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第 8 讲：数论综合一
兴趣篇
1. 如果某整数同时具备如下三个性质：
①这个数与1的差是质数；
②这个数除以2所得的商也是质数；
③这个数除以9所得的余数是5。
那么我们称这个整数为“幸运数”。求出所有的两位幸运数。
【答案】14
【分析】方法一：从条件③入手，则概数应为5、14、23,而该数为2的倍数，所以应为偶
数，所以应为14、32、 50、68、86中的一组，满足条件的只有1个，14。
方法二：题目给出了所谓幸运数具备的三个条件，要求的是所有的两位幸运数．这就使求
解的范围缩小在两位数之内．可以先从条件②入手，再利用条件①和③，最终求出所有的
两位幸运数．
设所求的幸运数是质数 的两倍，即此幸运数为 ，则 的所有可能取值为5、
7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47．于是 的所有可能取值
为9、13、21、25、33、37、45、57、61、73、81、85、93．根据条件①，
应为质数，因此 只可能为13、37、61或73．再由条件③知 除以9所
得余数应为4，于是 只能等于13，从而这个幸运数只能是 ．
2. 一个五位数 ，空格中的数未知。请问：
（1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？
（2）如果该数能被55整除，这个五位数是多少？
【答案】（1）86256；（2）85250
【分析】（1）从8，9整除特征考虑，8需要个位填6；9千位填6。
（2）从5，11的特征考虑，5个位填5或0，
当个位为5时，该数为 ，奇数位数字和为：15；偶数位数字和为： ，则不符合
情况；
当个位为0时，该数为 ，奇数位数字之和为：10，偶数位数字之和为 ，则千位
可填5。
3. 在小于5000的自然数中，能被11整除、并且所有数字之和为13的数共有多少个？
【答案】18个
【分析】令为 ，数位不够高位补0，和为奇数有① ，且
， 7×2=14个
② ，且
， 7×2=14个
共28个
4. 一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分
别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由 247将得到47、27、24）。已知这
些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数，原来的三位
数是多少？
【答案】656
【分析】有个5，5作十位考虑7的倍数：56 656
考虑6的倍数：54 154
只有656是8的倍数。
5、26460的所有的约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？
【答案】36个；6个
【分析】26460÷6=4410=2×32×5×72 约数个数（1+1）（2+1）（1+1）（2+1）=36
26460除去2与3的因数，剩下为5×72，约数个数6个，这6个均与6互质。
6、一个自然数 共有9个约数，而 恰有8个约数。满足条件的自然数中，最小的和
第二小的分别是多少？
【答案】196，256
【分析】9=3×3 8=2×4=2×2×2
考虑到N是个完全平方数，从最小的平方数开始尝试。
7、一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？
【答案】74
【分析】最大约数就是本身，是次大约数的倍数。
所以111是次大约数的倍数。
111=3×37，次大约数为1，3，37三种，尝试得为37。
111-37=74
8、有一个算式6×5×4×3×2×1。小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然
数，那么这个自然数最小是多少？
【答案】5
【分析】6×5÷4÷3×2×1=5
9、一个两位数分别处以7、8、9，所得余数的和为20。问：这个两位数是多少？
【答案】62
【分析】20=8+7+5=7+7+6=8+6+6
余数分布就3种情况，只有第3种有两位数满足。
10、信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送。对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用。有一天我军截获了敌军的一串密文：
，字母表示还没有被破译出来的数字。如果知道密码满足如下条件：
①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；
②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同且不全是奇数。
③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数。
你能破解此密文吗？
【答案】437854219
【分析】8B4余数必为2，得B=5；C是奇数，所以A是偶数。
C=9余3或C=1余7（重复数字）
A=2余9；A=4余5；A=6余1；A=8余9
拓展篇
1、已知 是495的倍数，其中 、 、 分别代表不同的数字。请问：三位数
是多少？
【答案】865
【分析】495=5×9×11，特征考虑， 是5和11的倍数。
所以b=6，c=5， 是9倍数。a=8。
2、11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？
【答案】220
【分析】11个连续两位数，至多3个5的倍数，那么还有1个25的倍数。把25放最后一
个是最小，这八个数为15～25。
3、有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×1。小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还
是自然数，那么这个自然数最小是多少？
【答案】70
【分析】7和5前面的没法改，2的因子个数奇数个，除不完。
4、有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是 1号到15号。1号同学写了一个自
然数，2号说：“这个数能被他的编号数整除。1号一一作了验证：只有两个同学（他
们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对。问：
（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？
（2）如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？
【答案】（1）出错的是8号和9号同学；（2）60060
【分析】（1）都列出后发现，肯定是1，2，3，4，5，6，7，10，12，14，15的倍数。
（2）60060
5、有2008盏灯，分别对应编号为 1至2008的2008个开关。现在有编号为 1至2008的
2008个人来按动这些开关。已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有的
开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是
3的倍数……依此做下去，第2008个人按的开关的编号是2008的倍数。如果刚开始的
时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？
【答案】1964盏
【分析】约数个数为奇数个的灯灭了，所以完全平方数都灭了。剩下的为亮的，2008-
44=1964
6、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 米，黄鼠狼每次跳 米，它们每秒钟都
只跳一次。在比赛道路上，从起点开始每隔 米设有一个陷阱。请问：当它们之中有
一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？
【答案】40.5米
【分析】 狐狸跳 11次掉 进
黄先掉，狐狸跳 米。
黄鼠狼跳 9 次掉 进
7、 一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数。请问：当它们之
中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？
【答案】1350
【分析】这个偶数含2，3，5的因子，分别设为a、b、c个。
不是3的倍数有（a+1）·（c+1）……个，显然无法有别的质因子，
原数为2×33×52 =1350
8、一个合数，其最大的两个约数之和为1164。求所有满足要求的合数。
【答案】776、873、1067
【分析】最大约数为本身，是次大约数的倍数，1164是次大的倍数。1164=22×3×97
次大为97， 原数97×11=1067 √
次大为97×2，原数194×5=970 ×
次大为97×3，原数97×3×3=873 √
次大为97×4，原数97×4×2=776 √
9、已知a与b是两个正整数，且a＞b。请问：
（1）如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？
（2）如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？
【答案】（1）12种；（2）31种
36=22×32（2）120=23×3×5
10、已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是
350。满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？
【答案】20组
a、b均为14的倍数。
350=14×25 ∴a、b只能是14的1，5或25倍。
①a=25×14 b=14
c=25或50或25×7或25×14 4种
②a=5×14 b=14
c=25或50或25×7或25×14 4种
③a=14，b=14
c=25或50或25×7或25×14 4种
④b=14×5 a=14 同② 4种
⑤b=14×25 a=14 同① 4种
共20组。
11、已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，余数6的余数之和是5，除以7的余数
之和是1。求这两个两位数。
【答案】77和78
【分析】①大数
②大数
12、如图，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个）。小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着
逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。他先试着每隔2个孔
跳一步，结果只能跳到B孔。他又试着每隔4个孔跳一步，也只能跳到B孔。最后，他每隔6个孔跳一步，正好回到A孔。问：这个圆圈上共有多少个孔？
【答案】91个
【分析】
超越篇
1、有6个不相同且不为0的自然数，其中任意5个数的和都是7的倍数，任意4个数的和
都是6的倍数。请问：这6个数的和最小是多少？
【答案】756
【分析】必然对于7和6均同余 都是7的倍数，除以6余0或3。
最小21，21+42，21+42×2，……，21+42×5，和756
2、设N=301×302×…×2005×2006，请问：
（1）N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？
（2）用N不断除以12，知道结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？
【答案】（1）426个；（2）850次
【分析】
（1）1～2006 末尾0的个数
1～300 末尾0的个数
500-74=426个
（2）12=22×3 按照（1）中算法，N中含2，1702个
含3， 850个
2还富余2个
3、老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数。这个四位数是5的倍数。贝贝计算出它
的5！的最小公倍数，晶晶计算出它的10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰
好是晶晶的5倍。请问：这个四位数是多少？
【答案】3000
【分析】由5倍得四位数含3个5的因子，并且5！含全部因子它都有。
24×125=3000，因为小于5000，只有一个。
4、一个正整数，它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120整除。这个正整数最小是多少？
【答案】117
【分析】120=23×3×5，因为75和48都是3的倍数，所以此数必为3的倍数。
①A+75是5的倍数
A+48是8的倍数
②A+75是8的倍数
A+48是5的倍数
5、a、b、c是三个非零自然数。a和b的最小公倍数是300，c和a、c和b的最大公约数都
是20，且a＞b＞c。请问：满足条件的a、b、c共有多少组？
【答案】8组
【分析】8组
300÷20=15
①a=300，b=100，
c可以是20的1倍，2倍，4倍 3种
②a=300，b=60
c是20的1倍，2倍 ，4倍 3种（这里原先给的解析应该少了4倍的）
③a=100，b=60
c是20的1倍，2倍 2种
6、有一类三位数，它们除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同（可以含0）。这样的
三位数中最小的三个是多少？
【答案】118、119、155
【分析】[2，3，4，5，6]=60 ，119和118满足条件。
①÷6余4 最小118，次小118+60=178。
②÷6余5 最小119，115。
③÷6余3 ×余数重复。
7、有一个自然数除以15、17、19所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于
1，那么这个自然数是多少？
【答案】1082
【分析】所有商均不一样，余数也不一样，先看15和17，135以上商才有区别。商是15
的大，所以余数要17的大。
设 k=15a+b=17c+d=19e+f
=14a+(a+b)=16c+(c+d)=18e+(e+f)
∴14a=16c=18e
a:c:e=72:63:56
15×72=1080
1080+2=10828、有4个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3个数
整除。请写出这4个数。
【答案】108、117、135、180
【分析】设为a、b、c、d，和是a、b、c的倍数，且a
