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专练 52 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
授课提示：对应学生用书109页
[基础强化]
一、选择题
1．设随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P p
则p为( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：由分布列的性质可知＋＋＋p＝1.
∴p＝.
2．随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)等于( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，由分布列的性质可知a＋b＋c＝1，∴b＝，
∴P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)＝1－＝.
3．已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝，P(X＝a)＝，E(X)＝，则D(2X－1)＝( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：由题意知：1×＋a×＝，∴a＝2.
∴D(2X－1)＝4D(X)＝4[(1－)2×＋(2－)2×]＝.故选B.
4．设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则P等于( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：由题意知，分布列为
ξ 1
P a 2a 3a 4a 5a
由分布列的性质可得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝.
所以P＝P＋P＋P＝＋＋＝，故选C.
5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝m，k＝1，2，3，则m的值是( )
A. B．
C. D．
答案：B
解析：由题意得，m＝1，∴m＝.6．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0
表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X的分布列为( )
答案：A
解析：由题可知P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.
7．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：由分布列的性质可知，＋＋＝＝1，得a＝3，P(X＝2)＝＝.
8．节日期间，某种鲜花进货价是每束25元，销售价为每束50元；节日卖不出去的鲜
花以每束16元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从
如表所示的分布：
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
若购进这种鲜花500束，则利润的均值为( )
A.7 060元 B．6 900元
C.7 540元 D．7 200元
答案：A
解析：E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340，∴利润为(340×50
＋160×16)－500×25＝7 060.故选A.
9．[2024·山东潍坊模拟]已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成
功，则停止发球，否则一直发到三次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1)，
发球次数为X.若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围为( )
A. B．
C. D．
答案：A
解析：由题可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－
p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，解得p>或p<.
由p∈(0，1)，得p∈.故选A.
二、填空题
10．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X 0 1
P 9C2－C 3－8C
则常数C＝________．答案：
解析：由9C2－C＋3－8C＝1，得C＝或C＝，
又当C＝时，9C2－C＝9×－>1，不合题意，当C＝时符合题意．∴C＝.
11．设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝________．
答案：
解析：由分布列的性质知＋m＋＋＝1，得m＝.
P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝＋＝.
12．[2024·山东德州模拟]随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，
则E(X)＝________．
答案：1
解析：∵随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，
∴设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝0.8－a，0≤a≤0.8.
则E(X)＝0×0.2＋a＋2(0.8－a)＝1.6－a.
又D(X)＝(a－1.6)2×0.2＋(a－0.6)2a＋(a＋0.4)2(0.8－a)＝0.4，
整理得a2－0.2a－0.24＝0，解得a＝0.6或a＝－0.4(舍)，
∴E(X)＝1.6－0.6＝1.
[能力提升]
13．设0<a<1.随机变量X的分布列是
X 0 a 1
P
则当a在(0，1)内增大时( )
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
答案：D
解析：由题意可得，E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝，所以当a在(0，1)内增大时，
D(X)先减小后增大．故选D.
14．(多选)[2024·山东聊城模拟]随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P a
其中ab≠0，则下列说法正确的是( )
A.a＋b＝1
B.E(ξ)＝
C.D(ξ)随b的增大而减小
D.D(ξ)有最大值
答案：ABD
解析：根据分布列的性质得a＋＋＝1，即a＋b＝1，故A正确；根据数学期望公式得
E(ξ)＝0×a＋1×＋2×＝，故B正确；根据方差公式得D(ξ)＝×a＋×＋×＝－b2＋b＝－＋，
因为0<b<1，所以当b＝时，D(ξ)取得最大值，故C不正确，D正确．故选ABD.15．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量 X，Y，其分布列
分别为：
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
答案：乙
解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，
E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.
因为E(Y)<E(X)，所以乙技术好．
16．设随机变量ξ的分布列如表所示，
ξ 1 2 3 4 5 6
P a a a a a a
1 2 3 4 5 6
其中a，a，…，a 构成等差数列，则a·a 的最大值为________．
1 2 6 1 6
答案：
解析：方法一 因为a ，a ，…，a 构成等差数列，且a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝1，所
1 2 6 1 2 3 4 5 6
以a＋a＝a＋a＝a＋a＝，即a＝－a，
1 6 2 5 3 4 6 1
a∈[0，]，所以a·a ＝a(－a)＝－a＋a＝－(a －)2＋，a∈[0，]，所以当a＝时，a·a
1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 6
取得最大值.
方法二 因为a ，a ，a ，a ，a ，a 成等差数列，且a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝1，所以
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
a ＋a ＝a ＋a ＝a ＋a ＝，且a ，a≥0，所以aa≤()2＝，当且仅当a ＝a ＝时取等号，所
1 6 2 5 3 4 1 6 1 6 1 6
以aa 的最大值为.
1 6
