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第18讲 数论综合二
兴趣篇
1、有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的
倍数。要使这4个数的和尽可能小，这4个数应该分别是多少？
【分析】对于 2，3同余，对于6同余。答案：1，7，13，19
2、已知算式 的结果可表示为 个连续自然数的和。请问：共
有多少个满足要求的自然数 ？
答案：5个
【分析】3，9，223，669，2007
3、有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，
这样的表示方法至少有4种。所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？
答案：11
【分析】2+9=3+8=5+6=7+4
4、甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008。满足上述条件的自然数有几组？
答案：4组
【分析】甲（甲-乙）=2008=2×2×2×251=2008×1
=1004×2
=502×4
=251×8
5、两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是多少？
答案：170
【分析】170=98+72
6、 个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008。请问： 最小是多少？
答案：502
【分析】2008=23×251是平均数的倍数。
平均数尽量大，和是平均数的倍数，和为1004，平均数为2。
7、一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如
，16就是一个“智慧数”。请问：从1开始的自然数数列中，第2008个
“智慧数”是多少？
答案：2680
【分析】所有的奇数均可，a2-b2=(a-b)(a+b)
所有4的倍数均可，
所有除以4余2的均不行。
2008÷3=669……1
669×4=2676
2676+4=26808、将 分别除以2,3,4…，100，可以得到99个余数（余数有可能为0）。这样99个
余数的和是多少？
答案：4565
【分析】余数分别为1，1，3，0，1，2……95
和为4565
9、小悦、冬冬和阿奇三人经常去电影院，小悦每隔2天去一次，冬冬每隔4天去一次，阿
奇每隔6天去一次。今天他们三人都去电影院，将来会有连续三天都有人去电影院。如
果今天是第1天，那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天？
答案：第50天、第51天和第52天
【分析】6，7，8
先看3和5，第6，7连续，第11，10天连续
10、有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是 10、9、8的倍数。这三个数中最小
的一个是多少？
【分析】三数分别是10，3，4的倍数，最大数
所以最小的数是50
拓展篇
1、有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，加上168后也是一个完全平方数。这
个正整数是多少？
答案：156
【分析】168-100=68=2×34 两平方数为182与162。
162-100=156
2、已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998。满足上述条件的数一共有
多少组？
答案：108组
【分析】1998÷=333
333=3×3×37，把333拆成两数之和，不含3或37的因子就行。
333-111-6=216 216÷2=108
3、冬冬往一个水池里仍石头。第一次仍1颗石头，第二次仍2颗石头，第三次仍3颗石头，
第四次仍4颗石头……他准备扔到水池的石子总数是106的倍数。请问：冬冬最少需要
仍多少次？
答案：52次
【分析】
n，n+1一奇一偶，n+1=53 n=52
4、数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦，聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数。同学们，你们知道这个数可能是多少吗？
答案：64或36
【分析】根据约数个数公式，个数为2，3，4，5，6，8，10，12选择不只一个，
个数为7，9的只有1个，分别是26=64，22×32=36
5、在一个正整数的所有约数中，个位数字为0，1,2,…，9的数都出现过，这样的正整数最
小是多少？
答案：270
【分析】10，1，2，3，4，5，6，27，18，9分别都是此数约数。
6、求最小的正整数 ，使得 是完全平方数。
【分析】最接近2006并大于2006的平方数是2025，不行
下一个2025+91=2116，不行
下一个2116+93=2209，n=29
7、请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列。
答案：16，24，36，54，81
【分析】令公比为 ，其中 ，若有6项，则末项为 ，是b5的倍数，超过
100，所以至多5项。
8、有一些自然数，它们不能用三个不相等的合数之和来表示。这样的自然数中的最大一个
是多少？
答案：17
【分析】 18以上任何数都可以
9、有些数既能表示成5个连续自然数的和，又能表示成6个连续自然数的和，还能表示成
7个连续自然数的和。例如：105就满足上述要求， ；
； 。请问：在1至1000中一
共有多少个满足上述要求的数？
答案：5个
【分析】此数是5的倍数，7的倍数，除以6余3，
最小105，最大945，共5个
10、一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为连续自然数数列。现在设
定指针第一秒转动的角度为 度（ 为小于360的整数），则其第二秒转动 度，
第三秒转动 度……如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么 一共有几种
设定方法？最小可以被设成多少？
答案：5种；15度
【分析】连续自然数和为360设有n个（a+a+n-1）×n÷2=360
（2a-1+n）×n=720 一奇一偶
720=16×32×5，奇数有6种取法，除去取1的情况，共5种。
n=16时，a最小，a=15。
11、某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，…，12。他们的电话号码依次是
12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除。已知这些
电话的首位数字都小于6，并且门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除。请问：
这一家的电话号码是多少？
答案：388089
【分析】[2，3，4，……，12]=27720
门牌9的这家为27720k+9
当k=1时，是13的倍数，27729
再考虑是6位数
27729+27720×13=388089
12、在等差数列1,8,15,22,29,36,43，…中，如果前 个数乘积的末尾0的个数比前 个
数乘积的末尾0的个数少3个，那么 最小是多少？
答案：108
【分析】第n+1个数是125的倍数，125k是除以7余1，k最小为6
125×6=750 （750-1）÷7+1=108
超越篇
1、有一些正整数，它可以表示成连续20个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之
和
（至少2个）的形式时，恰好有20种方法。这样的正整数最小是多少？（写出质因数分
解）
答案：
【分析】是10的奇数倍，最小的话，考虑2×3a×5b的数
（2首项-1+项数）×项数÷2=2×3a×5b
（2首-1+项）×项=22×3a×5b
（a+1）（b+1）=20+1=21=3×7
a=6，b=2时最小
2、有些自然数可以表示成两个合数相乘再加上一个合数的形式，例如： 。请
问：不能表示成这种形式的自然数最大是多少？
答案：35
【分析】4×4+4=20 20以上的偶数都可 以
4×4+9=25 25以上除以 8余1的奇数都可 以
4×4+15=31 31以上除以 8余7的奇数都可 以最大为35
4×4+21=37 37以上除以 8余5的奇数都可 以
4×4+27=43 43以上除以 8余3的奇数都可 以3、在给定的圆周上有100个点。任取一点标上1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个
点，标上2；从标有2的点再往后数3个点，标上3……依此类推，直至在圆周上标出
100。对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数。请问：
标有100的那个点上标出的数最小是多少？
答案：75
【分析】标100的点是5050，所以是第50个点，
的奇数倍。
考虑n为25的倍数周围的数，
n=75，n+1=76满足
4、三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理的游戏。小强与小花各选了一个自然数并分别将
它告诉小安。小安告诉小强和小花，他将分别把这两个数的和与乘积写在不同的纸上。
小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着
2008）。小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，
小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数。请问：小花所选的数是多少？
答案：1004
【分析】2008=2×2×2×251
小花与2008的差与商都是2008的约数。
5、已知三个互不相等的正整数成等差数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数
的和最小是多少？
答案：36
【分析】假设三数为k，2k，3k，乘积是6k3，只要令k=6即满足
此时三数分别是6，12，18
6、是否存在一个完全平方数，它的每一位上的数字完全都相同（至少是两位数）？如果存
在，请写出一个；如果不存在，请说明理由。
【分析】平方数个位0，1，4，5，6，9
0排除，奇数平方十位数是偶数，1，5，9排除
显然不是4的倍数排除， ，而 显然不是完全平方数。
7、有一根均匀木棍，先用红色刻度线将它分成 等份，再用蓝色刻度线将它分成 等份，
。然后按所有刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不一的小棍，
其中最长的小棍恰有100根。求 和 。
答案：135；40
【分析】不用
8、是否存在这样的自然数：在这个数后面重写一遍这个数，新组成的数是一个完全平方数？
如果存在，请举例；如果不存在，请说明理由。
答案：存在，例如82644628100
【分析】可令A=a×100……1，其中a是个多位数只要使100……1是某个平方数的倍数，就可达到目的
100……1÷11=9090……91，9是5个的话，此数还是11的倍数
9090909091÷11=826446281，可令a=826446281
