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2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义
专题26 容斥原理
知识精讲
专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数
部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如
图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N＋N－N 。
a b ab
Nab
Na Nb
典例分析
【典例分析01】一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有
37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数
学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析 完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多
于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一
次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、
数作业都完成的有：79－48=31人。
【典例分析02】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有
23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第
一题的有25－15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对
第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36－33=3人。【典例分析03】某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两
科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：
56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
【典例分析04】在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然
数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍
数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此，是6或5
的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－
33=67个。
【典例分析05】光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作
品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有
10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？
分析与解答：由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22
幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两
个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的 10幅作品，即
得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以 2，即可求出其他年级参展作品的
总数。（24＋22－10）÷2=18幅。
真题百分练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•徽县期末）三年级同学参加跳绳比赛（如图），参加这两个项目的
一共有多少人？下面解答正确的是（ ）
A．25+42 B．25+42+6 C．25+42﹣6
【思路点拨】参加并脚跳的人数+参加双人跳的人数﹣两项都参加的人数＝总人数。
【规范解答】解：25+42﹣6＝67﹣6
＝61（人）
答：参加这两个项目的一共有61人。
故选：C。
【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
2．（2分）（2022秋•吉首市期末）同学们去动物园参观，每人至少参观了大象馆和猴子
馆中的一个馆，参观大象馆的有10人，参观猴子馆的有15人，两个馆都参观的有6人。
一共有（ ）人去动物园参观。
A．25 B．19 C．31
【思路点拨】参观大象馆的人数+参观猴子馆的人数﹣两个馆都参观的人数＝去动物园
参观的总人数。
【规范解答】解：10+15﹣6
＝25﹣6
＝19（人）
答：一共19人去动物园参观。
故选：B。
【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，A类与B类元素个数的总和＝A类元素
的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
3．（2分）（2022秋•汇川区期末）某次比赛中三（1）班获得“阅读之星”称号的有22
人，获得“速算小能手”称号的有35人，两种称号都获得的有15人，全班每人至少获
得了一种称号。三（1）班一共有（ ）人。
A．57 B．62 C．42
【思路点拨】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。
【规范解答】解：22+35﹣15
＝57﹣15
＝42（人）
答：三（1）班一共有42人。
故选：C。
【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。4．（2分）（2022春•天心区期末）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”一
亮相，好评不断。某班共45人，其中30人喜爱冰墩墩，25人喜爱雪容融，1人对这两
个吉祥物都不喜爱，则既喜欢冰墩墩又喜欢雪容融的有（ ）人。
A．25 B．44 C．9 D．11
【思路点拨】先用45减去1求出至少喜欢一种的人数，然后再用30与25的和减去至少
喜欢一种的人数即可。
【规范解答】解：（30+25）﹣（45﹣1）
＝55﹣44
＝11（人）
答：既喜欢冰墩墩又喜欢雪容融的有11人。
故选：D。
【考点评析】本题考查了容斥原理，关键是求出至少参加一种的人数，知识点是容斥原
理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B。
5．（2分）某班有50名同学，在一次测验中答对第一题的有25人，答对第二题的有20人，
两题都答对的有10人，则有（ ）名同学两题都不对．
A．10 B．15 C．20
【思路点拨】根据题意和容斥原理，知道从总人数中去掉在一次测验中答对第一题的人
数，答对第二题的人数，再加上两题都答对的人数，就是要求的答案．
【规范解答】解：50﹣25﹣20+10，
＝5+10，
＝15（人）；
答：有15名同学两题都不对．
故选：B．
【考点评析】解答此题的关键是，弄清题意，找准数量关系，根据容斥原理，列式解答
即可．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）（2022秋•勃利县期末）三年级同学参加跳绳和拍球比赛，参加跳绳比赛的有
18人，参加拍球比赛的有12人，两项比赛都参加的有2人，参加跳绳和拍球比赛的一
共有 2 8 人。
【思路点拨】参加跳绳比赛的人数+参加拍球比赛的人数﹣两项比赛都参加的人数＝参
加跳绳和拍球比赛的总人数，依此列式并计算。【规范解答】解：18+12﹣2
＝30﹣2
＝28（人）
答：参加跳绳和拍球比赛的一共有28人。
故答案为：28。
【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
7．（2分）（2022秋•曾都区期末）同学们去动物园游玩，参观大象馆的有38人，参观熊
猫馆的有45人，两个馆都参观的有15人，参观大象馆和熊猫馆的一共有 6 8 人。
【思路点拨】根据题意可知，参观大象馆的人数+参观熊猫馆的人数﹣两个馆都参观的
人数＝参观大象馆和熊猫馆的总人数，依此列式并计算即可。
【规范解答】解：38+45﹣15
＝83﹣15
＝68（人）
答：参观大象馆和熊猫馆的一共有68人。
故答案为：68。
【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
8．（2分）（2022秋•金乡县期末）三年级参加两个竞赛组的人数如图，参加绘画组有
2 1 人，两个组都参加的有 6 人。三年级一共有 3 4 人参加了这两个组的竞赛。
【思路点拨】图中的“13人”表示的是只参加书法组的人数，“15人”表示的是只参
加绘画组的人数，“6人”表示的是两组都参加的人数。
参加书法组的人数＝只参加书法组人数+两组都参加的人数；参加绘画组的人数＝只参
加绘画组人数+两组都参加的人数；参加总人数＝只参加书法组人数+只参加绘画组人数
+两组都参加的人数。据此解答。
【规范解答】解：15+6＝21（人）
13+6+15
＝19+15＝34（人）
答：三年级参加两个竞赛组的人数如图，参加绘画组有21人，两个组都参加的有6人。
三年级一共有34人参加了这两个组的竞赛。
故答案为：21，6，34。
【考点评析】本题主要考查学生对集合问题的掌握。解决此题的关键是理解图中每部分
间的关系。
9．（2分）（2022春•东昌府区期末）光明小学举行文艺汇演，跳舞的有19人，唱歌的有
23人，两项都参加的有8人。参加这两项演出的一共有 3 4 人。
【思路点拨】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。
【规范解答】解：19+23﹣8
＝42﹣8
＝34（人）
答：参加这两项演出的一共有34人。
故答案为：34。
【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
10．（2分）（2022春•市中区期末）向阳小学举行文艺汇演，跳舞的有16人，唱歌的有
24人，两项都参加的有9人。参加演出的一共有 3 1 人。
【思路点拨】根据容斥原理，唱歌的人数+跳舞的人数﹣两项都参加的人数＝参加演出
的人数。
【规范解答】解：16+24﹣9
＝40﹣9
＝31（人）
答：参加演出的一共有31人。
故答案为：31。
【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
11．（2分）（2022春•山亭区期末）实验小学四一班有54人，喜欢体育项目的有42人，
喜欢文艺项目的有33人，每人至少喜欢一种项目，两种项目都喜欢的有 2 1 人。
【思路点拨】先用42加33求出喜欢体育项目的和喜欢文艺项目的人数和，再减去四一
班的总人数54就是重复计算的人数，也就是这两种项目都喜欢的人数。
【规范解答】解：42+33﹣54＝75﹣54
＝21（人）
答：两种项目都喜欢的有21人。
故答案为：21。
【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。
12．（2分）（2022春•宁津县期末）四年级二班有45名同学，其中26人参加了英语小组，
18人参加了书法小组，有10人两个小组都参加了．有 1 1 人两个小组都没参加．
【思路点拨】用26加上18求出两者的总人数，再减去重叠的人数10，就是至少参加一
项的人数，即26+18﹣10＝34（人），那么两个小组都没参加的有：45﹣34＝11（人）．
【规范解答】解：26+18﹣10＝34（人）
45﹣34＝11（人）
答：有11人这两个小组都没参加．
故答案为：11．
【考点评析】容斥原理的计算公式：A+B﹣既A又B＝至少参加一项的人数．
13．（2分）（2022春•陵城区期末）儿童节文艺汇演中，跳舞的有 14人，合唱的有30人，
参加这两项演出的一共有35人。两项都参加的有 9 人。
【思路点拨】根据“跳舞的有14人，合唱的有30人”可得两者的总人数：14+30＝44
（人），这其中把两种节目都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两项都
参加的人数有（44﹣35）人，据此解答即可。
【规范解答】解：14+30﹣35
＝44﹣35
＝9（人）
答：两项都参加的有9人。
故答案为：9。
【考点评析】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量。
三．应用题（共15小题，满分74分）
14．（4分）（2022秋•兰陵县期末）在55名运动员中，参加短跑比赛的有36人，参加跳
绳比赛的有38人。这两项比赛都参加的有多少人？
【思路点拨】参加短跑比赛的人数+参加跳绳比赛的人数﹣总人数＝这两项比赛都参加
的人数，据此计算即可。【规范解答】解：36+38﹣55
＝74﹣55
＝19（人）
答：这两项比赛都参加的有19人。
【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
15．（5分）（2022春•峄城区期末）六一儿童节文艺会演中，四年级（1）班有36人参加
演出，其中跳舞表演的有14人，合唱表演的有28人。两项演出都参加的有多少人？
【思路点拨】先用14加28求出跳舞表演的和合唱表演的人数和，再减去四（1）班的
总人数36就是重复计算的人数，也就是这两项演出都参加的人数。
【规范解答】解：14+28﹣36
＝42﹣36
＝6（人）
答：两项演出都参加的有6人。
【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。
16．（5分）（2022春•市北区期末）四年级有36名同学进行剪纸和篆刻的才艺展示，展
示剪纸的有26名，展示篆刻的有18名。两种都展示的有多少名同学？
【思路点拨】先用26加18求出展示剪纸和展示篆刻的人数和，再减去四年级这两项才
艺展示的总人数36就是重复计算的人数，也就是这两种都展示的有的人数。
【规范解答】解：26+18﹣36
＝44﹣36
＝8（名）
答：两种都展示的有8名同学。
【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。
17．（5分）（2019春•德州期末）四（1）班有40名学生，喜欢诵读古诗词的有28名，
喜欢读数学故事的有25名，且每人至少喜欢其中的一种．既喜欢诵读古诗词又喜欢读
数学故事的有多少人？
【思路点拨】先求出喜欢诵读古诗词和喜欢读数学故事的人数和，再用人数和减去全班
的人数就是两样都喜欢的人数．
【规范解答】解：28+25﹣40
＝53﹣40＝13（人）
答：既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有13人．
【考点评析】本题题考查了容斥原理；知识点是：既A又B的人数＝（A+B）﹣总人数．
18．（5分）（2020春•峄城区期末）四（3）班学生都订了报纸，其中订《中国少年报》
的有38人，订《少年智力开发报》的有35人．已知四（3）班共有52名学生，则两种
报纸都订了的学生有多少人？
【思路点拨】有38人订了《中国少年报》，有35人订了《少年智力开发报》，一共有
38+35＝73 人，其中两种报纸都订的人数被计算了两次，根据容斥原理可知，有
（38+35）﹣52名学生两种报纸都订了。
【规范解答】解：（38+35）﹣52
＝73﹣52
＝21（人）
答：两种报纸都订了的学生有21人。
【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
19．（5分）（2020春•峄城区期末）正当人民开开心心迎接2020年春节到来时，一场突
如其来的新冠病毒席卷了整个神州大地．新冠病毒来势汹汹，它的传染性极强，可以人
传人．为了预防新冠病毒新学期开始同学们在家线上学习，线上做作业．一次作业四年
级一班语文作业全对的有31人，数学作业全对的有34人，两种作业都对的是30人，每
人至少全对一种作业．四年级一班共有学生多少人？
【思路点拨】根据题干分析可得，四年级一班的总人数＝完成语文作业的31人+完成数
学作业的34人﹣两种作业都做完的人数30，据此列式计算即可解答。
【规范解答】解：31+34﹣30
＝65﹣30
＝35（人）
答：四年级一班共有学生35人。
【考点评析】此题考查利用容斥原理解决问题的方法，因为两种作业都完成的人数重复
加了1次，所以完成语文和数学作业的人数之和，减去重复的人数，就是总人数。
20．（5分）（2022春•滨城区期末）四年级一班有50人，喜欢吃苹果的有25人，喜欢吃
橘子的有22人，两种水果都喜欢吃的有13人。两种水果都不喜欢吃的有多少人？【思路点拨】把喜欢苹果的和喜欢橘子的人数加起来：25+22＝47（人），因为13人既
喜欢吃苹果又喜欢吃橘子，所以喜欢这两种水果（至少喜欢一种）的是 47﹣13＝34
（人），那么总人数减去这34人，剩下的就是两种水果都不喜欢的人数；据此求解即
可。
【规范解答】解：50﹣（25+22﹣13）
＝50﹣34
＝16（人）
答：两种水果都不喜欢的有16人。
【考点评析】本题主要考查容斥原理，解题的关键是确定喜欢这两种水果的人数。
21．（5分）（2022秋•丹江口市期末）三（1）班有学生45人，喜欢打乒乓球的有28人，
喜欢踢足球的有36人，既喜欢打乒乓球又喜欢踢足球的有多少人？
【思路点拨】喜欢打乒乓球的人数加喜欢踢足球的人数，减三（1）班的学生数即可解
答。
【规范解答】解：28+36﹣45
＝64﹣45
＝19（人）
答：既喜欢打乒乓球又喜欢踢足球的有19人。
【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
22．（5分）（2022春•寿光市期末）四年级一班共有26个同学参加了儿童节的舞蹈和合
唱表演。其中有12人参加了舞蹈队，有20人参加了合唱队。请根据以上信息，把图中
各部分的人数填在括号里。
【思路点拨】有12人参加了舞蹈队，有20人参加了合唱队，根据容斥原理，既参加舞
蹈队又参加合唱队的人数是（12+20﹣26）人，据此填写即可。【规范解答】解：12+20﹣26＝6（人）【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
23．（5分）（2021春•宁津县期末）四年级1班语文作业全对的有37人，数学作业全对
的有42人，两科作业都对的有31人，每人至少全对一科作业。四年级1班共有多少学
生？
【思路点拨】根据容斥原理可得，语文作业全对的人数+数学作业全对的人数﹣两科作
业都对的人数＝总人数。
【规范解答】解：37+42﹣31
＝79﹣31
＝48（人）
答：四年级1班共有48名学生。
【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
24．（5分）（2014秋•余姚市校级期中）某班有50名同学，在一次测验中答对第一题的
有25人，答对第二题的有20人，两题都答对的有10人，则有几名同学两题都不对？
【思路点拨】根据题意和容斥原理，知道从总人数中去掉在一次测验中答对第一题的人
数，答对第二题的人数，再加上两题都答对的人数，就是要求的答案．
【规范解答】解：50﹣25﹣20+10，
＝5+10，
＝15（人）；
答：有15名同学两题都不对．
【考点评析】解答此题的关键是，弄清题意，找准数量关系，根据容斥原理，列式解答
即可．
25．（5分）（2022秋•泰安期末）四年级二班有45人，会下象棋的有21人，会下围棋的
有17人，两种棋都不会的有10人．两种棋都会的有多少人？【思路点拨】先求出会下象棋的人数与围棋的人数和，再加上两样都不会下的人数，这
样就比全班的总人数多算了一次两种棋都会下的人数，所以再减去总人数45，就是两种
棋都会下的人数．
【规范解答】解：21+17+10﹣45
＝48﹣45
＝3（人）
答：两种棋都会下的有3人．
【考点评析】本题依据了容斥原理公式之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类
元素个数+属于B类元素个数+非A非B元素个数﹣元素总个数．
26．（5分）三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人
至少带一样．既带矿泉水又带水果的有多少人？
【思路点拨】把带矿泉水的有78人和带水果的有77人加在一起，然后减去三年级的总
人数就是两样都带的人数．
【规范解答】解：78+77﹣107
＝155﹣107
＝48（人）
答：三年级既带矿泉水又带水果的有48人．
【考点评析】此题考查了利用容积原理解决问题的方法，两样都带的人数被算了2次，
就是带矿泉水和带水果的人数比总人数多出的人数，这是解决本题的关键．
27．（5分）（2022春•邹平市期末）“六一”艺术节汇演中，跳舞的有14人，合唱的有
30人，参加这两项演出的一共有35人．两项都参加的有多少人？
【思路点拨】根据“跳舞的有14人，合唱的有30人”可得两者的总人数：14+30＝44
人，这其中把两种节目都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两项都参加
的人数是：44﹣35＝9（人），据此解答即可．
【规范解答】解：14+30﹣35
＝44﹣35
＝9（人）
答：两项都参加的有9人．
【考点评析】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情
况）．28．（5分）（2015春•凤庆县校级期中）四（1）班有26位同学参加了“小记者”兴趣小
组，有25位同学参加了“小主持人”兴趣小组，有6位同学既参加了“小记者”兴趣
小组，又参加了“小主持人”兴趣小组，其余的5位同学参加了其他兴趣小组．四
（1）班共有多少人？
【思路点拨】根据题干，把参加“小记者”兴趣小组的人数与参加“小主持人”兴趣小
组的人数相加，这样两个小组都参加的就多算了一次，再减去两个小组都参加的人数，
即可求出“小记者”兴趣小组和参加“小主持人”兴趣小组至少参加一个的人数，然后
再加上其它兴趣小组的人数就是总人数．
【规范解答】解：（26+25﹣6）+5
＝45+5
＝50（人）
答：四（1）班一共有50人．
【考点评析】此题考查了利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，找出重复数了两次的
人数，是解答此题的关键
