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第 11 讲 不定方程
兴趣篇
1、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油
恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？
【答案】大油桶3个，小油桶4个
【分析】设大桶x个，，小桶y个，则
8x+5y=44。
尾数判断：y必为偶数，8x尾数为4。
那么有8x=24 x=3
y=（44-24）÷5=4
答：有大油桶3个，小油桶4个。
2、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装 12个，小盒每盒装7个。问：
需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？
【答案】大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个
【分析】设大盒子x个，小盒子y个，则
12x+7y=150
两边取7的模，有
x=2+7k（ ）
又x≤ ，故x共有2个取值：2，9。
不定方程有2组正整数解： ，
答：需要2个大盒子，18个小盒子或9个大盒子，6个小盒子。
3、小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。若是早晨见
面，小花狗叫2声，波斯猫叫1声；若是晚上见面，小花狗叫2声，波斯猫叫3声。细
心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它
们共叫了61声。问：波斯猫至少叫了多少声？
【答案】27声
【分析】依题意，猫狗早晨见面，共叫了 3声，晚上见面，共叫了5声，设它们15天中白
天见面x次，晚上见面y次，显然x，y≤15，
那么3x+5y=61，两边取5的模，有：有3组解： ， ，
对应的小猫分别叫了：35，31，27次，故最少叫27声。
4、庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共七百多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，
19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天恰好吃4个馒头。请问：庙里共有
多少个和尚？
【答案】718个
【分析】设有7x个大和尚，19y个小和尚，那么：
112+247=359
又和尚共700多人，故和尚应有359×2=718人。
其中大和尚112×2=224人，小和尚247×2=494人。
答：共有718个和尚。
5、某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有 的职工各带一个孩子
参加。男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，它们一共种
了216棵树。请问：其中有多少名男职工？
【答案】12名
【分析】设有x名男职工，y名女职工， 个孩子。
尾数判断，x为偶数，4y尾数为2
那么，y=3，8，13，18
方程有4组整数解： ， ， ，
又x+y应是3的倍数（孩子的数量是整数个），且x，y≠0，
故只有 满足条件。
答：有男职工12人。
6、新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的 100本教科书。已知老师和学生共
14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完。
问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？
【答案】老师3名，男生3名，女生8名
【分析】设有男生x人，女生y人，老师14-x-y人，则有：
8x+5y+12（14-x-y）=100 4x+7y=68。
等号两边取4的模，有 ，y=0，4，8。方程有3组解： ， ，
依题意x+y<14，那么仅有 满足题意。
所以，男生3人，女生8人，老师14-3-8=3（人）
答：搬书的老师有3人，男生有3人，女生有8人。
7、新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20
分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元。小明花了
156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？
【答案】20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张
【分析】设20分x张，40分y张，50分z张，则
（1）-（2）×2得z-x=10 z=x+10（3）
（3）代入（2）得7x+4y=33 x=3，y=3，
于是z=3+10=13
则
8、小萌在邮局寄了三种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了
1元2角2分，那么小萌寄的这三种信的总和最少是多少封？
【答案】9封
【分析】设平信x封，航空信y封，挂号信z封，则
为了让x+y+z尽可能小，则z应尽量大
上式结果为奇数，那么5y必为奇数，y为奇数。
令y=1，则4x+10z=56
通过尾数判断x=4，z=4。
此时x+y+z=9。
9、有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张。请你判断：这些纸币的总面
值能否恰好是100元？
【答案】不能
【分析】设有 x 张 10 元，y 张 1 元，z 张 1 角，（60-x-y-z）张 1 分，则总面值为
10x+y+0.1z+0.01（60-x-y-z）=0.6+9.99x+0.99y+0.09z
若总面值恰好100元，则
9.99x+0.99y+0.09z=100-0.6
999x+99y+9z=9940注意到，等号左边是9的倍数，右边不是9的倍数，因此不可能恰好100元。
10、快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个 7元，鸡肉汉堡每个9元，牛肉汉堡每个14元。小
明去快餐店买汉堡。他付款100元，找回8元。请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？
【答案】4个
【分析】设x个鱼堡，y个鸡堡，z个牛堡。
两边取7的模，有
又y≤ ，那么仅有y=4。
故小明买了4个鸡堡。
拓展篇
1、甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完。请
问：张明共买了多少支铅笔？
【答案】10支或14支
【分析】设甲级x支，乙级y支。
两边取3的模：
又x≤
所以，x=2，5时满足条件。
方程有两组整数解： ，
2、采购员去超市买鸡蛋。每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋（盒子不能拆
开）。采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？
【答案】26盒
【分析】设买x大盒，y个小盒。
23x+16y=500
∵16y，500都是4的倍数，那么23x是4的倍数，即x是4的倍数。
x≤ ，那么x=0，4，8，12，16，20。仅当x=12时，有整数解
故共买鸡蛋12+14=26盒。
3、在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人。在一
场战役中，苏军司令部从两个集团军抽调了相同数量的师参与战斗，一共有 27.1万。
如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，
多少个航空兵师？
【答案】15个步兵师，17个航空兵师
【分析】设有步兵师x个，航空兵师y个，依题意，x+y为偶数
0.9x+0.8y=27.1 9x+8y=271
两边取8的模：
又x≤
故x=7，15，23时方程有整数解
， ，
又x+y为偶数，故仅有 满足题意。
4、甲、乙两个小队的同学去植树。甲小队有一人植树12棵，其余每人植树13棵；乙小队
一人植树8棵，其余每人植树10棵。已知两个队植树棵树相等，且每小队植树的棵树
都是四百多棵。问：甲、乙两小队共有多少人？
【答案】76人
【分析】设甲队x人，乙队y人。
13x-1-10y-2 13x+1=10y
两边取10的模：
甲小队种了13×（3+10k）-1=38+130k棵树，有400多棵。
因此，k=3，x=33，y=43
两小队共有33+43=76（人）
5、将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加
工损耗忽略不计。问：剩余部分的管子最少是多少厘米？
【答案】8厘米
【分析】36，24都是12的倍数，而
因此管子至少剩余8cm，
验证：设有x根36cm，y根24cm。
36x+24y=380-8 3x+2y=31，有整数解
故最少剩余8cm。6、某次数学比赛，用两种不同的方式判分。一种是答对 1题给5分，不答给2分，答错不
给分；另一种是先给40分，答对1题给3分，不答不给分，答错扣1分。某考生两种
判分方法均得71分。请问：这次比赛共考了多少道题？
【答案】24道或21道
【分析】设此考生对了x题，错了y题，不答z题。
消去x：（1）×3-（2）×5 6z+5y=58
两边取5的模
又z≤
所以，z=3，8时有整数解
，
故比赛有24题或21题。
7、我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一
值钱三，鸡雏三值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每
只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱。要想用100文钱恰
好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？
【答案】公鸡、母鸡、小鸡分别买0只、25只、75只；或者4只、18只、78只；或者8只、
11只、81只；或者12只、4只、84只
【分析】设有公鸡x只，母鸡y只，小鸡（100-x-y）只。
两边取4的模
又x≤
故x=0，4，8，12时有整数解：
， ， ， 。
8、小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买。钢笔 4支一盒，
每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元。小李总共花了97
元，买了90支笔。请问：三种比分别买了多少盒？
【答案】圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒
【分析】设钢笔x盒，圆珠笔y盒，铅笔z盒（2）-（1）得x-3z=7，则x=3z+7 （3）
（3）代入（1）得12z+28+6y+10z=90 3y+11z=31
z=2，y=3，x=2×3+7=13
9、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛。如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对
应17分、11分和4分。每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相
应的分数。试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个
飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？
【答案】7个；10个
【分析】设射中17分x镖，11分y镖，4分z镖。
（1）17x+11y+4z=100，
要使投飞镖数是最少，则x要尽量大，z要尽量小，
x≤
取x=5，则11y+4z=15，y=z=1
共5+1+1=7镖
（2）17x+11y+4z=120
从x的取值不好考虑，可以从z的取值入手
（ⅰ）z=0时，17x+11y=120，无正整数解
（ⅱ）z=1时，17x+11y=116，y=9，x=1，和为11
（ⅲ）z=2时，17x+11y=112，y=4，x=4，和为10
（ⅳ）z=3时，17x+11y=108，无正整数解
（ⅴ）z=4时，17x+11y=104，无正整数解
（ⅵ）z=5时，17x+11y=100，x+y≥ ，和比10大
此后再增加z的值，和必然更大。
故 时，投飞镖次数最少，为10次。
10、阿奇到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4
元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了。请问：阿奇共买了多少包奶糖？
【答案】12包
【分析】设买了巧克力a包，奶糖b包，水果糖c包，酥糖d包。两边取13的模：
又b≤
所以b=12，
即奶糖有12包。
11、小悦、冬冬去超市买水果。小悦买了2千克桔子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5
元，冬冬买了3千克桔子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元。结账的时候碰到
老师，老师买了6千克桔子和3千克苹果，那么老师应该花了多少钱？
【答案】26.1元
【分析】设桔子x元/kg，苹果y元/kg，梨z元/kg。
（1）×7-（2）×4，得：2x+y=8.7
故6x+3y=8.7×3=26.1
即老师应花26.1元。
12、红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵。小明买红笔、蓝笔各一支，共
用了23元。小强打算用109元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎
么买，都不能把109元恰好用完。求红笔的单价。
【答案】12元
【分析】依题意，设红笔x元，则23>x≥12。
109是质数
109-23=86=2×43
109-46=63=32×7
109-69=40=23×5
109-92=17
∵无论怎么买都不能把钱用光，
∴x和23-x不是109，86，63，40，17的约数。
x，23-x≠1，2，3，4，5，7，8，9，10，17，20，21，
那么仅有x=12，23-x=11满足条件。
即红笔的单价是12元。
超越篇
1、求不定方程 的所有自然数解。
【答案】 ，【分析】两边取5的模：
设
原式可化为：35x+320k=1625 7x+64k=325，
两边取64的模： x≤
x=19
代入得y=15
则
2、一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共1355斤。其中苹果每筐60斤，每
斤定价1.5元；梨每筐55斤，每斤定价1.5元；桃子每筐45斤，每斤定价1.8元。批
发市场是以定价的70%购入这些水果的，如果全部售完，将获得638.1元的利润，请问：
批发市场运进三种水果各多少筐？
【答案】苹果10筐，梨8筐，桃子7筐
【分析】售完后总收入为638.1÷（1-70%）=2127元。
设苹果、梨、桃各x、y、z筐，依题意有：
（2）-（1）×1.5得45×0.3z=2127-1355×1.5=94.5
z=7
代入（1）得60x+55y=1040 12x+11y=208。
有整数解x=10，y=8。
3、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量
的2倍。这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐了2人，
四人桌每桌只坐3人，且恰好平均每11人占用17座位。请问：图书馆两人桌、三人桌、
四人桌分别有多少张？
【答案】二人桌24张，三人桌19张，四人桌12张
【分析】设2人桌2×x张，3人桌y张，4人桌x张。
共有座位：2×2x+3y+4x=8x+3y（个）
共有客人：2x+2y+3x+1=5x+2y+1（人）
那么
y=1+3k，x=6+k（k ）
共有桌子3x+y=18+3k+1+3k
=19+6k
19+6×6=55
∴k=6，故有2人桌24张，3人桌19张，4人桌12张。
4、采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价590元的 种商品和若干个单价670元
的 种商品，其中 种商品多于 种商品，最后找回了几张100元钞票和不到10张10
元钞票。如果把 两种商品的数量调换，找回的100元和10元的钞票张数正好也调
换，那么这两种商品分别买了多少个？
【答案】 种商品3个， 种商品12个
【分析】设买了A种商品x个，B种商品y个。找回a张100元，b张10元。
那么
两式相加：1260（x+y）+110（a+b）=20000
126（x+y）+11（a+b）=2000
取11的模：
又14≤ ≤x+y≤ =16
故
代入（1）式，590×15+80y+1000-90b=10000 8y-9b=15（y≥8）
b<10故8y<105 y≤
左右两边取3的模： 故y=9或12。
其中y=9时，无整数解
y=12时，b=9，满足题意
故 ，买了3个A种商品，12个B种商品。
简单解法：A、B互换：B换A，少付670-590=80元。
100，10元互换：10元换100元，多找100-10=90元。
那么交换A、B的数量后，少付的钱的总数应是[80，90]=720元的倍数，而找钱
最多是990元，最少110元，差最大为880元。因此只能是720元。
那么10元比100元多720÷90=8（张）
B比A多 720÷80=9（个）
10元比100元多8张，那么只能是1张100元，9张10元，共计190元。
因此A、B的总价格为10000-190=9810元。
A种货（9810-670×9）÷590=3（个）
B种货：3+9=12（个）。
5、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若
购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元。现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？
【答案】81元
【分析】设甲、乙、丙、丁一件各需a，b，c，d元。
设（1）×x+（2）×y+（3）×z后，a、b、c、d系数相同，
即x+2y+2z=5x+y+6z=x+4y+6z=3x+2y+5z
整理得： ，2x+3z=0
取x=3，y=4，z=-2代入得
7（a+b+c+d）=（195×3+183×4-375×2=567
a+b+c+d=81
6、国庆节，公司发给唐师傅一张1000元的礼券，但只允许购买 五种商品，
并且必须正好把礼券用完。已知这五种商品每盒的价格和重量如下表：
商品
单价（元） 70 110 190 290 310
重量（千 1.5 2 1 10 3
克）
如果唐师傅最多只能带走20千克商品，且一定要购买 商品，共有多少种不同的买法？
【答案】3种
【分析】显然D只能买1个，否则超重。
除去D，还有10kg，710元。
现根据E买几件分类：
（1）E=2，70A+110B+190C=90，无解；
（2）E=2，70A+110B+190C=400 A=3，B=0，C=1，总重18.5kg
A=1，B=3，C=0，总重20.5kg ×；
（3）E=2，70A+110B+190C=710 A=2，B=0，C=3，总重16kg
A=0，B=3，C=2，总重18kg
A=7，B=2，C=0，总重24.5kg × ；
有 ， ， 三组解。
7、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量
是多少？（砝码只能放在天平的一边）
【答案】191克
【分析】只用13g砝码，可以所有13k克的重量（ ）
用1个17g，剩下用13g，可覆盖所有大于17g的13k+4g的重量2×17+13a=34+13a
3×17+13a=51+13a
4×17+13a=68+13a
12×17+13a=204+13a
那么比204小的 的数无法被覆盖，此数最大是204-13=191
即191g是不能称出的最大重量。
8、现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出1升汽
油，至少需要倒多少次？
【答案】26次
【分析】有2种可行取法：
（1）从100倒向1.7升，1.7升倒向4升，4升装满就倒回100升，直到1.7升（或4升）桶
中刚好有1升油为止。
若设100→1.7倒了x次，4→100升倒了y次，那么1.7x-4y=1 17x-40y=10
两边取10的模，有7x ，x=10k（k N+）
x=10，y=4时有最小值。
考虑过程：100升向1.7升倒了10次，1.7升向4升也倒了10次。
但有4次4升装满了，需要倒回100升大桶中。
但注意：1.7升第4次将4升注满时，1.7升中余下1升，此时不必再把4升桶中的油
侄回100升桶中。
故100→1.7 10次
1.7→4 10+3=13次
4→100 3次
共计26次。
（2）也可100→4（x次） 4→1.7 1.7→100（y次）此时
4x-1.7y=1 40x-17y=10，解得
x+y=43，与（1）相比大太多，不需考虑
