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第19讲
数字迷综合二
兴趣篇
1、将 表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案。
【答案】
［分析］设 是两个互质的自然数，那么 。由于
互质，如果 是两个自然数的倒数，那么 是4的约数。那么
。 。
2、在算式 中， 、 、 分别代表三个不同的自然数，这三个数的和可
能是多少？
【答案】14
［分析］如果 都比2大，那么 .因此 中必有一
个数为2，不妨令 。 。显然，
中必然有3的倍数。如果 中没有3，那么 ，因此必有一个数为
3。 ，因此， ， 。
3、如图，将图中每一行左右相邻的两数相加，再除以12，将所得的余数写在它们下一行
相应的圆圈内。逐行依次进行上面的操作，最后得到最低端的一个数。请问：对于第一
行中不同的自然数 ，最底端的数一共有多少种取值，分别是什么？
1 x 5 7 9
【答案】3种；分别是8，0，4
［分析］我们可以先求和，最后再取余数。如果起始5个数是 ，那么最后一个数
是 。在这道题中，最后一个数是 。
又 ，余数只能是0,4,8，共3种。
4、将最小的10个合数填到图中的10个空格中，要求满足以下条件：
①填入的数能被它所在列的最上面给出的数整除；
②第三行中每个数都比它上面那一格中的数大；
请问：第三行中5个数的和最小等于多少？2 3 4 5 6
【答案】66
［分析］填入的数有：4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。那么我们可以确定的有：5下面填
10,15。
剩下的3的倍数的数有6,9,12,18，必须要填在3和6下面。为了让第3行数字尽量小，
有： 。剩下4,8,14,16必须填在2和4下面。为了让第3行尽量小，有 。
那么整个表格填法如下： 。第3行5个数的和最小为66
5、将1至7这7个自然数填入图中的8个方格内，要求其中有一个数字用两次，其余数字
各用1次，并使图中右下角的4个方格中的每格内所填的数均等于它上方和左方相邻方
格内两个数的平均数。请给出一种填法，并求出共有多少种填法。
【答案】
［分析］如右上图。1-7这7个数中，1和7是特殊数，因为没有哪两个数的平均数是1或
7。因此1,7只能填在 这4个位置中。根据右下角的4个数可以推断：
且 为偶数。那么只有 。共有4种填法，其中一个如
下图：
6、请将数字1至9分别填入图中的各个圆圈中，使得图中每条线段两个端点中所填的数的
差（大减小）均为3或4。请给出一种填法，并求出共有多少种填法。【答案】
a x f
b e
y c d z
［分析］如右图， 是图中的特殊位置。因为 和四个数相邻，那么它和4个数的差为
3或4。因此 ， 。 与3个数相邻，因此 。 和
的情况是对等的。那么我们只考虑一个。
如果 ，那么 。那么 ；
。共有4种不同填法。再考虑 的情况，又有4种。共8种。
a 5 f
b e
4 c d 6
7、6□0.3=○，6□ =○，6□ =○，6□ =○。
在上面4个算式的方框中，分别填上加、减、乘、除4个运算符号，使4个算式的得数
之和尽可能大。请问：这个最大的和等于多少？
【答案】
［分析］要让和最大，那么乘以最大的，除以最小的；加上次大的，减去次小的。于是和
的最大值为 。
8、请用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字各一次，组成5个自然数，使得它们
依次是某个自然数的1、2、3、4、5倍。
【答案】18，36，54，72，90
［分析］设这个自然数 的数位和是 ，那么 的 倍的数位和为 。因此
这5个数的数位和是：
又5个数的数位和是45，是9的倍数。因此 。
如果 是一位数，那么 不可能是三位数，5个数不可能把10个数字各用一次。如果
是两位数，那么要求 ，因此 。5个数是：18，36，54，72，90。
9、在如图所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字
在第二行中出现的次数。第二行中的5个数字各是多少？0 1 2 3 4
【答案】从左至右分别是2，1，2，0，0
［分析］ 分别代表0,1,2,3,4在 中出现的次数。
必然都是一位数，那么它们共有5个数字，因此 。
（1） 。否则 中必有1个数是4，那么5个数中有4个数相同，这是不可能的。
（2） 。否则 中必有1个数是3， 中有3个数相同，这也是不可能的。
（3）由上两点， 。但是 ，否则 。因此 。
（4） ，那么 。如果 ，那么我们不能找到 的取值。那么 。由此可得，
。
10、图中相同字母表示相同数字，不同字母表示不同数字。且 是5的倍数，
是4的倍数，求 的所有可能值。
【答案】3235，3435，3835
［分析］
（1）若 ，没有合适的的 。
（2）若 ，此时 ，所以，
的值为3235,3435或3835。
拓展篇
1、自然数12和60是一对很有趣的数，它们的积12×60=720，恰好是12+60=72的10倍，
满足上述条件的数对还有哪些，请再举出3对。
【答案】（20，20）；（15，30）；（11，110）；（14，35）
［分析］设这两个数是 ，那么 ，那么就转化成了一
个分数拆分问题。设 是两个互质的自然数， 。如果 和
是两个自然数的倒数，那么 是10的约数。于是有： ，
对应的 的值是： 。除去 外还有4对。
2、将 表示成两个自然数的倒数之和，给出所有的答案。
【答案】
［分析］设 是两个互质的自然数，那么 。由于
互质，如果 是两个自然数的倒数，那么 是6的约数。那么
。对应的拆分方法有 。
3、求方程 的所有正整数解。
【答案】 ， ， ，
［分析］ 。设 是两个互质的自然数，
如果 和 是两个自然数的倒数，那么 是35的约数，且不能同时为1.
满足条件的数组有： ，对应的所有解有： ，
， ， 。
4、将 写成三个自然数（可以相同）的倒数之和，共有多少种方法？
【答案】10种
［分析］设 3 个自然数分别为 ，且 。那么 。又 ，那么
。
（1） 时， ， ，5种拆法；
（2） 时， ， ，3种拆法；
（3） 时， ， ，1种拆法；
（4） 时， ， ，1种拆法。
共计10种拆法。
5、 表示一个四位数， 表示一个三位数， 、 、 、 、 、 、 分别代表1至9中不同的数字。已知 。请问：乘积 的最大值
与最小值相差多少？
【答案】525000
［分析］和相同，差小积大。考虑到7个字母代表不同数字，那么 最小是1234，那
么 。乘积最大为 ；
和相同，差大积小。由于 ，那么 的最小值为234，那么 。乘积
最小为 。
最大值与最小值的差为： 。
6、从1至9中选出8个数字填入算式“□□□□＋□□□□=13579”的方框中，每个数字
恰好填一次，使等式成立。请问：
（1）没有被选出的数字是多少？
（2）两个四位数中较大的数最小是多少？最大是多少？
【答案】（1）2；（2）最小7184，最大9865
［分析］根据计算结果判断，两加数同位相加所得结果可能为： ，
， ， 。又，从1-9选出8个数，它们
的和应在36-44之间。那么只有 和 符合条件，没有被选
出的数为2。
如果是 模式，那么可以得到： （两加数同位可互
换）；如果是 模式，那么可以得到： （两加数同位
可互换）。那么，两个四位数中较大的一个最大是9865，最小是7184。
7、在下面两个算式： ， 中，相同的字母代表相同的数
字，不同的字母代表不同的数字，求 的值。
【答案】9
［分析］题目出错，无解！
8、小明按照下列算式：
乙组的数□甲组的数○1=
对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号。他将
计算结果填入图表中。有人发现表中14个数中有两个数是错误的，请你改正。请问：
改正后的两个数的和事多少？
结 甲 2 9
果 0.625 3
乙 3 14
17 51 5 27
2 5.05 4 4 1
32 64 16 32
1 1
2 3.4 3 3 1.5
4 3
【答案】2改为1.5； 改为 ；
［分析］先分析□和○所代表的符号。观察第一行的4个计算结果，前3个都比乙大，那
么我们可以推测，□代表“ ”。 ，那么○代表“＋”号。接下来我们
根据算式对每一个结果进行验算：我们发现，第一行第3个数不对，应该将 改为 ；而第二行所有数都有问题。那就
说明是2错了。我们倒推一下，发现把2改为1.5，那么所有答案都与原答案相符。因此，
出错的两个数的和是 。
9、如图，请在这个3×6方格表的每个空格中填入一个整数，使得对于第一行中的每个数，
它在第二行中出现的次数恰好等于该列第三行所填的数，而它在第三行中出现的次数又
恰好等于该列第二行所填的数。（例如第二行第一列中的 3，表示第三行中有 3个
0。）
0 1 2 3 4 5
3
【答案】第二行的数从左至右依次为3，1，1，1，0，0；
第三行的数从左至右依次为2，3，0，1，0，0
［分析］本题和兴趣篇第9题是同一类题。我们可以推知，每一行6个数的和为6。
首先考虑4,5下面必须填0。以第二行的4为例：若第二行4下填1，那么意味着第三
行有1个4，那么这个4只能填在第三行的0或1下面。如果填在0下面，那么说明第二行
有4个0，即第二行剩下4个位置都是0,。那么第二行6个数的和不为6。如果4填在1下，
说明第二行有4个1，那么第二行6个数的和已经超过6了。同理可得，4,5下面必须填
0。且第二三行中不会出现4或5（否则4,5下面不是0）。
（1） ，如果 说明3在第二行出现了2次，那么第三行除了3个0以外，还
有3个其他数，而这是不可能的。因此 ；
（2） ，如果 ，那么由（1）， 。那么 没有合适取值。因此
；
（3） ，那么第二行只有2个0 ，那么 ，
。
10、在图所示的3×3方格表中，“学、而、思、中、国、第、一、品、牌”这9个汉字分
别表示1至9中的不同数字，并满足：
①每一个“田”字形内4个数之和都相等；
② ；
③国＞第。
请问：“学而思中国第一品牌”代表的九位数是多少？【答案】516897243
［分析］为了表述方便，我们把汉字改为字母。那么 。
又每一个“田”字形内4个数之和都相等，那么我们可以得到如下等式：
。其中每个式子中都有中间数 ，可
去掉。
那么现在我们可以得到 。下面对于 的数字归属进行
讨论：
（1） ，那么 ，不成立；
（2） ，那么 。 。又 ，因此，
。那么在2,7,9里找不到合适的取值；
（3） ，那么 。 。又 ，因此，
。那么在2,8,9里找不到合适的取值；
（4） ，那么 。 。又 ，因此，
。又 ，因此 。
综上，“学而思中国第一品牌”代表的九位数是516897243。
11、将1至9填入图的圆圈内，使图中所有三角形（共7个）的3个顶点数字之和都相等。
【答案】其中一种填法如下图所示
［分析］为了便于叙述说明，圆圈内应填的数，先由字母代替．设每个三角形三个顶点圆
圈内的数字和为 ．A D
B C E F
G
H I
又∵ 、 、 、 、 、 、 、 、 ，分别代表1～9这九个数．即：
．
, ．
这15就说明每个三角形三个顶点的数字之和是15．
在1～9九个数中，三个数的和等于15的组合情况有以下8种即：(1、9、5)；(1、
8、6)；(2、9、4)；(2、8、5)；(3、7、5)；(2、7、6)；(3、8、4)；(4、5、6)；观察九
个数字在上述8种情况下出现的次数看，数字2、4、5、6、8都均出现了三次，其他数字
均只出现两次，所以，符合题意的组合中的2、8、5和4、5、6可填入图中的圆圈内，这
样就得到本题的两个解．
1 9 7 3
6 8 2 4 2 6 4 8
5 5
7 3 9 1
编者按：在找中间3个数时，可以借助3阶幻方（如上图）。在1～9九个数中，三个数的
和等于15的8种情况分别对应于幻方的3行3列2对角线。在图中的7个三角形中，3个
朝上的小三角形和3个大三角形分别对应幻方中的3行和3列。那么剩下的1个向下的三
角形顶点的3个数字，只能是幻方2个对角线之一。因此中间数只能是 或 。
12、图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形。现在把1、2、3、4分别填在大正
方形的4个顶点上，再把1、2、3、4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1、2、
3、4分别填在小正方形的4个顶点上。请问：
（1）能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，
请说明理由。
（2）能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请给出填数方法；如果不
能，
请说明理由。
【答案】（1）不能，8个三角形顶点上数字的和为60，且相等，不成立；
（2）能，其中一种填法如下图所示。
［分析］（1）大正方形顶点用了1次，中正方形顶点用了3次，小正方形顶点用了2次。
那么全部8个三角形的顶点和为 ，不是8的倍数。因此不能使8个三
角形顶点上数字之和都相等。
（2）能。我们发现，每个三角形都有2个顶点在同一个正方形上，那么这两个顶点处的数
字肯定不同。因此这8个三角形顶点和最小是 ，最大是 。4至11间
恰好有8个数。我们可构造如下图的一种填法，这里8个三角形顶点和恰好是4至113 4 4
2 4
2 3
3 1
1 1 2
超越篇
1、请在算式“ ”的每个方框中填入一个数字，使其成为等式，请写出所
有的可能。
【答案】 ， ， ，
［分析］等号两边同时乘以10，那么就变成了 其中 都是两位数。
设 是两个互质的自然数， 。如果 和
是两个自然数的倒数，那么 是21的约数，且 是2的倍数。满足条件的
数组有： 。对应的拆分方法有如下5种：
，其中 不满足条件。
于是，题目有5个答案： ， ， ，
。
2、在图的算式中填入0至9各一次，使算式成立。算式结果的四位数最小可能是多少，最
大可能是多少？
＋
【答案】最小1026；最大1602
［分析］考虑数位和。 ，又这10个数分别
是0～9，因此它们的和为45。于是 。那么进位次数只
能为1或3， 或18。
（1）若 ，那么只发生一次进位，那么必然发生在百位。进位1次，那么只
有 ，否则算式中会有重复数字。尝试可得 或
（2）若 ，那么发生三次进位。此时能组成的最小的数是1026，我们可以找
到 ；能组成的最大数是1620，无解，我们考虑次大的1602。我们可以找到 。
综上，最小1026；最大1602。
3、在图中所示的除法竖式中，只知道一个数字“3”，且商是一个循环小数。问被除数是
多少？
. .
0. 3
【答案】16
［分析］为了方便说明，标出字母．
O. ＝ ＝ ÷999＝ ÷ ，被除数与除数均为两位数．
所以 可以约分后为 ，999为除数 的倍数，
，999的约数中只有27、37为两位数，所以除数 只能是27或
37．
第四行对应为 ×3，且为三位数，所以 37．那
＝
么第四行为37×3＝111．
则第五行首位为0减1，借位后为9．
所以第五行为 90，对应为 ×B+ ＝37×B+ (
< )．
当B＝1时，37×B+ 小于37×(1+1)＝54，不满足；
当B＝2 时，37×B+ ＝37×2+ ＝90，解得被除数
EF=16．
4、图中有11条直线。请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有
数的和相等。求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数。*
【答案】18；7
［分析］设每一行几个数之和为 ，最下面一格填 。那么如下图：
a a
c
b
6
我们再来考虑 位置，通过 的直线共有5条，这5条线除了没有通过 外，每个格子都经
过一遍。那么， 。那么 为4的倍数。如果 ，那么
，数字重复。那么 ， 。
综上，这个相等的和为18，*位置为7。
5、将1至12这12个自然数填入图的灯笼中，使得四个椭圆和两条竖线上的各数之和均相
等。这个和数最大是多少？请给出一种那个填法。【答案】
c h
a f k
d i
g
b l
j
e
［分析］为了方便表述，先给圆圈编号如右上图。设每个椭圆与竖线中相等的和为 。那
么我们把所有4个椭圆中的数相加，有
那么 。
（1）若 ，那么 中必有一个不大于11。假设为 。那么
（2）若 ，那么 。 ，因此 。
而 ，那么 ，这是不可能的。
（3）若 我们能找到一组解如下：
6、在图的五个圆圈内各填入一个正整数（可以填相同的数），使得图中八个三角形的顶点
数字之和互不相同。满足这个条件的自然数有很多组，求使得所填五个数之和最小的一
组。
【答案】1，2，3，4，6
［分析］正方形4个顶点上的圆圈任取3个可以组成一个三角形。那么，要让这4个三角
形顶点和各不相同，4个顶点上的数字各不相同。中间点和正方形每条边可以组成三角形，那么，要让这4个三角形顶点和各不相同，4
条边上那个的两个数字和各不相同。
四个角上的数字最小为1,2,3,4。那么1,4；2,3不能在一起，1,4处于对角线位置。
这样得到，中间数的最小值为7。
如果1,2,3,4不全在正方形顶点上，那么正方形另一顶点的最小值为5。尝试
1,2,3,4,5，无解。尝试1,2,3,4,6，可以找到符合条件的一种填法。
7、图中共有9条直线，每条直线上有3个圆圈。现将1至9填入图中的圆圈内，能否找到
满足下列要求之一的填法？如果能，请给出具体填法；如果不能，请说明理由。
（1） 使得每条直线上3个圆圈内所填数之和都相等；
（2） 使得其中有8条直线上3个圆圈内所填数之和相等。
【答案】
（1）不能，每个数在3条不同的线上，9条线的总和为135，每条线上3个数的和为15。
自然数9所在的线上3个数只有两种情况： 和 ，没有第三种
情况。
（2）能，其中一种填法如下图所示。
［分析］（1）不能，每个点用了3次，那么可以算出每条线上3个数的和是 。
而自然数9所在的线上3个数只有两种情况： 和 ，没有第三种情
况。因此不能使得每条直线上3个圆圈内所填数之和都相等。
（2）能。但这里要注意，9条线上的数字总和还是135，而有一条线上的3个数的和与其
它8条线不同。那么这个相同的和必然不是15。
如果这8个相同的和是16，那么 。现在有
，但是在 中，找不到其中3个数的和是16，无
法构造出来。
如果这8个相同的和是14，那么 。只有 。可以构造出一
个解，如下图。8、（1）请将1-15填入图中左边的15个圆圈中，使得除了第一行外每个圆圈内的数都等
于与其肩膀上两个圆圈内的数之差（大数减小数），其中数字11已填好。
（2）能否将1-21这21个自然数分别填入图中右边的各个圆圈里，使得除了第一行以外，
每个圆圈内的数都等于其肩膀上 内的数之差（大数减小数）？如果能，请给出一
种填法；如果不能，请说明理由。
11
【答案】（1）两种填法，一种如下图，另一种与下图左右对称：
（2）不行，理由略。
［分析］（1）15只能在第1行，11上面只能是 中的一组。尝试可得
a b c（2）我们只考虑第一行的6个数的奇偶性。如果相邻两个数奇偶性相同，那么下一个数是
偶数，否则下一个数是奇数。先考虑最简单情况，即第一行所有数都是偶数。那么很显然
全部21个数都是偶数，奇数的个数是偶数（0）个。接下来，我们把第一行的其中一些偶
数变成奇数，看奇数的总数会有什么变化。我们先从改变1个数的奇偶性看起。（0表示
偶数，1表示奇数）
从对称性考虑，第一行共有3个不同位置的圆圈， 。
（i）如果我们把 位置的偶数变成奇数，那么共有6个0变成了1。如下图：
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0
1 0
1
（ii）如果我们把 位置的偶数变成奇数，那么共有8个0变成了1。如下图：
0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
0 1 0 0
1 1 0
0 1
1
（iii）如果我们把 位置的偶数变成奇数，那么共有8个0变成了1。如下图：
0 0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 1
0 0
0
我们发现，当改变第一行其中1个数的奇偶性时，不管变哪一个位置，最后奇数的个
数都是偶数个。
如果我们把另一个奇数变成偶数，那么和上面的情况类似，对于 3个位置，上图
中标有1的位置的奇偶性会改变，那么奇数的个数依然是偶数个。
由于整个图中的所有数都是第一行的 6个数决定的，上面的论述包含了第一行奇偶性
的所有情况，对于每一种情况，最后图中的21个数中都会有偶数个奇数。而1 ～21中共
有11个奇数。因此不能填出。
