的J，Q，K分别看成11，12，13点，从1到13点的13张扑克牌中至多挑
出几张牌，使得没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？
【分析】首先得到从1到13点的13张扑克牌中有1～12的差，进一步得到出现2a ＝a +a
n m l
（m＞n＞l）至少有5组，相当于从21组中取出这5组，尚有16组，再根据抽屉原理即可求
解．
【解答】解：设至少挑出n张牌，但是{1，2，3，5，8，13}中没有2对牌，其中一对牌的点数之
和等于另一对牌的点数之和，所以n≥6，
若n＝7，所取的7张牌，从小到大排列为：{a ，a ，…，a }，任取2个a 和a ，
1 2 7 m n
设a ＞a ，
m n则 ＝21个在1～12的差，这些差中
（1）不可能出现a ﹣a ＝a ﹣a ，
m n k n
（2）若有a ﹣a ＝a ﹣a，即2a ＝a +a（m＞n＞l），
m n n l n m l
则不能有m ≠m，l ≠（l m ＞n＞l ），使得2a ＝a +a ，否则存在2对牌，其中一对牌的点
1 1 1 1 n m1 l1
数之和等于另一对牌的点数之和，
即对于同一个n，出现a ﹣a ＝a ﹣a 或2a ＝a +a（m＞n＞l）具有唯一性，
m n n l n m l
出现2a ＝a +a（m＞n＞l）至少有5组，相当于从21组中取出这5组，尚有16组，16个取
n m l
值在1～12的差，必有两个相同．
5．（10分）将1，2，3，…，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a ，a ，…，a ，其中a
1 2 37 1
＝37，a ＝1，并使得a +a +…+a 能被a 整除（k＝1，2，…，36），求a ＝？a ＝？
2 1 2 k k+1 3 37
【分析】显然这37个数的总和是a 的倍数，所以总和37×19是a 的倍数，由此求出a 的
37 37 37
值，对于a ，有38是a 的倍数，由此求出a 的值，解决问题．
3 3 3
【解答】解：这37个数的总和是a 的倍数，所以总和37×19是a 的倍数，所以a ＝19；
37 37 37
对于a ，a 可以整除a +a ＝37+1＝38，所以38是a 的倍数，所以a ＝2．
3 3 1 2 3 3
6．（10分）汽车队去往受灾群众安置点运送物资，每辆汽车载重量为10吨，若每个帐篷分配
1.5吨物资，则余下不足一车物资：若每个帐篷分配1.6吨物资，则尚差2车多的物资．问：
这个安置点最少有多少顶帐篷？
【分析】题目里两种分配案所用车辆和安置点的帐篷数是一样的．故分别设它们为X、Y，
根据题意列出相应的不等式组．在不等式组中先消元去掉Y，再求出所得关于X的不等式
的解集，在X解集内取整数值代入原不等式组，求得Y的解集即可．
【解答】解：设所用车为X辆，帐篷为Y顶．据题意得：
去掉Y得：
解得：30＜X＜61
因求最少帐篷，所以车辆也应是最少的．故车辆X从取整数31开始试起，直到找出适合所
列原不等式组Y的值．
把X＝31代入原不等式组，解得：
①故：Y无解．
把X＝32代入原不等式组解得：
②
故：Y最小值整数值为213
答：这个安置点最少有213顶帐篷．
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日期：2019/5/7 10:49:43；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
