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第 7 讲 几何综合一
兴趣篇
1. 图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。已知 厘米，
厘米， 厘米，求图形的面积。
【分析】
2. 如图所示， 等于多少度？
【分析】将这六个角用中心六边形的六个内角代换，利用六边形内角和为 ，列方程得
，
所以3. 如图，平行四边形 的周长为75厘米。以 为底时高是14厘米，以 为底时
高是16厘米。求平行四边形 的面积。
【分析】 ,根据面积相等，底的比与高的比成反比例，所以
,因此 ,平行四边形 的面积是
平方厘米
4. 如图所示，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是 平方
米、 平方米、 平方米和 平方米。已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积
是多少平方米？
【分析】 ,因此 , , ,所以 , ,因此
,那么它的面积是 平方米5. 如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重
叠。已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10。
那么，正方体盒子的底面积是多少？
黄
红 绿
【分析】将黄色纸片推到左边，则每块纸片露出的形状如右上图.黄、绿两色的面积之和保
持14+10=24不变，则在右图中这两块面积相等，均为 .根据公式可知，
空 白 处 面 积 黄 绿 红 ， 则 正 方 形 盒 底 面 积 是
.
6. 如图，在三角形 中， 和 平行， 和 平行， 和 平行。已知 ：
： =4:3:2，那么 ： ： 和 ： ： 分别是多少？A
H
G
O
I F
B
D E C
【分析】连接 ,设 ，则 ， ，那么 ，
，根据相似 ,所以 ,则 ，又
,所以 ， ,因此 ，那么
， 因 此
7. 如图，已知三角形 的面积为1平方厘米， 、 分别是 、 边的中点，求三
角形 的面积。【分析】因为 是 的中线，所以 ,设 ，根据梯形蝴蝶定理有
，所以 所以
8. 在图中的正方形中， 、 、 分别是 、 、 的中点。请问：三角形 的
面积是三角形 面积的几倍？
【分析】设正方形的面积为 ，则 , ,所以 ,
因此三角形 的面积是三角形 面积的 倍
9. 如图， 是平行四边形，面积为72平方厘米， 、 分别为边 、 的中点，
则阴影部分的面积为多少平方厘米？
A G D
O
E
H
M
B C
F
【分析】设 、 分别为 、 的中点，连接 、 、 ．可得 ，
对 角 线 被 、 、 平 均 分 成 四 段 ， 又 ∥ ， 所 以
， ，
所以 (平方厘米)，
(平方厘米)．
同理可得 平方厘米， 平方厘米．
所以 (平方厘米)，
于是，阴影部分的面积为 (平方厘米)．
10. 如图，在三角形 中， = ， 是 的中点，三角形 的面积是1，那
么阴影部分的面积是多少？
A
3
3 E
F 3
1 2
B
C
D
【分析】连接 ，
根据燕尾定理， ， ,
设 份，则 份， 份， 份，如图所标
所以
◇ ◇ 拓展篇 ◇ ◇
1. 如图， 、 是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图
中的字母表示相应部分的长度。问： 、 中阴影部分的周长哪个长？长多少？【分析】 ， ，因此 的周长
大，长了 ,因为两个长方形的长比宽长8厘米，即 ，即 ，
所以长了 厘米
2. 如图， 是正五边形， 是正三角形， 等于多少度？
【分析】 , 因 为 , 所 以
,因此
3. 一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜
边上去与斜边相重合，如图所示。问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少
平方厘米？A
D
x
B
C
【分析】设 ，有 ，解得 ，所以 平方厘米
4. 图中大长方形被分成四个小长方形，面积分别为12、24、36、48。请问：图中阴影部
分的面积是多少？
【分析】如图，阴影部分的面积等于 ，所以，设大长方形的长为 厘米，
宽为 厘米，则有： 的长度为： 所以，阴影部
分的面积为 (平方厘米)
5. 三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图，盒中空白部分的面积已
经标出，求图中大长方形的面积。
【分析】将中间的正方形卡片往左移动，可得到新的下右图的长方形盒子在移动的过程中，最下方空白部分的面积没有变动，仍为3；而且空白部分面积和相等。
移动后，左边和中间的正方形纸片共同拥有一个小正方形，则其各部分面积如下图：
3 6
3
令面积为3的正方形的边长为a，则有 ，而面积为6的长方形中的长为2a，即大的
正方方形纸片的边长为2a。所以整个外面的长方形的长为 5a，宽为3a。所以其面积为
.
6. 如图，三角形 的面积为1。 、 分别为 、 的中点。 、 分别为 边
上的三等分点。请问：三角形 的面积是多少？三角形 的面积是多少？
A
15a
D
E
O
6a
10a 6a 10a
4a
B F G C
【分析】连接 , , , ,所以 ,设 ，则
, 所 以 ， 因 此
， 即 ， 所 以 ，
7. 如图，梯形 的上底 长10厘米，下底 长15厘米。如果 与上、下底平
行，那么 的长度是多少？【分析】 , ,所以 厘米, , 厘米,因
此 厘米
8. 如图，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？
【分析】连接FC，根据梯形蝴蝶定理，面积为
A
F
B
E
C
D9. 两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么
他的两个影子总长度是多少米？
【分析】设每人的影子长为 米，根据相似有 ，解得 ，所以他的两个影子
总长度是 米
10. 如图， 是长方形 一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 3和
4，那么阴影直角三角形的面积是多少？
A
D
E
O
B
F C
【分析】连 接 , 根 据 题 意 有 , 所 以 , 即 ,
,即
11. 如图，在三角形 中， ， 点是 的四等分点，阴影部分的面积占三角
形 面积的几分之几？
A
F
3 E
3
1
B
D C【分析】设 ,则 ,根据燕尾模型有 , ,所以
,因此
12. 如图，在三角形 中，三角形 的面积是1，三角形 的面积是2，三角形
的面积是3，则四边形 的面积是多少？
A
E
1
O
2
3
x
B
C
D
【分析】连接 ,设 ， ,所以 ，则
有 , ，所以 ，因此◇ ◇ 超越篇 ◇ ◇
1. 如图，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120°的线段将长
方形分成了两个梯形和一个三角形。请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？
4
1
1
【分析】如图，添加辅助线，长方形被分成了12份。
梯形占5份，所以，
梯形面积=60÷12×5=25（平方厘米）
2. 如图， 是三角形 内一点， 平行于 ， 平行于 ， 平行于 ，四
边形 的面积是12，四边形 的面积是15，四边形 的面积是20。请问：
三角形 的面积是多少？
【解析】
本题主要应用：夹在平行线间的平行四边形面积之比等于底边长度之比（等高）。
由于S :S =IP:PH
AIPD PHCG
所以，IP:PH=12:15=4:5
同理可推，PD:PE=3:5，FP:PE=4:3
连接ID，即可利用共角定理求S =12.5
PEH同理，可求其余部分。
答案：三角形ABC的面积是72平方厘米。
3. 如图所示，正方形 的面积为1。 、 分别是 和 的重点， 与 交于
点， 与 交于 点，那么阴影三角形 的面积为多少？
A D
N
G
M F
B E C
【分析】
过F点做FG∥EC
则，
又4. 如图，三角形 的面积为1 ， 、 、 分别是三条边上的三等分点，求阴影三角
形的面积。
答案：
5. 如图，小悦测出家里的瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线
段均为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？
A B
h
1
M
N h Q
4 2
P
D
C
4
【分析】
连接CD则
6. 如图， 垂直于等腰梯形 的上底 ，并交 于 ， 平行于 ，
=45°，且三角形 和三角形 的面积分别为75、45，那么三角形 的面积是
多少？
E
A D
B G C
【分析】
从A点向BC做垂线交BC于F点，交BD于H点。
三角形ABH面积等于三角形CDE的面积，又四边形AEDH为平行四边形。
所以三角形AED的面积=75-45=30。
E
A D
H
B
F G C
7. 在长方形 中， 、 、 、 分别是边 、 、 、 上的点，将长方
形的四个角分别沿着 、 、 、 对折后， 点与 点重合， 点与 点重
合。已知 =3， =4，求线段 与 的长度比。【分析】
A H D
K
E G
L
B C
F
如图可知，令K为A与B重合的点，L为C与D重合的点。则有：
E为AE中点，且等于EK长度，由于 , ,所以有：
,所以HF=5，EK= ；所以 ，由于 .
所以：
8. 如图，在长方形 中， 。已知 的面积为20，
的面积为16，那么长方形 的面积是多少？
【分析】令 ， ， ， ，则有：
①，由于
②
由①知， ③，代入②得： 。
所以
④，则 。
所以
所以长方形的面积为52。
（第9届日本算术奥林匹克决赛试题）
8、如图，正方形 有三个顶点分别在三角形 的三条边上，且 。请求出
正方形 的面积。
A
7厘米
S
9厘米
P
6厘米 R
2厘米
B C
Q
【分析】
令整个三角形ABC的面积为1
b
a
c
d
根据鸟头模型可知
则所以
将三角形c与三角形d分别以逆时针和顺时针旋转90°即可以得到一个新的四边形。
这个心的四边形的面积为：b+c+d=7×6÷2+9×2÷2=30。
则可以求出 (平方厘米)。
b
a
c
d
