文档内容
§4.8 解三角形及其应用举例
考试要求 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关
的实际问题.2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题．
知识梳理
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面
内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的
仰角与俯角
叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯
角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方
方位角 向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围
是0°≤θ<360°
例：(1)北偏东α：
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，
方向角
通常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西α：
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡
坡角与坡比 角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比
(坡度)，即i＝＝tan θ
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)东南方向与南偏东45°方向相同．( √ )
(2)若△ABC为锐角三角形且A＝，则角B的取值范围是.( × )
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ×
)(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.( × )
教材改编题
1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B
两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.
就可以计算出A，B两点的距离为( )
A．20 m B．30 m
C．40 m D．50 m
答案 D
解析 由三角形内角和定理，
可知∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，
由正弦定理得＝
⇒＝⇒AB＝50.
2．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为
30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为________ m.
答案 30＋10
解析 如图所示，依题意∠ACE＝30°，
∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30，
由＝，得AE＝10，
所以AB＝(30＋10) m.
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的
面积最大值为________．
答案
解析 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴4＝b2＋c2－bc，
∴bc＋4＝b2＋c2≥2bc，即bc≤4(当且仅当b＝c时取“＝”)，
∴S ＝bcsin A＝bc≤，
△ABC
∴△ABC的面积最大值为.
题型一 解三角形的应用举例
命题点1 距离问题
例1 (1)(2022·天津模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为
75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(－1) m
答案 C
解析 从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，气球的高度是60
m，
所以∠ABC＝105°，∠ACB＝30°，∠CAB＝45°，
所以AB＝，
由正弦定理可得＝，
所以BC＝＝
＝120(－1)．
(2)(2022·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘
密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口
径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝
∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．
答案 80
解析 由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，
得BC＝＝
＝160sin 15°
＝40(－)．
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1
600×16＋1 600×4
＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80，
故图中海洋蓝洞的口径为80.
命题点2 高度问题
例2 (1)(2022·重庆沙坪坝质检)在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在
坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第
一排和最后一排的距离为9米(如图所示)，则旗杆的高度为( )
A．9米 B．27米
C．9米 D．9米
答案 B
解析 依题意可知∠AEC＝45°，
∠CAE＝180°－60°－15°＝105°，
∴∠ACE＝180°－45°－105°＝30°，
由正弦定理可知＝，
∴AC＝·sin∠AEC＝18(米)，
∴在Rt△ABC中，
BC＝AC·sin∠CAB＝18×＝27(米)．
(2)(2022·河南豫南九校联盟联考)如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物AB的高度，在
此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距 10米的C，D两个观测点，
并在C，D两点处测得建筑物顶部的仰角分别为 45°和60°，且∠BDC＝60°，则此建筑物的
高度为( )A．10米 B．5米
C．10米 D．5米
答案 B
解析 设AB＝x，则BC＝x，BD＝x，
在△BCD中，由余弦定理可得
BC2＝BD2＋DC2－2BD·DCcos∠BDC，
即x2＝x2＋100－2×x×10×，
整理得x2＋5x－150＝0，
解得x＝5或x＝－10(舍)．
命题点3 角度问题
例3 (1)(2022·合肥检测)两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏
东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
答案 B
解析 由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图，B正确．
(2)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为
15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对
于地平面的坡角为θ，则cos θ等于( )A. B.－2
C.－1 D.－1
答案 C
解析 由题知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，
所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
又AB＝100 m，所以AC＝100 m.
在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50 m，
由正弦定理得＝，
所以cos θ＝sin(θ＋90°)＝
＝－1.
教师备选
1．(2022·长沙模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线
航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东
70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
答案 A
解析 如图所示，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里)．
2．圣·索菲亚教堂(英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建
于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有 114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996
年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照
打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从
任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测
得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30°，则小
明估算索菲亚教堂的高度为( )
A．20 m B．30 m
C．20 m D．30 m
答案 D
解析 由题意知∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，
所以∠ACM＝30°，
在Rt△ABM中，AM＝＝，
在△ACM中，由正弦定理得＝，
所以CM＝＝，
在Rt△DCM中，
CD＝CM·sin 60°＝
＝＝30(m)．
思维升华 解三角形的应用问题的要点
(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．
跟踪训练1 (1)如图所示，为了测量A，B两岛屿的距离，小明在D处观测到A，B分别在
D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正
北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两岛屿的距离为________海里．答案 5
解析 由题意知∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，
∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，
在△ACD中，由正弦定理得＝，
所以AD＝＝＝5，
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
所以△BCD为等腰直角三角形，
则BD＝CD＝10，在△ABD中，由余弦定理可得AB＝
＝5(海里)．
(2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A处时测得公路北侧一山顶D在西
偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为
30°，则此山的高度CD＝________ m.
答案 100
解析 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，
故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，
故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，
CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．
题型二 解三角形中的最值和范围问题
例4 (2022·辽宁实验中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已
知bsin C＋ccos B＝a.
(1)若a＝2，b＝，求△ABC的面积；
(2)若c＝2，求△ABC周长的取值范围．
解 (1)∵bsin C＋ccos B＝a，
∴sin Bsin C＋sin Ccos B＝sin A，
∴sin Bsin C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，
∴sin Bsin C＋sin Ccos B
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，∴sin Bsin C＝sin Bcos C，
∵sin B≠0，∴sin C＝cos C，
又易知cos C≠0，
∴tan C＝，
∵0c＝2，
∴20，
又因为sin2B＋cos2B＝1，解得cos B＝.
(2)由a＋c＝2，可得c＝2－a，
由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac
＝a2＋(2－a)2－a(2－a)
＝(a－1)2＋，
因为00，∴>0，
∴c<，
若b边为最大边，则cos B>0，
∴>0，∴c>，
∴
