《计算》公式类山顶数公式-3星题（含详解）全国通用版_小学数学母题大全一二三四五六年级上下册一题多解题母题解_《公式类计算》（含详解）

计算-公式类计算-山顶数公式-3 星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 山顶数公式 A 1.熟悉山顶数公式 少考 2.能够将一些式子变形后再利用山 顶数公式进行计算。 知识提要 山顶数公式  公式 1+2+3+⋯+(n-1)+n+(n-1)+⋯+3+2+1=n2 精选例题 山顶数公式 1. 1+2+⋯⋯+8+9+10+9+8+⋯⋯+2+1= ． 【答案】 100 【分析】 1+2+3+⋯+n+⋯+3+2+1=n×n，所以原式 =10×10=100 2. 计算：⑴ 1+2+3+⋯+2013+2014= ． ⑵ 1+2+3+⋯+2013+2014+2013+⋯+3+2+1= ． ⑶ 1+3+5+7+⋯+2013= ． 【答案】 ⑴ 2029105；⑵ 4056196；⑶ 1014049 【分析】 ⑴ 1+2+3+⋯+2013+2014 2014×2015÷2¿=¿2029105;¿ ¿ ⑵ 1+2+3+⋯+2013+2014+2013+⋯+3+2+1 20142=4056196;¿ ¿⑶ (2013-1)÷2+1=1007（个）数，1+3+5+7+⋯+2013=10072=1014049． (22+42+62+⋯+1002 )-(12+32+52+⋯+992 ) 3. 计算： = ． 1+2+3+⋯+10+9+⋯+2+1 【答案】 50.5 【分析】 22-12+42-32+62-52+⋯+1002-992 原式 = 1+2+3+⋯+10+9+⋯+2+1 ¿ =50.5 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 4. = ． 3333×6666+4444×8888 2 【答案】 1234321 【分析】 102 原式 = 11112×18+11112×32 2 ¿ = 1234321 5. (1+2+3+…+2007+2008+2007+…+3+2+1)÷2008= 【答案】 2008 【分析】 观察原式可知，1、2、3⋯2007 分别可与 2007、2006、2005⋯1 组成 2008，于是括号中有 2008 个 2008，故原式结果为 2008． 6. 计算： （1）1+2+3+4+5+⋯+20+⋯+5+4+3+2+1； （2）1+2+3+⋯+44+45+44+⋯+3+2+1； （3）2+4+6+⋯+18+⋯+6+4+2； （4）2+4+6+⋯+22+⋯+6+4+2； （5）21+22+23+⋯+50+⋯+23+22+21． 【答案】 （1）400；（2）2025；（3）162；（4）242；（5）2080【分析】 （1） 1+2+3+4+5+⋯+20+⋯+5+4+3+2+1 20×20¿=¿400;¿ ¿ （2） 1+2+3+⋯+45+⋯+3+2+1 45×45¿=¿2025;¿ ¿ （3） 2+4+6+⋯+18+⋯+6+4+2 2×(1+2+3+⋯+9+⋯+3+2+1)¿=¿2×9×9¿=¿162;¿ ¿ （4） 2+4+6+⋯+22+⋯+6+4+2 2×(1+2+3+⋯+11+⋯+3+2+1)¿=¿2×11×11¿=¿242;¿ ¿ （5） 21+22+23+⋯+50+⋯+23+22+21 (1+2+3+⋯+50+⋯+3+2+1)-(1+2+3⋯+20+⋯+3+2+1)-20¿=¿502-202-20¿=¿2500-400-20¿=¿2080.¿ ¿ 7. 计算： （1）111111×111111; （2）11111111×11111111; （3）1+2+3+⋯+8+9+10+9+8+⋯+3+2+1; （4）1+2+3+⋯+28+29+30+29+28+⋯+3+2+1; （5）111111×999999; （6）11111111×99999999. 【答案】 （1）12345654321；（2）123456787654321；（3）100；（4）900； （5）111110888889；（6）1111111088888889； 【分析】 （1）12345654321; （2）123456787654321; （3）10×10=100; （4）30×30=900; （5）111111×999999=111110888889; （6）11111111×99999999=1111111088888889. 8. 计算：1+2+3+⋯+2013+2014+2013+⋯+3+2+1= ． 【答案】 4056196． 【分析】 根据公式：1+2+3+…+(n－1)+n+(n－1)+…+3+2+1＝n×n＝n2， 原式=2014×2014=4056196．9. 已知 (1+2+3+4+5+4+3+2+1)×(123454321)=x2，求 x 的值． 【答案】 55555 【分析】 因为 1+2+3+4+5+4+3+2+1=52，123454321=111112， x2=52×111112=(5×11111) 2=555552，所以 x=55555． 10. 计算： （1）1+2+3+4+5+⋯+11+⋯+5+4+3+2+1；1+2+3+⋯+100+⋯+3+2+1； （2）2+4+6+8+⋯+100+⋯+8+6+4+2； （3）51+52+⋯+100+⋯+52+51． 【答案】 （1）121；10000；（2）5000；（3）7450 【分析】 （1）观察算式发现是山顶和公式． 原式=11×11=121; 原式=100×100=10000; （2）观察算式发现这个算式不符合山顶和，但是能不能变成山顶和呢，可以提取公因数 2， 所以可以变成 2×(1+2+3+⋯+50+⋯+3+2+1)． 原式 =2×(1+2+3+⋯+50+⋯+3+2+1) ¿ =5000; （3）观察算式发现这个算式不能直接用山顶和公式，但是可以用借来还去的思想变成山顶和 公式． 原式= (1+2+3⋯+100+⋯+3+2+1)- 1002-502-50¿=¿10000-2500-50¿=¿7450.¿ ¿ ¿ 11. 计算： （1）111111111×111111111； （2）1+2+3+⋯+98+99+100+99+98+⋯+3+2+1． 【答案】 （1）12345678987654321；（2）10000 【分析】 （1）观察算式发现是连续的 9 个 1 相乘，观察下面算式的特点，然后再 归纳，这样计算比较简便． 1×1=1,11×11=121, 111×111=12321, 1111×1111=1234321, 11111×11111=123454321, ⋯ 111111111×111111111=12345678987654321. （2）观察算式发现左边是自然数等差数列右边是自然数等差数，我们可以把这样的数列起名 为金字塔数列．可以用等差数列公式，但是我们可以从简单入手再来观察该题．这样计算比较 简便． 1+2+1=2×2=4, 1+2+3+2+1=3×3=9, 1+2+3+4+3+2+1=4×4=16, 1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5=25, ⋯ 1+2+3+⋯+98+99+100+99+98+⋯+3+2+1 100×100¿=¿10000.¿ ¿ 12. 计算： （1）1+3+5+7+9+11+13+15； （2）39+34+31+⋯+3+1； （3）1+2+3+4+5+⋯+100+99+98+⋯+3+2+1； （4）1+2+3+4+5+⋯+50+49+48+⋯+6+5． 【答案】 （1）64；（2）400；（3）10000；（4）2490 【分析】 （1）方法一、利用高斯求和，可得 (1+15)×8÷2 =16×8÷2 ¿ ¿ 方法二、从 1 开始的连续奇数，和为项数的平方，即 8×8=64. （2）想要求和，需要知道项数，项数： (39-1)÷2+1 =38÷2+1 ¿ ¿ 方法一、利用高斯求和，可得 (39+1)×20÷2 =40×20÷2 ¿ =400. 方法二、从 1 开始的连续奇数，和为项数的平方，即 20×20=400.（3）方法一、利用高斯求和 1+2+3+4+5+⋯+100=5050, 99+98+⋯+3+2+1=5050-100=4950, 5050+4950=10000. 方法二、此数列从 1 连续上升，再连续下降到 1，为金字塔数列，金字塔数列和为 中间项×中间项，即 100×100=10000. （4）先补成金字塔数列，再减去补的数，即 50×50-(4+3+2+1)=2490. 13. 计算： 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1995 1 + + + + + + + + +⋯+ + +⋯+ +⋯+ . 1 2 2 2 3 3 3 3 3 1995 1995 1995 1995 【答案】 1991010 22 32 19952 原式 =1+ + +⋯+ 【分析】 2 3 1995 ¿ =1991010. 14. 计算： （1）1+3+5+7+9+⋯+41； （2）1+2+⋯+28+29+30+29+28+⋯+2+1． 【答案】 （1）441；（2）900 【分析】 （1）从 1 开始的连续奇数相加，“天下无双，项数平方”，所以先求出项 数， 项数： (41-1)÷2+1=21, 1+3+5+7+9+⋯+41 21×21¿=¿441;¿ ¿ （2）金字塔数列 ,和=中间数×中间数，1+2+⋯+28+29+30+29+28+⋯+2+1 30×30¿=¿900.¿ ¿ 15. 观察下面的几个算式： 1+2+1=4,1+2+3+2+1=9,1+2+3+4+3+2+1=16,1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 ⋯ 根据你所发现的规律，请直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1= ． 【答案】 10000 1+2+1=4=2×2, 1+2+3+2+1=9=3×3, 【分析】 1+2+3+4+3+2+1=16=4×4, 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5, 即左边数列的和是中间最大数的平方，所以： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=100×100=10000 16. 计算： （1）1+2+3+4+⋯49+50+49+48+⋯+6+5； （2）1+3+5+7+9+⋯+999． 【答案】 （1）2490；（2）250000 【分析】 （1）1 连续上升到 50 再连续下降到 1，为金字塔数列， 和=中间数×中间数，此题少 (4+3+2+1)，可以先补后减， 1+2+3+4+⋯49+50+49+48+⋯+6+5 50×50-(4+3+2+1)¿=¿2500-10¿=¿2490;¿ ¿ （2）从 1 开始的连续奇数，和=项数×项数，所以先求项数，再求和， 项数： (999-1)÷2+1 998÷2+1¿=¿500,¿ ¿ 1+3+5+7+9+⋯+999 500×500¿=¿250000.¿ ¿ 17. 计算： （1）1+3+5+7+9+⋯+139； （2）1+2+3+4+⋯+19+20+19+⋯+7+6．【答案】 （1）4900；（2）385 【分析】 （1）项数： (139-1)÷2+1 138÷2+1¿=¿70(项),¿ ¿ 和： 70×70=4900. （2）先补成金字塔数列，然后减去补的数 20×20-(5+4+3+2+1) 400-15¿=¿385.¿ ¿