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第 15 讲几何综合二
兴趣篇
1、图中有半径分别为5厘米、4厘米、3厘米的三个圆，A部分（即两小圆重叠部分）的
面积与阴影部分的面积比，哪个大？大多少？
A
【分析】 ,
2、如图，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的切线与小圆相切，其长度为 10厘米。
求阴影部分的面积。（π取3.14）
10厘米
【分析】设大圆半径为 ,小圆半径为 ，根据勾股定理知 ，所以
（平方厘米）3、如图，大正方形中有三个小正方形，右上角正方形的面积为 27，左下角正方形的面积
为12，中间阴影正方形2个顶点分别位于右上角和左下角正方形的中心。请问：中间
阴影正方形的面积是多少？
【分析】图中左上角和右下角的两个长方形面积相同，设为 ,因此有
,因此 ,所以大正方形的面积为
，又因为中间阴影正方形2个顶点分别位于右上角和左下角
正方形的中心，所以
4、如图，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为 10与12.已知梯形
的
上底长度是下底的 。请问：阴影部分的总面积是多少？
10
12
【分析】设梯形的上底为 ，则下底为 ，梯形的高为 ，所以梯形的面积为
，因此
5、下图由一个边长为2厘米的正方形和一个长为5厘米的长方形拼成的，线段 把它们
各分成两部分。已知 、 两块的面积和是 、 两块面积和的1.5倍。请问：长方
形的宽是多少厘米？
M
C C E
?
A
D A D
B
B
5 2 N【分析】给 补全上 后与 的面积和相同，所以 的面积是 的面积和的
，设长方形的宽为 ，有 ，解得 ，长
方形的宽是 厘米
6、图中四边形 为平行四边形，三角形 的面积为11平方厘米，三角形 的
面积为5平方厘米。请问平行四边形 的面积是多少平方厘米？
F M
E
M
D
C
D C
A
B
A
B
【分析】过 点做 的平行线与 的延长线分别交于 ，由图可知
,同理 ,因此平行四边形
的面积是
7、如图，一张边长为18厘米的正方形纸片，从距离四角5厘米处，用剪刀剪出45°的角
度，纸片中间会形成一个小正方形。这个小正方形的面积是多少平方厘米？
5cm
45°
5cm
45° 45°
5cm B
45°
5cm M
A
【分析】根据题意可得 ,再根据勾股定理知 ，因此这个
小正方形的面积是 平方厘米
8、如图所示，平行四边形 与四边形 的面积都是30平方厘米。其中 垂直
于 ， 、 、 分别长为3、4、5厘米。求三角形 的面积和周长。A 5 D
3 4
O
B
E F C
【分析】连接 和 ,可得， 平方厘米，根据蝴蝶定
理知 (平方厘米)，再根据相似 ,因此
的周长为 厘米
9、如图， 是直角梯形， =4, =5, =3。求：（1）三角形 的面积；
（2）梯形 的面积。
B
A
O
D C
E
【分析】根据蝴蝶定理有 , ,
,因此梯形 的面积是
10、有一些黑、白两种颜色的小正方体积木，把它们摆成如图所示的形状。已知相邻的积
木颜色不同（有公共面的两块积木叫做相邻的积木），标有 的积木为黑色。图中共有
黑色积木多少块？A
A
【分析】分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木 块.
拓展篇
1、如图，正方形 的面积是64平方厘米， 、 分别为所有半圆弧的中点。求阴影
部分的面积。（π取3.14）
C
E F
B D
A
【答案】73.12平方厘米
2、图中阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积。（π取3.14）
D A
O
C
B
【分析】 ,所以 ,
因此圆环的面积是 平方厘米3、如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1厘米、9厘米、9厘
米、5厘米。求这个六边形的周长。
9 5
9 5
9
5
5
9
1 1
1
1
【分析】将原图补成一个平行四边形，因此周长为 （厘米）
4、如图，在长方形 中， =30厘米， =40厘米， 为 上一点， 垂直于
，
垂直于 。求 与 的长度之和。
A D
O
R
Q
B
C
P
【分析】连接 ,据题意有 ,根据勾股定理有 ，
(平方厘米)，
，
所以有 , (厘米)
5、如图，八边形的8个内角都是135°，已知 = , =20， =10， =30，求
的长度。
B 20 C
M N
B 20 C
A
A D
D
10
10
E
H
H E
Q P
G 30 F
G 30 F【分析】将多边形补成一个长方形后如右图，补的每个三角形都是等腰直角三角形，因为
,左右看，所以 ，因此 ，再上下看知道
,所以
6、如图，已知 , , , 。直线 将图形分成两部分，左边部分
面
积是38，右边部分面积是65。请问：三角形 的面积是多少？
A
D
C G
E F
B
【分析】设三角形ADG的高为x，三角形CBF的高为y
解得 三角形ADG面积为
7、如图， 为长方形 内的一点。三角形 的面积为5，三角形 的面积为
13.请问： 的面积是多少？
A D
P
B C
【分析】由于 是长方形，所以 ，而 ，所以
， 则 ， 所 以
．8、如图，四边形 是一个长方形， 是对角线。试比较两块阴影区域 与 的面
积大小。
A D
S
2
S
1
B C
【分析】如右图对角线 两侧的红绿的面积分别对应相等，且红绿交叉为深黑色的面
积也相等，所以
9、如果所示，一块半径为2厘米的圆板，从位置①起始，依次沿线段 、 、 滚到
位置②。如果 、 、 的长都是20厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方
厘米？（π取3.14，答案保留两位小数。）
B
① 120° ② D
A
C
【分析】圆板经过的区域如图所示，面积为
（平方厘米）
10、如图，有一块长5厘米，宽3厘米的长方形木盘，先从某个顶点沿 45°方向打出一个
小球，球碰到盘壁之后又沿45°方向弹出，当再次碰到盘壁时，仍沿 45°方向弹出，
如此继续。请问：当球再次碰到某个顶点之前它共碰壁几次？F C
B
E
D A G
【分析】如图所示,当球再次碰到某个顶点之前先后经过 ,共碰壁 次
【拓展】（2010年北京中考试题）小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，
BA=6cm.现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45°的
方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，
沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照
这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着与BC边夹角
为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边
夹角为45°的方向作直线运动，…，如图 1所示，问P点第一
次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D
点重合时所经过的路径总长是多少.
小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形
ABCD沿直线CD折叠，得到矩形 .由轴
对称的知识，发现 ， .
请你参考小贝的思路解决下列问题：
（1）P点第一次与D点重合前与边相碰_______次；P点从A点出发到第一次与D点重合时
所经过的路径的总长是_______cm；
（2）进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD>AB，动点P从A点出发，
按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD相邻
的两边上，若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为______.
11、图示一个5×5×5的正方体，将其表面全部涂上红色，再分割成 1×1×1的小正方体。
取出全部至少有一个面试红色的小正方体，组成表面全部是红色的实心长方体。求可以
组成的长方体的最大体积。【分析】取出全部至少有一个面试红色的小正方体后，三面染色的有 个；两面染色的
有 个，一面染色的有 个，重新组成红色实心长方体后，三
个面染色的放在顶点处，两面染色的放在棱上，一面染色的放在面上，又因为
时，面上放的最多（正方体除外），最多 为
个，因此可以组成的 长方体的最大体 积是
12、图是由若干个小正方体组成的。阴影部分是空缺的通道，一直通到对面。问：这个立
体图形由多少个小正方体组成？
【分析】从前往后分层数。如图所示
共有 个
超越篇
1、如图，四边形 是正方形。四边形 是等腰梯形，它的上底 厘米，下底
厘米。求三角形 的面积。
M
E
E
A D
A D F
F
B C
B
C
【分析】如 图 所 示 将 绕 点 顺 时 针 旋 转 后 变 为 , 所 以
(平方厘米)
2、如图，把长方形 的一个角折起来，使得 点恰好与 重合于 。已知 点是
边上最靠近 点的五等分点，且 。请问：三角形 的面积等于多少？
A E D
F
B C
【分析】设 ，在 中，根据勾股定理， ,在 中，根据勾股定理
，解得 ，所以
3、如图，在四边形 中， ， ， ，且 ，
。请问：四边形 的面积是多少？
A A
B B
D D
C E C
【分析】将 左右翻转后，得到两个直角三角形，如图所示,连接 ,
, 所 以 ,4、如中外侧的四边形是一个边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积。
3厘米
2厘米
【分析】在作两条垂线如右图，所以阴影面积为 平方厘米
5、如图， ，且 ， ， ，而且三角形 的面积等于
四边形 的面积。请问： 的长度是多少？
O
D D
2
2
M
C
C 1.5
2 E
1.5
E
A
N B
A B
【分析】延长 , 交于点 ,则 为等边三角形，取 的三等分点，
，根据鸟头定理 ,设 份，则
份，因为三角形 的面积等于四边形 的面
积，所以 份，因此 ,即 ,因
此 的长度是
6、如图，已知三角形 ，三角形 和正方形 的面积之比为2：3：8，三角形
的面积是4平方厘米。四边形 的面积是多少平方厘米？E
M
E D
A
N
A D
B
C
B C
【分析】由于三角形 ，三角形 面积比为 ，所以 ,设正方形的
边长为 份，根据面积之比为 2：3：8，所以 份， 份，则
, , , 则
,而三角形 的面积是4平方厘米，所以四
边形 的面积是 （平方厘米）
7、如图，有一个三角形台球桌，角 是直角，角 等于30度，从 点向 的中点打出
一个球，该球经过若干次反弹后，恰好落入某个袋中。请问：最少要反弹多少次？球最
后落入哪一个袋中？
A
E
F
G
A H
I
J
K
C B M
【分析】线反弹根据将军饮马思路可以转化为图形沿直线反射，线向 的中点打出，
要求从顶点出，也应该是一边中点，因此最终两个三角形相似最终路线为 ,
依次的反射点为 ,因此最终反弹八次落入 袋
（第9届日本算术奥林匹克决赛试题）
8、如图，正方形 有三个顶点分别在三角形 的三条边上，且 。请求出
正方形 的面积。A
7厘米
S
9厘米
P
6厘米 R
2厘米
B
C
Q
【分析】
令整个三角形ABC的面积为1
b
a
c
d
根据鸟头模型可知
则
所以
将三角形c与三角形d分别以逆时针和顺时针旋转90°即可以得到一个新的四边形。
这个心的四边形的面积为：b+c+d=7×6÷2+9×2÷2=30。
则可以求出 (平方厘米)。
b
a
c
d
