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2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷
（一组一试）
一、填空题（共3小题，每题10分）
1．（10分）化简：1÷[a+1÷（b+ ）]÷ ﹣ ＝ ．
2．（10分）小兔和小龟同时从A地出发到森林游乐园，小兔1分钟向前跳36米，每跳3分钟
就原地玩耍，第1次玩耍0.5分钟，第2次玩耍1分钟，第3次玩耍1.5分钟，…，第k次玩
耍0.5k分钟，小龟途中从不休息和玩耍．已知小龟比小兔早到森林游乐园3分20秒，A地
到森林游乐园有2640米，则小龟1分钟爬行 米．
3．（10分）A、B、C、D用10、20、30、40四个数的一个排列代入，使得式 的值最大，
则A+2B+3C+4D的值为 ．
二、解答题（共3小题，每小题10分，写出解答过程）
4．（10分）长方形O O BA的宽AO ＝1厘米，分别以O 与O 为圆心，1厘米为半径画圆O
1 2 1 1 2 1
和圆O ，交线段O O 于点C和D，如图所示，则四边形ABCD的面积等于多少平方厘米？
2 1 2
5．（10分）对于十进制自然数n，S（n）表示n的数码和，三位数中满足S（a）＝S（2a）的数a有
多少个？
6．（10分）n张纸片，每张都写有不大于n的3个不同正整数，任意2张纸片恰有一个数是相
同的，求纸片上所有写的数的和．2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛
试卷（一组一试）
参考答案与试题解析
一、填空题（共3小题，每题10分）
1．（10分）化简：1÷[a+1÷（b+ ）]÷ ﹣ ＝ 1 ．
【分析】本题先把除法变成乘法，提取公因数，最后约分即可．
【解答】解：1÷[a+1÷（b+ ）]÷ ﹣
＝ ﹣
＝ ﹣
＝
＝
＝1；
故答案为：1．
2．（10分）小兔和小龟同时从A地出发到森林游乐园，小兔1分钟向前跳36米，每跳3分钟
就原地玩耍，第1次玩耍0.5分钟，第2次玩耍1分钟，第3次玩耍1.5分钟，…，第k次玩
耍0.5k分钟，小龟途中从不休息和玩耍．已知小龟比小兔早到森林游乐园3分20秒，A地
到森林游乐园有2640米，则小龟1分钟爬行 1 2 米．
【分析】首先分析兔子不休息时用时多少，再找出休息的次数，求出对应的时间做差即是
乌龟的时间．即可求解．
【解答】解：依题意可知：
小兔子不休息需要2640÷36＝73 ．
24×3＝72证明兔子休息了24次．
24次休息的时间成等差数列．0.5，1，…，12．
那么休息时间是0.5+1+1.5+2+…+12＝150（分钟）
兔子的总时间为：150+73+ ＝223 ．
乌龟的时间是223 ﹣3 ＝220（分）
乌龟的速度为：2640÷220＝12（米/分）
故答案为：12
3．（10分）A、B、C、D用10、20、30、40四个数的一个排列代入，使得式 的值最大，
则A+2B+3C+4D的值为 29 0 ．
【分析】先观察一下，分子为1，则分数的大小由分母决定，故分母要取最小值，分别讨论，
得出A，B，C，D的值
【解答】解：根据分析，要使得分数 最大，分母 要取最小值，
则A＝10，则A后面的分数 要最大，分母要最小，
则B＝20，B加的后面那个分数 要最小，分母要越大，故C＝40，D＝30
则A+2B+3C+4D＝10+2×20+3×40+4×30＝290
故答案为：290
二、解答题（共3小题，每小题10分，写出解答过程）
4．（10分）长方形O O BA的宽AO ＝1厘米，分别以O 与O 为圆心，1厘米为半径画圆O
1 2 1 1 2 1
和圆O ，交线段O O 于点C和D，如图所示，则四边形ABCD的面积等于多少平方厘米？
2 1 2【分析】按题意，可以过D作DE⊥AB于E，易知AE＝O D＝O C，△AED与△BCO 的面
1 2 2
积相等，可以得出，图中阴影部分的面积即等于正方形EBO D的面积，不难求得阴影部分
2
的面积．
【解答】解：根据分析，如图，过D作DE⊥AB于E，易知AE＝O D＝O C，△AED与
1 2
△BCO 的面积相等，
2
可以得出，图中阴影部分的面积即等于正方形EBO D的面积＝1×1＝1（平方厘米）．
2
故答案是：1
5．（10分）对于十进制自然数n，S（n）表示n的数码和，三位数中满足S（a）＝S（2a）的数a有
多少个？
【分析】根据进一减九数字谜规律，在做加法运算时，每进位一次，和的数字和比加数的数
字和减少9．比如35+8＝43，3+5+8＝16，4+3＝7，16﹣7＝9．进位两次数字和减少18，比
如67+44＝111，6+7+4+4＝21，1+1+1＝3，21﹣3＝18．同样的有三次进位数字和就会减少
27．因为S（a）＝S（2a）一定需要有进位才会满足条件，进位就会减少9，18或27．比如
108+108＝216，有一次进位数字和减少9两次就相等．要求的三位数一定是9的倍数．所
以相加没有进位的，或者是多进位的都是不满足条件的．
【解答】解：
解法一：以下用a表示满足条件的三位数．
0＝S（2a）﹣S（a）≡S（2a﹣a）≡S（a）（mod9），
所以a是9的倍数，是9的倍数的三位数有12×9，13×9，…111×9共计100个，
（1）数码5＞x≥y≥z≥0，且数字和为9的数组{x，y，z}＝{4，4，1}，{4，3，2}，{3，3，3}．数组{4，4，1}可以组成3个三位数，数组{4，3，2}可以组成6个数字，数组{3，3，3}可以组
成1个三位数．
这10个数不满足条件．
（2）设a＝100x+10y+z，x，y，z为数码，则2a＝100×2x+10×2y+2z．
若x，y，z中有一个不小于5时，例如y＞5则2y＝10+m，0≤m≤8．
2a＝100×（2x+1）+10×m+2z，S（2a）＝2x+1+m+2z＝2x+1+（2y﹣10）+2z＝2（x+y+z）﹣9＝2S
（a）﹣9，
完全一样可以证明，当x，y，z中有k（0≤k≤3）个数码大于5时，S（2a）＝S（a）﹣9k，
因此数码x≥5＞y≥z≥0，且其和为9的数组{x，y，z}所组成的三位数是满足条件的数．
数码和为9的三位数不可能有2个大于4的数码．
（3）三个数码和是18的三位数，至少有2个数码大于4，由上面的说明，三个数码个位18
的三位数恰好有2个数码大于4时这样的三位数满足条件，三个数码和为19，恰有3个数
码大于4的数组．
{x，y，z}，x≤y≤z．{x，y，z}＝{5，5，8}；{5，6，7}；{6，6，6}；
用数码{5，5，8}可组成3个数字，用数码{5，6，7}可组成6个三位数，
用数码{6，6，6}可组成1个三位数，共计10个，这10个三位数不满足条件
（4）三个数码和为27的三位数只有999，满足条件．
综上所述，这100个9的倍数的三位数中，有20个不满足条件，所以满足条件的三位数有
80个．
解法二：三位数中9的倍数每100个数中都有10个是9的倍数．从100﹣999共有100个
9的倍数．当S（a）＝9需要进位一次是满足条件，三位数字都是小于5的组合没有进位不
满足条件：
（2，3，4）组合共6个数字，（1，4，4）组合共3个数字，（3，3，3）共1个数字．
S（a）＝18时需要进位两次满足条件，三位数字都大于4的组合进位三次不满足条件：
（5，5，8）组合共3个数字，（5，6，7）组合共6个数字，（6，6，6）组合1个数字．
S（a）＝27时，999满足条件．
100个9的倍数中有20个不满足条件100﹣20＝80．
故答案为：80．
6．（10分）n张纸片，每张都写有不大于n的3个不同正整数，任意2张纸片恰有一个数是相
同的，求纸片上所有写的数的和．【分析】由题意，每个数字都是出现了3次，n≥2k+1＝7，再分析出n＝7，此时，7张牌上的
数字是1﹣7，各出现3次，数字和为84．
【解答】解：设a是出现最多的数字．一共有k张，则这k张纸片一共写有2k+1个不同的数
字，因为每个数都不大于n，所以2k+1≤n．因此，k＜n，所以，至少还有一张纸片没写上a．
这张没写a的纸片与前面 k 张纸片中任一张纸片都恰 有一个数相同，这些数字彼此不
同，而且这个数不是a．但是这张纸片上只有三个不同的数字，所以，k＝3．因此，n≥2k+1
＝7．
另外，n张纸片写有3n个数，同 一个数最多写 3 次，所以，1，2，…n 每个数都写了3次．
如果n＞7，三张写有1的纸片上有7个不同的数，由于 n＞7，所以，还有一 个数不出现
在这三张纸片上，记为 b．
写有b的纸片上有3个数，这张纸片与写有a的三张纸片的每一张恰有一个相同的数字，
这个数字不是 1，也不是b．但是写有b的纸片上，除了b外，还只有2个数字，不可能与
写有1的三张纸片每张都有一个相同的数字．所以n＝7． 每个数恰在三张纸片上出现，
所有写的数的和为3×（1+2+…+7）＝3×28＝84．
下面是一个实例：1，2，3；1，4，5；1，6，7；2，4，6；2，5，7；3，4，7；3，5，6．
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日期：2019/5/7 10:49:07；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
