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专练 52 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
授课提示：对应学生用书109页
[基础强化]
一、选择题
1．设随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P p
则p为( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：由分布列的性质可知＋＋＋p＝1.
∴p＝.
2．随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)等于( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，由分布列的性质可知a＋b＋c＝1，∴b＝，
∴P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)＝1－＝.
3．已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝，P(X＝a)＝，E(X)＝，则D(2X－1)＝( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：由题意知：1×＋a×＝，∴a＝2.
∴D(2X－1)＝4D(X)＝4[(1－)2×＋(2－)2×]＝.故选B.
4．设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则P等于( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：由题意知，分布列为
ξ 1
P a 2a 3a 4a 5a
由分布列的性质可得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝.
所以P＝P＋P＋P＝＋＋＝，故选C.
5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝m，k＝1，2，3，则m的值是( )
A. B．
C. D．
答案：B
解析：由题意得，m＝1，∴m＝.6．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0
表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X的分布列为( )
答案：A
解析：由题可知P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.
7．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：由分布列的性质可知，＋＋＝＝1，得a＝3，P(X＝2)＝＝.
8．节日期间，某种鲜花进货价是每束25元，销售价为每束50元；节日卖不出去的鲜
花以每束16元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从
如表所示的分布：
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
若购进这种鲜花500束，则利润的均值为( )
A.7 060元 B．6 900元
C.7 540元 D．7 200元
答案：A
解析：E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340，∴利润为(340×50
＋160×16)－500×25＝7 060.故选A.
9．[2024·山东潍坊模拟]已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成
功，则停止发球，否则一直发到三次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(01.75，则p的取值范围为( )
A. B．
C. D．
答案：A
解析：由题可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－
p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，解得p>或p<.
由p∈(0，1)，得p∈.故选A.
二、填空题
10．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X 0 1
P 9C2－C 3－8C
则常数C＝________．答案：
解析：由9C2－C＋3－8C＝1，得C＝或C＝，
又当C＝时，9C2－C＝9×－>1，不合题意，当C＝时符合题意．∴C＝.
11．设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝________．
答案：
解析：由分布列的性质知＋m＋＋＝1，得m＝.
P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝＋＝.
12．[2024·山东德州模拟]随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，
则E(X)＝________．
答案：1
解析：∵随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，
∴设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝0.8－a，0≤a≤0.8.
则E(X)＝0×0.2＋a＋2(0.8－a)＝1.6－a.
又D(X)＝(a－1.6)2×0.2＋(a－0.6)2a＋(a＋0.4)2(0.8－a)＝0.4，
整理得a2－0.2a－0.24＝0，解得a＝0.6或a＝－0.4(舍)，
∴E(X)＝1.6－0.6＝1.
[能力提升]
13．设0
