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第 10 讲 行程问题六
兴趣篇
1、姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去博物馆，而他们回家则要从公园门口沿马路向西行。
他们商量是先回家取车，再骑到博物馆，还是直接从公园门口走到博物馆。姐姐算了一
下：如果从公园到博物馆距离超过2千米，则回家取车比较省时间；如果公园和博物馆
的距离不足2千米，那么直接走过去省时间。已知骑车与步行的速度比为 4:1，那么公
园门口到他们家的距离是多少千米？
【分析】 从题中“公园门口到达某地距离超过 千米时，回家取车才合算”，可以知
道，从公园门口到某地距离是 千米时，则两者时间相同．设公园门口到家的距离是
千米．则可列方程：
，解得 ，即公园门口到他们家的距离有1200米．
2、有甲、乙、丙三辆车，各以一定的速度从某地出发同向而行。乙比丙晚出发 10分钟，
出发后40分钟追上丙；甲比乙晚出发20分钟，出发后1小时40分钟追上丙。请问：
甲出发多少分钟后才能追上乙？
【分析】乙、丙两人速度比= ，甲、丙两人速度比= 。甲、乙、
丙三人速度比= 。
现在，甲比乙晚出发20分钟，那么甲追上乙需要 分钟。
3、客车、货车分别从甲、乙两地出发相向而行。如果两车都在6:00出发，那么会在11:00
相遇，如果客车和货车分别于7:00和8:00出发，那么会在12:40相遇。现在客车和货
车分别于10:00和8:00出发，它们将在什么时候相遇？
【分析】令货车的速度为： ，客车速度为： ，则有：
，从而货车速度为客车速度的2倍。，全称为：
由于货车先出发了两小时，走了 ，所以还剩下 ，相遇用： 小时。
所以，他们在13:40分时相遇。
4、两条公路成十字交叉，甲从十字路口南 1200米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。
甲、乙同时出发10分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发100分钟后，两人与十
字路口的距离再次相等，此时他们距十字路口多少米？
【分析】 第一次等距离时甲只能在十字路口的南侧（也就是还没过十字路口），而不
能在北侧。如果不然，第一次等距离时甲在十字路口北侧，乙在十字路口东侧，第二
次等距离时甲仍在十字路口北侧，乙仍在十字路口东侧，则两人相同时间内走的路程
相同，速度相同，往回倒推，得到甲和乙是同时同地出发的，矛盾。
甲100分钟比乙100分钟多走1200米，所以甲每分钟比乙每分钟多走12米。
10分钟两人共走1200米，所以速度和为每分钟120米。
乙每分钟走(120-12)÷2=54米，100分钟走了5400米。
故此时他们距十字路口5400米。5、A、B、C、O四个小镇之间的道路分布如图，其中A、O两镇相距20千米，B、O两镇
相距30千米。某天甲、乙两人同时从B镇出发，甲到达O镇后再向A镇走，到达A镇
后又立刻返回，而乙到达O镇后直接向C行进。丙从C镇与甲、乙两人同时出发，在
距离O镇15千米处与乙相遇。当丙到达O镇后又向A镇前行，在与O镇相距6千米的
地方与甲相遇。已知甲、乙的速度比为8:9，求O、C两镇之间的距离。
A
O C
B
【分析】首先转化为在同一条直线上。由题意可知，OF=15千米，BO=30千米，AO=20千
米。
根据题意，可知，当乙走了BF即45千米时，丙走了CF的距离。当甲走了30+20+20-6=64
千米时，丙走了CE的距离。
由于甲、乙速度比为8:9，当甲走了64千米时，乙应走了72千米。而当乙走了72千米时
丙应走了 的距离。
即 ，即 CE:CF=8:5。而 EF 的距离为 21 千米。所以 CF=35 千米。则 CO 为
35+15=50千米。
6、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车速度为32千米/时，乙车速度为
48千米/时。它们分别到达B地和A地后，甲车速度提高四分之一，乙车速度减少六分
之一。如果它们第一次相遇与第二次相遇地点相距 74千米，那么乙车比甲车早多少小时
返回出发点？
【分析】根据题意， ，
则当其第一次相遇的地点距离B地 .
当乙车先到达B地后，甲车走了全程的 ，此时 ；
当甲车走到A地时，乙车走了全程的7、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人下山的速度都是各
自上山速度的2倍。甲到山顶时，乙距上顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半
山腰。求从山脚到山顶的距离。
【分析】
山脚 山顶
甲
乙
假设乙一直走上坡，令全程为4份，则乙上坡还可再走2份。甲一直走上坡，则甲上
坡还可走2份，在相同的时间内，甲上坡走了6份，乙上坡走了5份，甲乙上坡速度之比
为6:5。而当甲到达山顶时，乙距离山顶还有 400米。所以从山脚到山顶有
米。
8、从甲市到乙市有一条公路，它分成三段：第一段上，汽车速度是每小时 40千米；在第
二段上，汽车速度是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时50千米。已知第
一段公路的长恰好是第三段的2倍。现在两辆汽车从别从甲、乙两市同时出发，相向而
行，1小时20分后，在第二段公路上从甲到乙方向的 处相遇。请问：甲、乙两市相距
多少千米？
【分析】185千米
9、一支轻骑摩托小分队奉命把一份重要文件送到距驻地很远的指挥部。每辆摩托车装满油
最多能行150千米，且途中没有加油站。由于一辆摩托车无法完成任务，队长决定派两
辆摩托车执行任务，其中一辆摩托车负责把文件送到指挥部，另一辆则在中途供给油料
后安全返回驻地。请问：指挥部距小分队驻地最远可能是多少千米？
【分析】200千米
10、甲、乙两班同学到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班
的学生。为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行。同时出发，
甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则立即返回接在途中步行的乙班学生。
如果甲、乙两班学生步行速度相同，都为5千米/时，汽车的速度为35千米/时。请问：
汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达飞机场？
【分析】4.8千米拓展篇
1、一辆轿车和一辆巴士都从A地到B地，巴士速度是轿车速度的 。巴士要在两地的中
点停10分钟，轿车中途不停车。轿车比巴士在A地晚出发11分钟，早7分钟到达B地。
如果巴士是10点出发的，那么轿车超过巴士车是10点多少分？
【分析】27分
2、客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，已知客车行完全程需 10小时，货车行完全程
需15小时。两车在中途相遇后，货车又行了90千米，这时客车行完了全程的80%，求
甲、乙两地的距离。
【分析】675千米
3、甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，相遇时乙比甲多行了100米，如果甲出发
后在距离AB中点220米处把速度提高到原来的3倍，则相遇时甲比乙多行了100米，求
A、B两地的距离。
【分析】900米
4、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各
自上山速度的2倍。甲与乙在离山顶400米处相遇，当甲回到山脚时，乙刚好下到半山
腰。求山脚到山顶的距离。
【分析】3400米
5、 某天早上8点甲从 地出发，同时乙从 地出发追甲，结果在距离 地9千米的地方
追上．如果乙把速度提高一倍而甲的速度不变，或者乙提前 40分钟出发，那么都将在距离
地2千米处追上． 、 两地相距多少千米？乙的速度为每小时多少千米？
【分析】乙把速度提高一倍与乙提前40分钟出发两种情况相比，甲出发的时间都不变，甲
所走的路程也都是2千米，所以这两种情况下乙走的路程也相同．而前一种情况
下乙的速度为后一种情况下乙的速度的2倍，所以所用的时间为后一种情况下所
用时间的 ．由题意可知，乙在前一种情况下比在后一种情况下少走40分钟，所
以后一种情况下乙走了 分钟，前一种情况下乙走了40分钟．
所以甲在40分钟内走了2千米，可得甲的速度为 千米/时．那么甲走到
距离 地9千米的地方用了 小时．
所以乙走了80分钟走到距离 地2千米处，走了3小时走到距离 地9千米的地
方，可得乙的速度为 千米/时， 、 两地之间的距离为
千米．
6、如图，A、B两地相距54千米，D是AB的中点。甲、乙、丙三人骑车分别同时从A、
B、C三地出发，甲骑车去B地，乙骑车去A地，丙总是经过D之后往甲、乙、两人将
要相遇的地方骑，结果三人在距离D地5400米的E点相遇。如果乙的速度提高到原来
的3倍，那么丙必须提前52分钟出发三人才能相遇，否则甲、乙相遇的时候，丙还差
6600米才到D。请问：甲的速度是每小时多少千米？D E
B
A
C
【分析】
F D E
B
A
C
根据题意，由于AE=32.4千米，BE=21.6千米。则 ，若乙的速度提高3倍，则
甲乙速度比变为： ，令此次相遇的地点在F，则AF=18千米。
丙52分钟走了6.6+9=15.6千米，所以丙的速度为18千米/小时。
两次相遇甲的速度没有变，而AE:AF=32.4:18=9:5。即两次相遇所用时间之比为9:5。
在9份的时间里，丙走了CD+5.4千米；在5份的时间里，丙走了CD-6.6千米。
即 , 则 CD=21.6 千 米 。 则 丙 从 C 到 E 用 时
小时。
则甲的速度为 千米/小时。
7、甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车，每辆电车都是每隔 4
分钟遇到迎面开来的一辆电车。小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行。
小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔6分钟遇到一辆迎面开来的电车。
如果电车行驶全程需要56分钟，那么小王与小张在途中相遇时，他们已经出发了多少分
钟？
【分析】60分钟
8、米老鼠从A到B，唐老鸭从B到A，米老鼠与唐老鸭的速度比为6:5，M是A、B的中
点。在A、M之间有一C点，距离M点26千米，此处有一个魔鬼，谁经过他都要减速
25%；B、M之间有一D点，距离M点4千米，此处有一个仙人，谁经过他都会加速
25%；现在米老鼠和唐老鸭同时出发，且同时到达各自的目的地，请问：A、B两地相距
多少千米？
【分析】92千米9、自动扶梯由下向上匀速运动，甲从顶部向下走到底部，共走了 150级；乙从底部向上走
到顶部，共走了75级。如果甲的速度是乙的速度的3倍，那么扶梯可见部分共有多少级？
【分析】120级
10、（日本算术奥林匹克试题）四辆汽车分别停在一个十字路口的四条岔道上，它们与路
口的距离都是18千米，四辆车的最大时速分别为40千米、50千米、60千米和70千米。
现在四辆汽车同时出发沿着公路行驶，那么最少要经过多少分钟，它们才能设法相聚在
同一地点？
【分析】 为使4辆汽车尽快相遇，应该让速度较慢的2辆汽车相向行驶最短的距离而相
遇，另2辆速度快的汽车则行驶到这两车的相遇地点即可.任何两车沿公路计算里程均相距
18+18=36千米，较慢两车的速度之和为每小时 40+50=90千米，它们相遇需要36÷90=0.4
小时=24分钟，这即为4辆汽车相聚于同一点所需的最短时间。
11、某种小型飞机加满油最多能飞行1500千米，但不够从A地飞到B地。如果从A地派3
架这样的飞机，通过实现空中供油，可以使其中一架飞到B地，另两架安全返回A地，
那么A、B两地最远相距多少千米？
【分析】2250千米
12、现有两支球队同时从某地到9千米外的体育馆进行比赛，但只有一辆汽车接送，且每
次只能乘坐一支球队。已知队员步行速度均为6千米/时；汽车满载的速度为27千米/时，
空载的速度为36千米/时。请问：比赛最早会在两队出发后多少分钟开始？（两队均到
场即可开始。）
【分析】37.5分钟
超越篇
1、如图，A、B、C、D四个球按顺时针方向均匀分布在周长48米的圆周上，分别以1
米/秒、2米/秒、3米/秒、4米/秒的速度作顺时针运动。当有两个球碰到一起的时候，两
个球相互交换速度。请问：从四个球同时出发开始，经过多少秒四个球第一次同时碰到
一起？（不考虑球的半径）
【分析】本题十分复杂,每一个球的变速运动十分频繁,如果一步一步来算简直是不可能的任务,因为题目中说不用考虑半径,我们可将小球的运动做如下分析，每两个小球的运动是一个
追及过程，任取两个小球分析，当快的球追上慢的球的时候，两球交换速度，也就相当于
快的球“穿过”了慢的球继续运动；任取三个球分析其运动过程，当三个球碰到一起的时
候,因为是慢的追上快的，所以必然有最快的球在最后，最慢的在最前面，又题目中说中间
的球速度不变,其他两个球相互交换速度，那么我们同样可以看做是快的的球快的球“穿
过”了慢的球继续运动而不受影响，那么题目就变成了不同速度不同出发点的四个球独立
的运动最后位于一点的问题。
两个球的观察，现在发现C追上A所用时间为：24÷（3-1）=12秒，以后每追一圈
需要用24秒。所以，C追上A所用的时间为：12+24m；同理D追上B所用的时间为12秒，
以后每追一圈，所用时间24秒。则D追上B所用时间为12+24m。即12、36、60….
而D追上A所用的时间为4秒，以后每追一圈需要的时间为48÷3=16秒。所以所要用的时
间为。4+16n即4、20、36…。
所以在第36秒时四个球碰在一起。而且恰好碰在D点。
（2009年“数学解题能力展示”读者评选，六年级，初赛，第13题）
2、A、B、C三地依次分布在由西向东的同一条道路上，甲、乙、丙分别从A、B、C同时
出发，甲、乙向东，丙向西。乙、丙在距离B地18千米处相遇，甲、丙在B地相遇，而
当甲在C地追上乙时，丙已经走过B地32千米。试问：A、C间的路程是多少千米？
【分析】如图所示，设乙、丙在 处相遇，当甲到达 地时丙到 处，设 千米，
千米，由于乙、丙在 处相遇，所以乙、丙的速度比为 ；当乙、丙相遇后，
两人继续向前走，乙走到 地时丙走到 处，两人速度比为 ( )，所以
，得 ，即 千米，由于甲、丙在 地相遇，故甲、丙速度
比为( ) ( )；又甲走到 地时丙走到 处，故两人速度比为( ) ，则(
) ( ) ( ) ，得 ，故 千米，
那么 、 间的路程为 千米。
3、甲、乙、丙同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，不断往返运动。已知山坡长
360米，甲、乙、丙的速度比为6:5:4，并且甲、乙、丙的下山速度都是各自上山速度的
1.5倍。经过一段时间后，甲到达山顶时，看见乙正在下山，此时乙距离山脚不到180米
（乙不在山脚）。求此时丙离山顶的距离。
【分析】由题意知，令甲上坡的速度为60米/秒，乙上坡的速度为50米/秒，丙上坡的速度
为40米/秒，则甲下坡的速度为90米/秒，乙下坡的速度为75米/秒，丙下坡的速度为60
米/秒。由于甲上坡需要时间6秒，下坡需要4秒；而乙上坡需要7.2秒，下坡需要4.8秒。
根据题目所给条件，当甲到达山顶时，乙正在下山，而且离山脚不到 180米。可列方程，
且 。经试算可得，当m=4时，x满足条件，x=10。
所 以 此 时 甲 走 了 46 秒 ， 丙 也 走 了 46 秒 。 由 于 丙 走 一 个 上 下 坡 共 用 时 ：
秒。 。所以此时丙正在往上走，走了40米，则丙距离
山顶的距离为320米。
4、甲、乙、丙三人从A地出发向B地前进，A、B两地之间的距离为18.6千米。已知甲步
行速度为3千米/时，骑车速度为15千米/时，乙步行速度为6千米/时，骑车速度为15千
米/时，丙步行速度为5千米/时，骑车速度为18千米/时。现在只有一辆自行车，请通过
合理安排使得甲、乙、丙在最短时间内同时到达 B地，那么至少需要多少分钟？（骑车可以带人，但只能带一人）
【分析】 分钟
5、商场里有一架自动扶梯，冬冬和阿奇都从1楼乘扶梯到2楼。冬冬乘扶梯的同时还向前
往上行走，阿奇乘扶梯的同时还向后往下行走。两人到达 2楼的时候冬冬一共向上迈了
18级台阶，阿奇一共向下迈了10级台阶，已知冬冬往上走速度和阿奇往下走速度的比
为12:5，请问：从1楼到2楼的扶梯一共有多少级台阶？
【分析】102级
（第7届华杯赛决赛团体决赛二试试题）
6、A、B两地相距125千米，甲、乙两人骑自行车分别从 A、B两地同时出发，相向而行。
丙骑摩托车以每小时63千米的速度，与甲同时从A地出发，在甲、乙两人间来回穿梭
（与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回）。若甲车速度为每小时 9千米，且当丙第
二次回到甲处时（甲、丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处），甲、乙两人相距45
千米。问：当甲、乙两人相距20千米时，甲与丙相距多少千米？
【分析】17.1千米
7、甲、乙、丙、丁四车同时在一条路上行驶：甲车12点追上丙车，14点与丁相遇，16点
与乙相遇；乙车17点与丙相遇，18点追上丁。问：丙和丁几点几分相遇？
【分析】15点20分
8、3月25日正午12点，甲、乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发，相向而行。航行中
的每天正午12点，这两艘轮船都会放出一只信鸽，以相同的速度飞向B港报信。已知甲
船3月31日放出的信鸽“阿呆”与乙船4月1日放出的信鸽“阿瓜”同时到达B港。4
月7日正午12点，乙船到达了A港，此时乙船放出了它在整个航程中的最后一只信鸽，
而该信鸽恰好与甲船同时到达B港。已知除了“阿呆”与“阿瓜”之外，还有一对信鸽
也是同时到达B港，请求出这对信鸽到达B港的准确时间。
【分析】4月11日0：00
