文档内容
计算-公式类计算-山顶数公式-4 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
山顶数公式 A 1.熟悉山顶数公式 少考
2.能够将一些式子变形后再利用山
顶数公式进行计算。
知识提要
山顶数公式
公式
1+2+3+⋯+(n-1)+n+(n-1)+⋯+3+2+1=n2
精选例题
山顶数公式
1. 1+2+⋯⋯+8+9+10+9+8+⋯⋯+2+1= ．
【答案】 100
【分析】 1+2+3+⋯+n+⋯+3+2+1=n×n，所以原式 =10×10=100
2. 计算：
（1）111111×111111;
（2）11111111×11111111;
（3）1+2+3+⋯+8+9+10+9+8+⋯+3+2+1;
（4）1+2+3+⋯+28+29+30+29+28+⋯+3+2+1;
（5）111111×999999;
（6）11111111×99999999.
【答案】 （1）12345654321；（2）123456787654321；（3）100；（4）900；
（5）111110888889；（6）1111111088888889；【分析】 （1）12345654321;
（2）123456787654321;
（3）10×10=100;
（4）30×30=900;
（5）111111×999999=111110888889;
（6）11111111×99999999=1111111088888889.
3. 计算：
（1）111111111×111111111；
（2）1+2+3+⋯+98+99+100+99+98+⋯+3+2+1．
【答案】 （1）12345678987654321；（2）10000
【分析】 （1）观察算式发现是连续的 9 个 1 相乘，观察下面算式的特点，然后再
归纳，这样计算比较简便．
1×1=1,
11×11=121,
111×111=12321,
1111×1111=1234321,
11111×11111=123454321,
⋯
111111111×111111111=12345678987654321.
（2）观察算式发现左边是自然数等差数列右边是自然数等差数，我们可以把这样的数列起名
为金字塔数列．可以用等差数列公式，但是我们可以从简单入手再来观察该题．这样计算比较
简便．
1+2+1=2×2=4,
1+2+3+2+1=3×3=9,
1+2+3+4+3+2+1=4×4=16,
1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5=25,
⋯
1+2+3+⋯+98+99+100+99+98+⋯+3+2+1
100×100¿=¿10000.¿
¿
4. 计算：
（1）1+3+5+7+9+⋯+41；
（2）1+2+⋯+28+29+30+29+28+⋯+2+1．
【答案】 （1）441；（2）900
【分析】 （1）从 1 开始的连续奇数相加，“天下无双，项数平方”，所以先求出项
数，
项数：
(41-1)÷2+1=21,1+3+5+7+9+⋯+41
21×21¿=¿441;¿
¿
（2）金字塔数列 ,和=中间数×中间数，
1+2+⋯+28+29+30+29+28+⋯+2+1
30×30¿=¿900.¿
¿
5. 计算：
（1）1+2+3+4+5+⋯+20+⋯+5+4+3+2+1；
（2）1+2+3+⋯+44+45+44+⋯+3+2+1；
（3）2+4+6+⋯+18+⋯+6+4+2；
（4）2+4+6+⋯+22+⋯+6+4+2；
（5）21+22+23+⋯+50+⋯+23+22+21．
【答案】 （1）400；（2）2025；（3）162；（4）242；（5）2080
【分析】 （1）
1+2+3+4+5+⋯+20+⋯+5+4+3+2+1
20×20¿=¿400;¿
¿
（2）
1+2+3+⋯+45+⋯+3+2+1
45×45¿=¿2025;¿
¿
（3）
2+4+6+⋯+18+⋯+6+4+2
2×(1+2+3+⋯+9+⋯+3+2+1)¿=¿2×9×9¿=¿162;¿
¿
（4）
2+4+6+⋯+22+⋯+6+4+2
2×(1+2+3+⋯+11+⋯+3+2+1)¿=¿2×11×11¿=¿242;¿
¿
（5）
21+22+23+⋯+50+⋯+23+22+21
(1+2+3+⋯+50+⋯+3+2+1)-(1+2+3⋯+20+⋯+3+2+1)-20¿=¿502-202-20¿=¿2500-400-20¿=¿2080.¿
¿
6. 计算：
1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1995 1
+ + + + + + + + +⋯+ + +⋯+ +⋯+ .
1 2 2 2 3 3 3 3 3 1995 1995 1995 1995
【答案】 199101022 32 19952
原式 =1+ + +⋯+
【分析】 2 3 1995
¿ =1991010.
7. 计算：
（1）1+2+3+4+⋯49+50+49+48+⋯+6+5；
（2）1+3+5+7+9+⋯+999．
【答案】 （1）2490；（2）250000
【分析】 （1）1 连续上升到 50 再连续下降到 1，为金字塔数列，
和=中间数×中间数，此题少 (4+3+2+1)，可以先补后减，
1+2+3+4+⋯49+50+49+48+⋯+6+5
50×50-(4+3+2+1)¿=¿2500-10¿=¿2490;¿
¿
（2）从 1 开始的连续奇数，和=项数×项数，所以先求项数，再求和，
项数：
(999-1)÷2+1
998÷2+1¿=¿500,¿
¿
1+3+5+7+9+⋯+999
500×500¿=¿250000.¿
¿
8. (1+2+3+…+2007+2008+2007+…+3+2+1)÷2008=
【答案】 2008
【分析】 观察原式可知，1、2、3⋯2007 分别可与 2007、2006、2005⋯1 组成
2008，于是括号中有 2008 个 2008，故原式结果为 2008．
9. 计算：
（1）1+3+5+7+9+11+13+15；
（2）39+34+31+⋯+3+1；
（3）1+2+3+4+5+⋯+100+99+98+⋯+3+2+1；
（4）1+2+3+4+5+⋯+50+49+48+⋯+6+5．
【答案】 （1）64；（2）400；（3）10000；（4）2490
【分析】 （1）方法一、利用高斯求和，可得(1+15)×8÷2 =16×8÷2
¿ ¿
方法二、从 1 开始的连续奇数，和为项数的平方，即
8×8=64.
（2）想要求和，需要知道项数，项数：
(39-1)÷2+1 =38÷2+1
¿ ¿
方法一、利用高斯求和，可得
(39+1)×20÷2 =40×20÷2
¿ =400.
方法二、从 1 开始的连续奇数，和为项数的平方，即
20×20=400.
（3）方法一、利用高斯求和
1+2+3+4+5+⋯+100=5050,
99+98+⋯+3+2+1=5050-100=4950,
5050+4950=10000.
方法二、此数列从 1 连续上升，再连续下降到 1，为金字塔数列，金字塔数列和为
中间项×中间项，即
100×100=10000.
（4）先补成金字塔数列，再减去补的数，即
50×50-(4+3+2+1)=2490.
