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2011 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）
一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）
1．（8分）定义一种新运算a☆b满足：a☆b＝b×10+a×2，那么2011☆130＝ ．
2．（8分）从1999年到2010年的12年中，物价涨幅为150%（即1999年用100元能购买的物
品，2010年要比原来多花150元才能购买）．若某个企业的一线员工这12年来工资都没有
变，按购买力计算，相当于工资下降了 %．
3．（8分）如图中大圆的半径是20厘米，7个小圆的半径都是10厘米．那么阴影图形的面积
是 平方厘米（ 取3.14）．
π
4．（8分）某届“数学解题能力展示”读者评选活动初试共有12000名学生参加，分为初中、
小学高年级、小学中年级三个组别、小学的两个组共占总人数的 ，不是小学高年级组的
占总人数的 ．那么小学中年级组参赛人数为 人．
5．（8分）如图是一个除法竖式，这个除法竖式的被除数是多少？
二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）
6．（10分）算式1!×3﹣2!×4+3!×5﹣4!×6+…+2009!×2011﹣2010!×2012+2011!的计算结果是
．
7．（10分）春节临近．从2011年1月17日（星期一）起工厂里的工人陆续回家过年，与家人团
聚．若每天离厂的工人人数相同，到1月31日，厂里还剩下工人121名，在这15天期间，
统计工厂工人的工作量是2011个工作日（一人工作一天为1个工作日，工人离厂当天及
以后不需要统计），其中周六、日休息，且无人缺勤，那么截止到1月31日，回家过年的工
第1页（共10页）人共有 人．
8．（10分）有一个整数，它恰好是它的约数个数的2011倍，这个整数的最小值是 ．
9．（10分）一个新建5层楼房的一个单元每层有东西2套房：各层房号如图所示，现已有赵、
钱、孙、李、周五家入住，一天他们5人在花园中聊天：
赵说：“我家是第3个入住的，第1个入住的就住我对门．”
钱说：“只有我一家住在最高层．”
孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．”
李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．”
周说：“我家住在106号，104号空着，108号也空着．”
他们说的话全是真话，设第1、2、3、4、5家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那
么五位数 ＝ ．
10．（10分）6支足球队，每两队间至多比赛一场如果每队恰好比赛了2场，那么符合条件的
比赛安排共有 种．
三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）
11．（12分）0～9可以组成两个五位数A和B，如果A+B的和是一个末五位数字相同的六位
数，那么A×B的不同取值共有 个．
12．（12分）甲乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B往返行走；甲出发的同时，丙也从A
出发去B．当甲乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有100米才到C；当丙走到C时，甲
又往前走了108米；当丙到B时，甲乙正好第二次迎面相遇．那么A、B两地间的路程是多
少米？
13．（12分）如图，大正方形被分成了面积相等的五块．若AB长为3.6厘米，则大正方形的面
积为 平方厘米．
第2页（共10页）14．（12分）用36个3×2×1的实心小长方体拼成一个6×6×6的大正方体，在各种拼法中，从
大正方体外的某一点看过去最多能看到 个小长方体．
15．（12分）平面中有15个红点，在这些红点间连一些线段，一个红点连出了几条线段，就在
这个红点上标几．已知所有标有相同数的红点之间互不连线，那么这15个红点间最多连
了 条线段．
第3页（共10页）2011 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）
参考答案与试题解析
一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）
1．（8分）定义一种新运算a☆b满足：a☆b＝b×10+a×2，那么2011☆130＝ 532 2 ．
【解答】解：根据分析可得，
2011☆130
＝130×10+2011×2
＝1300+4022
＝5322；
故答案为：5322．
2．（8分）从1999年到2010年的12年中，物价涨幅为150%（即1999年用100元能购买的物
品，2010年要比原来多花150元才能购买）．若某个企业的一线员工这12年来工资都没有
变，按购买力计算，相当于工资下降了 6 0 %．
【解答】解：100+100×150%
＝100+150
＝250（元）
1﹣100÷250
＝1﹣40%
＝60%
答：按购买力计算，相当于工资下降了 60%．
故答案为：60．
3．（8分）如图中大圆的半径是20厘米，7个小圆的半径都是10厘米．那么阴影图形的面积
是 94 2 平方厘米（ 取3.14）．
π
【解答】解：观察图象可知阴影部分的面积＝7个小圆面积﹣一个大圆面积
＝7• •102﹣ •202
π π 第4页（共10页）＝300
＝942π，
故答案为：942．
4．（8分）某届“数学解题能力展示”读者评选活动初试共有12000名学生参加，分为初中、
小学高年级、小学中年级三个组别、小学的两个组共占总人数的 ，不是小学高年级组的
占总人数的 ．那么小学中年级组参赛人数为 525 0 人．
【解答】解：1﹣ ＝ ，
﹣ ＝ ，
12000× ＝5250（人）；
答：小学中年级组参赛人数为 5250人．
故答案为：5250．
5．（8分）如图是一个除法竖式，这个除法竖式的被除数是多少？
【解答】解：由题意，除数的两个倍数分别是2□□和91□，
如果2□□是除数的2倍，根据余数为130，除数为131以上，149以下，这样91□只能是
除数的7倍，131×7＝917，那么第三个被除数为91□或81□，它等于除数的某个倍数减
1，只能是7倍减1，即916，被除数等于131×277﹣1＝36286，经检验符合题意；
如果2□□是除数的1倍，则91□是除数的4倍，可能是912或916，除数可能是228或
229，第三个被除数为91□或81□，除以除数之后余数为130，可能是228×3+130＝814或
229×3+130＝817，被除数相应为228×143+130＝32734或229×143+130＝32877，但无论哪
种，第一个差都是两位数，所以不符合题意．
综上所述，被除数等于36286，除数为131，商为276．
二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）
第5页（共10页）6．（10分）算式1!×3﹣2!×4+3!×5﹣4!×6+…+2009!×2011﹣2010!×2012+2011!的计算结果是
1 ．
【解答】解：分组找规律：
2009!×2011﹣2010!×2012+2011!
＝2009!（2011﹣2010×2012+2010×2011）
＝2009!
那么2007!×2009﹣2008!×2010+2009!
＝2007!（2009﹣2008×2010+2008×2009）
＝2007!
由奇数项向前裂变抵消规律得
原式＝2009!×2011﹣2010!×2012+2011!+…+5!×7﹣4!×6+3!×5﹣2!×4+1!×3
＝1!
＝1
故答案为：1
7．（10分）春节临近．从2011年1月17日（星期一）起工厂里的工人陆续回家过年，与家人团
聚．若每天离厂的工人人数相同，到1月31日，厂里还剩下工人121名，在这15天期间，
统计工厂工人的工作量是2011个工作日（一人工作一天为1个工作日，工人离厂当天及
以后不需要统计），其中周六、日休息，且无人缺勤，那么截止到1月31日，回家过年的工
人共有 12 0 人．
【解答】解：依题意可知：
设每天回家的人数为x人，则15天共走15x人，
其中有2个周六周日共4天休息不工作．周末剩余人数为9x（周六），8x（周日），2x（周六）
x（周日）．
121×11+（3+4+5+6+7+10+11+12+13+14）x＝2011
∴x＝8，15x＝120（人）
故答案为：120
8．（10分）有一个整数，它恰好是它的约数个数的2011倍，这个整数的最小值是 1608 8 ．
【解答】解：用列举法
第6页（共10页）因为2011×8＝16088，
所以，满足条件的最小整数为16088，
故答案为16088．
9．（10分）一个新建5层楼房的一个单元每层有东西2套房：各层房号如图所示，现已有赵、
钱、孙、李、周五家入住，一天他们5人在花园中聊天：
赵说：“我家是第3个入住的，第1个入住的就住我对门．”
钱说：“只有我一家住在最高层．”
孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．”
李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．”
周说：“我家住在106号，104号空着，108号也空着．”
他们说的话全是真话，设第1、2、3、4、5家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那
么五位数 ＝ 6957 3 ．
【解答】解：根据分析，因为104和108都空着，而孙的楼上楼下都有人了，所以孙住在左
侧，
只有钱一家住在最高层，说明剩余4人住在101，102，103，105，106，107，里面的6家，
全空着的一层只能是第一层或第二层，这样才能使得孙和楼上楼下都有人．
如果全空着的是第一层，则李住在第二层的103，李氏最后入住的，所以孙住在107，
且105和109都在这之前有人住了，赵是第三个入住的，所以孙一定是第四个入住的，根
据钱的话，
钱住在109，有对门的是105和106，周住在106，所以赵住在105，而且周的第一个入住的，
故答案是：69573．
10．（10分）6支足球队，每两队间至多比赛一场如果每队恰好比赛了2场，那么符合条件的
比赛安排共有 7 0 种．
【解答】解：6支球队分2组每组3支，这3支球队间相互比赛：分组方法：（6×5×4）÷
（3×2×1）÷2＝10（选3支球队和剩3支球队重复，所以除2）；
6支球队围成圈，相邻的球队之间比赛：方法：5×4×3×2×1÷2＝60 （顺时针与逆时针重复，
所以除2），
第7页（共10页）所以符合条件的比赛安排共有10+60＝70种．
答：符合条件的比赛安排共有70种．
故答案为：70．
三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）
11．（12分）0～9可以组成两个五位数A和B，如果A+B的和是一个末五位数字相同的六位
数，那么A×B的不同取值共有 38 4 个．
【解答】解：依题意可知：
六位数字的首位一定是1，根据弃九法后5位都是7．所以这两个五位数的首位之和是17．
后四个数字和为7的数字两两配对．
把和为7的数字两两配对，首位是9的那个五位数有8×6×4×2＝384（种）．
根据不同情况下两个五位数的差不同，差小积大，这384个乘积也各不相同．
故答案为：384．
12．（12分）甲乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B往返行走；甲出发的同时，丙也从A
出发去B．当甲乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有100米才到C；当丙走到C时，甲
又往前走了108米；当丙到B时，甲乙正好第二次迎面相遇．那么A、B两地间的路程是多
少米？
【解答】解：甲从A走到C时，丙走了100÷ ＝1250（米），
AC的距离为1250× ＝1350（米），
甲乙速度之和是丙的速度的3倍，则乙的速度是丙的（3﹣ ）倍，
BC的距离为1250×（3﹣ ）＝2400（米），
所以AB的距离为1350+2400＝3750（米）
答：A、B两地间的路程是3750米．
13．（12分）如图，大正方形被分成了面积相等的五块．若AB长为3.6厘米，则大正方形的面
积为 115 6 平方厘米．
第8页（共10页）【解答】解：根据分析，设正方形边长为一个单位，如图，
因为正方形分成面积相等的五份，故每一份的面积都等于 ，故AG＝ ，D到FH的距离
＝C到EF的距离＝ ，
因为A到左边EG的距离等于A到上边EF的距离的 ，所以C到EG的距离也等于C到
EF的距离的 ，即 ；
C到FH的距离为1﹣ ＝ ，类似，D到右边FH的距离为 ，因为C到EF的距离：C
到右边FH的距离＝ ＝10：21，
故D到EF的距离也等于D到FH的距离的 ，即： × ＝ ，故D到GH的距离＝1
﹣ ＝ ；
又三角形BDH的面积＝ ，故BH＝ ＝ ，AB＝1﹣ ﹣ ＝ ，即3.6厘
米，故正方形的边长＝3.6÷ ＝34（厘米），
正方形的面积＝34×34＝1156平方厘米．
故答案是：1156．
14．（12分）用36个3×2×1的实心小长方体拼成一个6×6×6的大正方体，在各种拼法中，从
大正方体外的某一点看过去最多能看到 3 1 个小长方体．
【解答】解：如图，
第9页（共10页）为了从外面看到的个数最多，需要使外面看到的长方形尽可能“深入”正方形里面，
结果如下：共6×3+3×4+3×1+1＝31（个）．
故答案为：31．
15．（12分）平面中有15个红点，在这些红点间连一些线段，一个红点连出了几条线段，就在
这个红点上标几．已知所有标有相同数的红点之间互不连线，那么这15个红点间最多连
了 8 5 条线段．
【解答】解：将15个点分为5组，每组分别有1，2，3，4，5个点，
（1×14+2×13+3×12+4×11+5×10）÷2
＝170÷2
＝85（条）
答：这15个红点间最多连了85条线段．
故答案为：85．
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日期：2019/5/5 18:07:44；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
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