文档内容
第 20 讲 计数综合四
兴趣篇
1、在 的方格表中，取出一个如图所示的由3个小方格组成的“L”形，共有多少种不
同的取法？
【分析】每个2×2的小方块有4种取法，
∴共有7×7×4=196种取法。
2、冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭
蛋共有多少种吃法？
答案：140种
【分析】总共8个蛋，选其中4个蛋为鸡蛋 ， =70种。
3、常昊与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜 4局即获得比赛
的胜利。请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？
答案：70种
【分析】7盘比赛中选4盘作为胜方，有 种排序；可以常昊或古力胜利，所以共
×2=70种。
4、10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放
法？
答案：36种
【分析】利用插板法， =36种。
5、一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播放，其中可以有若干
天不播，共有多少种安排播出的方法？
答案：165种
【分析】类似于分橘子问题，先加4集，共12集，然后插板法， =165。
6、某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在
“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择。请问：三个选项
的统计数字共有多少种不同的可能？
答案：861种
【分析】40个人分到3个选项中，可以有选项不选，插板法； =861。7、海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏。但为了行
路安全，任意相邻的两盏灯不能同时熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？
答案：792种
【分析】其中6盏作为熄灭7盏灯的间隔先去掉，然后在12盏中选7盏灭掉， 。
8、数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？
答案：28个；56个
【分析】类似插板法， ； 。
9、有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的
一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？
【分析】对称的3×2×2=12种，
不对称的3×2×2×2×2-12=36种，
36÷2+12=30。
10、给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色不相同。
现
有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一
种
方式）
【分析】5种颜色选4种， 种，
把选中的某种颜色朝下放置，剩下3种颜色的排列有2种：顺时针和逆时针。
共5×2=10种。
拓展篇
1、在 的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由 4个单位小正方形组成的
“L”形？
答案：336个
【分析】每个2×3的长方形中，有4个“L”形，
共6×7×4=168个，两个方向：168×2=336个2、一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图）。一位射手按下列规则去击碎靶子：
先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个。若每次都遵循这一原
则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？
答案：210种
【分析】①7个靶子排序 种；对于第1列的3个，第2列的2个，第3列的2个，只能
有一种顺序，所以共
② 7 个打击的顺序中，选 3 个作为第 1 列 3 个，再选 2 个作为第 2 列。
。
3、（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点。如果它每一次跳跃的长度都是1分
米，
那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每
次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
【分析】（1）令青蛙跳的方向为前和后，则4跳中必是2前2后， ；
（2）令青蛙跳的方向为前后左右，
ⅰ 2前2后， ；
ⅱ 2左2右， ；
ⅲ 1前1后1左1右，4×3×2＝24。
共36种。
4、如图1所示，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可
以数出5个三角形；如图2所示，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最
多可以数出16个三角形。如果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可
以 数 出多少个三角形？
【分析】共有12条直线，每3条构成一个三角形。
组成 个三角形，但平行线加1条直线不能构成三角形，220-10＝210个。
5、把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如
果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？
【分析】插板法： ；借3个苹果， 。
6、冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完。请问一共有多少
种不同的吃法？
【分析】把10块糖排成一排，共有9个空隙，选择其中的一些空隙插上板，然后把隔开的
糖按顺序分天吃完。9个空隙可插可不插，都有2种选择，所以共29＝512个。
7、美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选
择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就
会被通过，否则不能通过。表决结果是拒绝缴纳。试问共有多少种可能的三种票数的统
计情况？
【分析】拒绝缴纳，说明赞成票多于一半，即不小于218票。
先从总数减217票赞成票，那么赞成票至少1票。再加弃权和反对各1票，这两
种也至少1票，就变成普通插板法了。435-217+2＝220。
8、有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？
答案：56种
【分析】把间隔的2个去掉10-2＝8，
剩下8人选3人， 种。
9、一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，
但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？
答案：715种
【分析】不重复选：重复1种：
重复2种：
1种重复3次：
1种重复4次：
共715种
10、3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列
方法？如果站成一圈呢？
【分析】一排：7个女生中选4个作为男生的间隔并排序， 种，
剩下3男3女随意排序： 种。
共 种。
一圈：3男排序： ，
女生必然分成3，2，2共3组，
选3人排序 种，剩下4人选2人排序 种，
剩下2人排序 种，
共 种。
11、一个正方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？
（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一长方体。）
答案：41个
【分析】2310=2×3×5×7×11，共5个不同的质因子。
用数字组（a，b，c）表示一条边含a个质因子，第2条边含b个质因子，第3条边含c个
质因子，那么
①（5，0，0）有1种，
②（4，1，0）有 种，
③（3，2，0）有 种，
④（3，1，1）有 种，
⑤（2，2，1）有 种，
共41种。12、用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜
色必须不相同。如果将正方体经过旋转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共
有多少种不同的染色方法？
答案：230种
【分析】①选取3种颜色 种。
②选取4种颜色，必然是两种颜色各1面，另两种颜色各染两面。 种。
共10种。
超越篇
1、某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10
个是白球。如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，
这样的两个圆环就认为是相同的。那么一共可以生产多少种不同的圆环？
答案：14种
【分析】按照白球个数分类。
共14种。
2、对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如
下的1次操作：记首位数字为 ，则将数字 与第 位上的数字对换。例如，245136可
以进行两次操作： 。请问：可以进行5次操作的六位数有多
少个？
【分析】倒推回去，1可以和任何一位交换，5种，记换过来的是a ，a 除了第1位和a 位
1 1 1
都能换，有3种……，共有5×4×3×2×1=120种。
3、大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿
成一串，要求相同颜色的珠子不能相邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个
圈呢？
答案：21种；2种
【分析】枚举：按照蓝球位置分类，位置对称的只考虑一种。
①（1，3，5）共2×2=4种
②（1，3，6）共2×2=4种
③（1，3，7） 2种
④（1，4，6）共2×2=4种
⑤（1，4，7） 3种⑥（2，4，6） 4种
共21种。
排成圈时，蓝球间的间隔是1，1，2，此时只有2种。
4、有8个对参加比赛，采用如图所示的淘汰制方式。问：在比赛前抽签时，可以得到多少
种实质不同的比赛安排表？
答案：315种
【分析】8队排序共 种，
但第1层4场比赛之间交换顺序无影响，
第2层2场比赛交换顺序无影响，
第3层1场比赛交换顺序无影响。
40320÷24÷22÷2=315。
5、平面上8个点构成一个凸八边形，将这8个点种任意2个点之间连接一条线段，已知任
意3条线段都没有交于一点，请问：
（1）八边形内共连接了多少条线段？
（2）这些线段在八边形内共有多少个交点？
（3）所形成的图形中最多可以数出多少个三角形？
答案：（1）20条；（2）70个；（3）644个
【分析】（1） ，其中8条是八边形的边
所以28-8=20
（2）由4个点组成的四边形产生1个交点。
共 个四边形，有70个交点。
（3）三角形分4类
ⅰ三个顶点为原顶点： ，
ⅱ两个顶点为原顶点： ，
ⅲ一个顶点为原顶点：每5个顶点对应5个， ，
ⅳ都不是原顶点：每6个顶点对应1个， ，
共664个。6、动物园的门票5元1张，每人限购1张。现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友
只有5元的钞票，另外5个小朋友只有10元的钞票，售票员没有准备零钱。请问：有
多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？
答案：604800种 42
【分析】如图，以向右一格代表1个1元去排队，
向上一格代表1个2元去排队。 14 42
排队方式有42种，小朋友不同，
5 14 28
∴42×5！×5！
=604800种。
2 5 9 14
7、经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，
1 2 3 4 5
且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最
1 1 1 1 1
上面拿一封信来打。有一天共有7封信要打印，
经理按1号信，2号信，……，7号信的顺序交
给秘书。午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了5封信，她已经把5号信打好了，但未
透露上午工作的其他情况。问：
（1）如果上午秘书已经把五封信打完了们那么上午打印信的顺序有多少种可能？
（2）如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？
答案：（1）42种；（2）152种
【分析】（1）每封信都有放信，打信两步，
每次打信的数目都不能超过放信的数目，
如图，往右一格代表放一封信，往上一格代表打一封信。
42
14 42
5 14 28
2 5 9 14
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
共42种可能。
（2）由于给了5封信，打了1封信，
所以至少向右走了5步，向上走了31步。
中午可能开始的位置有A、B、C、D 4种情况，
①从A出发：留1～4号信，1种情况，A到F点20种，所以共20种情况。
②从B出发：留3封信， 种，B到F点：14种，共4×14=56种，
③从C出发：留2封信， 种，C到F点：9种，共6×9=54种。
④从D出发：留1封信， 种，D到F点：5种，4×5=20种。共150种情况。
8、（1）将8个黑球和20个白球排成一圈，每2个黑球之间至少有2个白球的排列方法有
多少种？
（2）8名女生，20名男生站成一圈，要求每2名女生之间至少有2名男生。有多少种不
同的站法？（经过旋转后相同的算作同一种排法，答案用阶乘表示。）
答案：（1）41种；（2） 种
【分析】（1）8个黑球7个间隙，要放16个白球，剩余4个再放。
Ⅰ 4个一起 1种
Ⅱ 3+1 7种
Ⅲ 2+2 4种
Ⅳ 2+1+1 种
Ⅴ 1+1+1+1 10种
共43种
（2）8名女生排圈，有 =7！种，
20名男生先选8人插空，剩下12人用插板法分成8堆，
共 种，男生排序有20！种，
共7！× ×20！=
