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第21讲 构造论证二
兴趣篇
1、如图所示，在 的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格。
现在已经建了两个哨所。请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监
视到。
【分析】第二行第三列
2、（1）把1,2,3，…，8,9按合适的顺序填在图1第二行的空格中，使得每一列上、下两
数之和都是平方数。
（2）能否将1,2,3，…，10,11按合适的顺序填在图2第二行的空格中，使得每一列上、
下两数之和都是平方数？
【分析】（1）考虑到9只能和7配，先填入9和7；剩下的6只能和3配，4只能和5配，
依次填好；所以从左至右填入的数依次是8，2，6，5，4，3，9，1，7；
（2）考虑11只能和5配，那么没有数和4配，不能
3、今有长度为1,2,3，…，198,199的金属杆各一根。请问：能否用上全部的金属杆，不
弯曲其中的任何一根，把它们焊接成：（1）一个正方体框架；（2）一个长方体框架？
【分析】（1）总长 ，不是12的倍数，不能；
（2）能，此时长方体框架的长、宽、高之和为 ，可以分别为4577、199、199
4、老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分是
1分或者2分，数学得分是1分、2分或者3分，语文得分是1分、2分、3分或者4分。
如果一位同学的三门功课成绩都不低于另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另
一个同学优秀。测验完成后老师发现这六位同学谁也不比别人优秀，请问：这六位同学
三科得分分别为多少？
【分析】这6位同学在三门课上的得分分别是（1分，1分，4分），（1分，2分，3分），（1分，3分，2分），（2分，1分，3分），（2分，2分，2分），（2分，3分，
1分）
5、把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数？
【分析】如果每边红色圈数目都是奇数，那么5条边总红色圈个数就是奇数；而实际上每
个红圈被计算了2次，总红色圈数目是2的倍数，是偶数，矛盾，所以不能
6、（1）能否在 的方格表的各个小方格内分别填入数1,2，…，15,16，使得从每行中
都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？
（2）能否在 方格表的各个小方格内分别填入数1,2，…，24,25，使得从每行中都
可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？
【分析】（1）能，构造一个满足条件的表格
1 2 15 16
3 4 13 14
5 6 11 12
7 8 9 10
（2）如果可以的话，每行数字和都是偶数，那么总数字和是偶数，而 1~16的数字和是奇
数，矛盾，所以不能
7、如图是把一张 的方格纸去掉两个角所得的图形。
（1）请把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个 小长方形（不论横竖）的2个
方格中都恰有1个红格和1个蓝格；
（2）能否用 的小长方形恰好拼满这张表格？
【分析】（1），其中空白的格子涂上蓝色， 涂红色；
（2）不能，因为每次 的小长方形恰好覆盖了1红1蓝，如果可以的话，覆盖的
红与蓝的数目应该一样，但图中红蓝数目是不一样的，所以不能。
8、全班25名同学分五排，每排五人坐在教室里，每个座位的前、后、左、右位子称为它
的
邻座。在儿童节每一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地
送出礼物，使得每一位同学都刚好收到一份礼物呢？
【分析】把25个方格进行黑白相间染色，每次交换座位，总是一个黑色格子的人交换到白
色格子里，一个白色格子的人交换到黑色格子里，如果可以的话，黑白数目应该一样，但
实际黑白格子数目不同，所以不能
9、将一个 的方格表分为如图的5块区域，在其中填入16个互不相同的正整数，使得
每一块区域中所填数的和都相等。这16个数的总和最小是多少？
【分析】对于6格区域，4格区域，3格区域，这13个格子最小是1~13，和是91，那么平
均一个区域至少是31，按照每块区域31构造一个表格，如下图。最小是155
15 12 4 11
13 2 3 10
18 5 6 9
31 7 8 1
10、能否将1,2,3，…，9,10排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于16？能否使得
任意相邻三个数之和都不大于15？
【分析】能，其中一种排法是10，5，1，9，4，3，8，2，6，7；
不能，如果能的话，除去首个数字，剩下9个数正好分为3组，每组数之和都不大于15，
总和就不大于45，但10个数总和是55，所以只能每组数正好15，且第一个数是10。此时
除去最后一个数字，剩下9个数也正好分为3组，每组数之和都不大于15，总和就不大于
45，但10个数总和是55，那么末位数字也是10，矛盾，所以不能。拓展篇
1、有7个不为0的自然数，它们的和正好等于它们的积。请写出一组满足要求的数。
【分析】1，1，1，1，1，2，7或者3,4,1,1,1,1,1
2、如图，平面上有5个点，它们之间可以连10条线段。请问：至少要去掉多少条线段，
才
能使得其中没有以这5个点为顶点的三角形？
【分析】共10个三角形，每去掉1条线段，能破坏3个三角形，要破坏10个三角形，至
少要去掉4条，如图，构造一个去掉4条满足条件的图形
3、如图，一个幸运转盘分为内圆和外环两部分，并且被五条半径平均分割开。其中内圆是
固定的，外环可以转动，但转动后必须使得分割线重新组成半径。请把0至9这10个
数字分别填入图中的10个区域，使得不管外环怎么转动，总有大圆的一个扇形的两部
分所填数字的和为9。
【分析】其中一种填法如下图所示。4、平面上6条直线，它们的交点称为“结点”，每条直线上“结点”的个数称为这条直线
的“标志数”。图1中的3条直线的“标志数”都等于2，只有一种取值；图2中的3
条直线的“标志数”却有两种取值。现在请你用直尺画出 6条直线，使得它们中间任何
3条直线都不共点，且相应的6个“标志数”至少取3个不同的数值。
【分析】每组平行线的标志数都相同，而要取到3个不同的标志数，至少有3组不同的平
行线，且每组平行线的数目也不一样。其中一种画法如下图所示，图中的标志数有 3，4，
5
5、（1）能否将1至8这8个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？
（2）能否将1至8这8个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不小于
13？
【分析】（1）能，其中一种放法是1，4，8，7，3，6，5，2；
（2）不能，8两边有两个数，设为a和b，如果a、b恰好是1和2的话，这连续的3个数
和小于13。如果a和b中有1个大于2的话，至少是3。那么除它和8之外的6个数，正好
分成2组，总和不小于36-8-3=25，肯定有1组比13小。
6、一本故事书有10篇故事，这些故事占的篇幅从1页到10页各不相同。如果从书的第1
页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最
多有几篇？最少有几篇？【分析】令偶数故事都从奇数页开始，最多8篇；令偶数故事都从偶数页开始，至少3篇
7、在 的方格表中至少应该去掉多少个格子，才能使得剩下的图形中不存在如图所示
的“L型”？
【分析】把图形分成4个田字格，每个田字格至少要去掉2个才能满足要求，所以至少要
去掉8个；构造一种去掉8个的方法：去掉1，3行。
8、黑板上写着3个数8、18、28，老师现在请一些同学上黑板对这3个数进行操作。进行
一次操作是指：把3个数进行如下变化，或者减1，或者加2。请问：能否经过若干次
操作后得到6、7、8？能否经过若干次操作后得到8、8、8？
【分析】观察除以3的余数（2,0,1）（1,2,0）（0,1,2）（2,0,1）所以6，7,8可以，
8,8,8不行。
9、有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（各次这个数目可以改变），
也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中。请问：
（1）如果开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都
拿光？
（2）如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都
拿光？
如果可以，请设计一种取石子的方案；
如果不可以，请说明理由。
【分析】（1）能，按照（0,21,48）（24,21,24）（4,1,4）（2,3,4）（0,1,2）
（1,1,1）（0,0,0）的顺序就能做到；
（2）不能，因为总数除以3的余数不变，原来总数除以的余数不为0，所以最后除以3的
余数也不能是0。
10、（1）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？
（2）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？
【分析】（1）能。下面的排法满足要求：9，7，2，14，11，5，4，12，13，3，6，10，
15，1，8
（2）能。下面的排法满足要求：15，4，13，6，11，8，9，10，7，12，5，14，3，
2，1
11、（1）能否用16个如图1所示的“T型”拼成一个 的棋盘？
（2）能否用8个如图1所示的“T型”和8个如图2所示的“L型”拼成一个 的棋
盘？
（3）能否用1个如图1所示的“T型”和15个如图2所示的“L型”拼成一个 的棋盘？
【分析】（1）能，把图形分成4块，每块都按照下左图的方式分割；
（2）能，把图形分成4块，其中2块按照下左图分割，2块按照下右图分割；
（3）不能，把整个图形黑白相间染色，那么“T型”覆盖黑色格子数为1个或者3个，而
“L型”覆盖黑色格子数为2个，那么总覆盖黑格子数为奇数个，但实际总黑色格子数为
偶数个。所以无法覆盖。
12、（1）能否用9个如图1所示的 的长方形拼成一个 的棋盘？
（2）能否用9个如图2所示的“L型”拼成一个 的棋盘？
【分析】（1）不能，按照如左图方式染色，每个 的长方形覆盖了1个黑色格子，那么
9个 的长方形只能覆盖9个黑色格子，但图中有10个黑色格子，所以不能完全覆盖；
（2）不能，如右图方式染色，每个“L型”覆盖奇数个黑格，9个“L型”覆盖了奇数个
黑格，而黑格总数是偶数，所以不能完全覆盖。超越篇
1、能否可以用77个 的长方体小木块装满一个 的长方体匣子（匣内不留任
何
空隙）？若能，请给出具体装法；若不能，请说明理由。
【分析】不能， 的长方体木块任何一面都可以被3整除，而 的长方体的匣
子的 面不能被3整除。
2、黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数 和 ，则增写
这个数，比如：可增写 5（因为 ）；可增写 11（因为
）。一直写下去，请问：能否得到下面两个数？若能，请你写出得到的
过程；若不能，请说明理由。
（1）143；（2）144
【分析】（1）1，2，5，11，71，143；（2）不能，除2外全是奇数
3、将平面上每一点都染成红、黄两种颜色之一。证明：无论怎样染色，都一定存在长为 1
的线段，它的两个端点是同样颜色的。
【分析】边长为1的等边三角形三个顶点必有两点同色，那两点所在边符合要求
4、在 的方格表中至少需要放多少个棋子，才能保证每行、每列以及每一条与对角线
平行的直线上都有棋子？（角上单独一个格子也可以组成一条与对角线平行的直线，图
中阴影部分的三个格子组成的直线也是与对角线平行的直线。）
【分析】显然每个角上的小方格都要放棋子，然后按照从右上到左下的方向，共有 11条斜
线，这11条斜线每条斜线上都至少要1个棋子，再加上角上多放的1个，至少要12个，
如下图是一种放12个棋子的方法。5、（1）能否从图1中的 格出发，每次走到相邻的小格子，最后走到 格，并且每个格
子都刚好到一次？
（2）中国象棋的马是走“日”字型路线。如图2，如果马在 点，那么它能跳到 、 、
、 四点之一。如果马开始在 点，它能否跳3步后回到 点；能否跳9步后
回到 点？
【分析】（1）按照黑白相间染色，每次走都是从黑格到白格或者从白格到黑格，如果可以
的话，黑格数目应该等于白格，但实际黑格数和白格数目不相同，所以不能；
（2）把所有格点黑白相间染色，每次走都是从黑点到白点或者从白点到黑点，如果可以的
话，黑点数目和白点应该一样，但实际黑点和白点数目不相同，所以不能。
6、如图，用若干个 和 的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个 的大长
方形，最少要用小长方形共多少个？
【分析】用 的长方形越多，长方形总数越少，解不定方程 ，得最大的y
值为18，对应1个 的。次大的y值为12，对应x值为8个，如下图染色，每个 的
长方形覆盖1个黑格，每个 的最多覆盖1个黑格，由于黑格数是20个，所以总的长方形个数至少要20个。所以只能选择次大的方法，对应总共有20个长方形。
7、六位音乐家在一个音乐节上相聚，在安排的每场音乐会上，有某些音乐家演奏，而另外
几位音乐家就作为观众欣赏演出。要使每位音乐家都能够作为观众观看其他任何一位音
乐家的表演，这样的音乐会至少要安排几场？为什么？
【分析】定义一位音乐家观看另一位音乐家为1次欣赏，那么总共需要30次欣赏才能满足
要求。安排3人演奏3人观看，能得到最多的欣赏次数，为9次，根据抽屉原理，至少需
要安排4场演出，才能够满足要求。以下是满足要求的4场演出，音乐家分别编号为1~6
号，括号内的数字为演出的音乐家编号。（1,2,3）（1,5,6）（2,4,6）（3,4,5）
8、把 的方格纸分成若干张 、 或 的小纸片，最少能分成多少张？
【分析】按照如图方式分割，最少21块
