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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题23 同余定理
知识精讲
同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的：
两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。
记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相
同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。
同余的性质比较多，主要有以下一些：
性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5
的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它
们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），
32+19≡2+4≡1（mod 5）
性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除
数整除。
性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数
除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困
难的题变容易。
典例分析
【典例分析01】求1992×59除以7的余数。
应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使
计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与
“1992×59”除以 7 的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以 7 的余数就可知道
1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）所以1992×59除以7的余数是5。
【典例分析02】已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？
一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年的国庆节
的总天数被7除的余数就行了。但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必
算出这个总天数。
2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”
天 。 因 为 366×2≡ 2×2≡ 4 （ mod 7 ） ， 365×7≡ 1×7≡ 0 （ mod 7 ） ，
366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）
答：2010年的国庆节是星期五。
【典例分析03】求2001的2003次方除以13的余数。
2001除以13余12，即2001≡12（mod 13）。根据同余性质（4），可知2001的2003
次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数
比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。经试验可知12的平
方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod
13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。根据
同余性质（2）可知12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）
因为：2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13）
12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1
12的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）
所以2001的2003次方除以13的余数是12。
【典例分析04】自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，m最大是多少？
自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，换句话说就是16520≡14903≡14177
（mod m）。根据同余性质（3），这三个饿数同余，那么它们的差就能被m整除。要求m
最大是多少，就是求它们差的最大公约数是多少？
因为16520—14903=1617=3×7的平方×11
16520—14177=2343=3×11×71
14903—14177=726=2×3×11的平方
M是这些差的公约数，m最大是3×11=33。
【典例分析05】某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？
我们可从较大的除数开始尝试。首先考虑与1模8同余的数，9≡1（mod8），但9输以7余数不是5，所以某数不是9。17≡1（mod 8），17除以7的余数也
不是5。25≡1（mod 8），25除以7的余数也不是5。33≡1（mod 8），33除以7的余数
正好是5，而且33除以6余数正好是3，所以这个数最小是33。上面的方法实际是一种列
举法，也可以简化为下面的格式：
被8除余1的数有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，……其中被7除
余5的数有：33，89，……这些数中被6除余3的数最小是33。
真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（ ）
A．78 B．88 C．98 D．90
【思路点拨】除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；由此用排除法求
解．
【规范解答】解：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；
A、7+8＝15；
15是3的倍数，所以78是3的倍数，故A错误；
D、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是0，那么是5的倍数，故D错
误；
BC、而这个数的末尾应是3或8；B和C都符合，只要再看哪个数除以3余1即可．
88÷3＝29…1；
98÷3＝32…2；
88除以3余1，所以88符合要求．
故选：B．
【考点评析】解决本题也可以这样想：这个两位数是3和5的公倍数减2，由此得这个
两位数是3×5×6﹣2＝88．
2．（2分）一堆彩色玻璃球，二个二个一数余1个，三个三个一数余1个，五个五个一数
也余1个，则这一堆玻璃球至少有（ ）个．
A．11 B．16 C．21 D．31
【思路点拨】“二个二个一数余1个，三个三个一数余1个，五个五个一数也余1个”，说明这堆玻
璃球的个数是2、3、5的公倍数加1，求这堆玻璃球最少有多少个，先求出2、3、5的
最小公倍数，然后加上1，由此解决问题即可．
【规范解答】解：2、3、5是互质数，它们的最小公倍数是：
2×3×5＝30；
玻璃球的个数就是30+1＝31（个）；
答：这一堆玻璃球至少有31个．
故选：D．
【考点评析】此题主要考查求三个数的最小公倍数的方法：三个数互质，它们的最小公
倍数是它们的积，并用此决解实际问题．
3．（2分）一筐桔子6个人平均分余1个，7个人平均分也余1个，这筐桔子至少有（
）个．
A．13 B．21 C．8 D．43
【思路点拨】如果这筐桔子去掉一个，也就可以被6和7整除，由此求出6、7的最小公
倍数加1即可得出答案．
【规范解答】解：6和7的最小公倍数是6×7＝42，
42+1＝43（个），
答：这筐桔子至少有43个．
故选：D。
【考点评析】解决此题的关键是抓住余数相同，转化为整除解决问题．
4．（2分）一箱桃子有40多个，如果把这箱桃子每8个装一盒，还剩5个；如果每10个
装一盒，也剩余5个，这箱桃子有（ ）个。
A．40 B．45 C．48
【思路点拨】如果把这箱桃子每8个装一盒，还剩5个；如果每10个装一盒，也剩余5
个，说明这个数减去5后，能被8和10整除，这个数就是8和10的公倍数再加上5，据
此解答。
【规范解答】解：8和10的最小公倍数为40，
40+5＝45（个）
符合题意。
答：这箱桃子有45个。
故选：B。【考点评析】本题主要考查了同余定理，题目较为简单，找到8和10的公倍数是本题解题的关键。
5．（2分）某数分别被2、3、5除，都余1，那么这个数最小是（ ）
A．11 B．16 C．31
【思路点拨】由题意可知：要求的数即比2、3、5的最小公倍数多1的数，先求出2、
3、5的最小公倍数，然后加1即可．
【规范解答】解：因为2、3、5三个数两两互质，
所以2、3、5的最小公倍数是：2×3×5＝30，
所以这个数最小是：30+1＝31；
答：这个数最小是31；
故选：C．
【考点评析】此题属于同余定理习题，明确要求的数即比2、3、5的最小公倍数多1的
数，是解答此题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）某个大于1的整数除33、45得到的余数相同，那么这个整数最大可能是 12
。
【思路点拨】根据同余定理知：这个数一定能整除这两个数的差；将两个数相减，求出
差的最大公因数即为本题答案。
【规范解答】解：45﹣33＝12
12的因数有1，2，3，4，6，12。
所以这个整数最大可能是12。
故答案为：12。
【考点评析】本题是一道关于约数和倍数的题目，关键是理解同余定理。
7．（2分）一个大于1的整数分别除167，352，574得到相同的余数，则这个整数为 37
．
【思路点拨】根据同余定理，167，352，574这三个数两两的差都是这个整数的倍数，
这个整数为这三个差的因数；然后把这三个差分解质因数，即可找出这个整数．
【规范解答】解：352﹣167＝185＝5×37，
574﹣352＝222＝2×3×37，
574﹣167＝407＝37×11；
所以这个整数为三个差的公有因数：37；
答：这个整数为37．故答案为：37．
【考点评析】本题解答的依据是同余定理之一：a、b对于模n同余的充要条件是：a与
b的差能被n整除．
8．（2分）用某数分别去除数560、906和1252，所得余数都相同，则这个数是 346 或
17 3 ．
【思路点拨】因为560、906和1252被同一个数去除，所得的余数相同，根据同余定理
可知，则其中任意两个数的差应是这个除数的整数倍，906﹣560＝346，1252﹣906＝
346，1252﹣560＝692，346＝2×173，692＝2×2×173，所以这个数是346或173．
【规范解答】解：因为906﹣560＝346，1252﹣906＝346，1252﹣560＝692；
346＝2×173，692＝2×2×173，
所以这个数是346或173．
故答案为：346或173．
【考点评析】如果几个数被同一个数除余数相同，则这几个数两两相减的差是这个除数
的整数倍．
9．（2分）22003与20032的和除以7的余数是 5 ．
【思路点拨】2的次方÷7其实是有规律可循的，2÷7余2，4÷7余4，8÷7余1，
16÷7 余 2，32 除以 7 余 4，64÷7 余 1，2 的次方÷7 的余数是 2，4，1 循环的．
2003÷3余2，那么就是循环中第2个数，也就是4，2003×2003＝4012009.4012009÷7
余1，两个余数相加就是4+1＝5；由此得出2的2003次方与2003的2次方的和除以7
的余数是5．
【规范解答】解：由2的次方÷7的余数是2，4，1循环的可得：
2003÷3＝667…2，所以22003÷7的余数是4；
因为2003×2003＝4012009，
4012009÷7余1，即20032÷7余1，
所以22003与20032的和除以7的余数是1+4＝5，
故答案为：5．
【考点评析】解答此题的关键是根据2的次方÷7余数发现规律，求出22003÷7的余数是
4．
10．（2分）用一个数分别去除32、47、62都余2，这个数最大是 1 5 ．
【思路点拨】32、47、62都减去余数2后得到的三个差能被这个数整除，所以先求出三个差：32﹣2
＝30，47﹣2＝45，62﹣2＝60，这个数最大是30、45、60的最大公因数，然后把30、
45、60分解质因数，求出30、45、60的最大公因数即为所求．
【规范解答】解：32﹣2＝30，
47﹣2＝45，
62﹣2＝60，
30＝2×3×5，
45＝3×3×5，
60＝2×2×3×5，
30、45、60的最大公因数是3×5＝15，
因此，用15分别去除32、47、62都余2；
故答案为：15．
【考点评析】本题考查了同余定理之一：同余的几个数减去余数后都能被除数整除．知
识拓展：本题实际是“孙子定理”中余数相同情况的一种特殊应用．
11．（2分）442，297，210分别除以某个大于1的自然数，能得到相同的余数，则该自然
数是 2 9 。
【思路点拨】结合同余定理分析可知，因为442，297，210分别除以某个大于1的自然
数，能得到相同的余数，则442﹣297＝145，442﹣210＝232，297﹣210＝87都能被该
自然数整除，而145＝5×29，232＝8×29，87＝3×29，则这个除数为29。
【规范解答】解：442﹣297＝145
442﹣210＝232
297﹣210＝87
145＝5×29
232＝8×29
87＝3×29
则这个除数为29。
故答案为：29。
【考点评析】本题考查同余定理。将有余数的问题转化为最大公约数问题解决即可。
12．（2分）一排士兵（不超过12人）报数，1、2、1、2……地报数，排尾的人报1；1、
2、3、1、2、3……地报数，排尾的人报2；1、2、3、4、1、2、3、4……地报数，排尾
的人报3。有 1 1 名士兵。【思路点拨】根据题意可知，士兵的人数要同时符合下列条件：①士兵人数不超过12；
②2个2个地数，余1；③3个3个地数，余2；④4个4个地数，余3。可以从7名士
兵开始尝试计算，找出正确答案。
【规范解答】解：根据题意可知，士兵的人数要同时符合下列条件：①士兵人数不超过
12；②2个2个地数，余1；③3个3个地数，余2；④4个4个地数，余3。
（1）假设有7名士兵，7÷2＝3……1，7÷3＝2……1，7÷3的余数不是2，不符合题
意。
（2）假设有8名士兵，8÷2＝4，8÷2无余数，不符合题意。
……
以此类推，假设有11名士兵，11÷2＝5……1，11÷3＝3……2，11÷4＝2……3，符合
题意。
答：有11名士兵。
故答案为：11。
【考点评析】解决本题也可以这样想：若增加1人，则总人数是2、3、4的公倍数，所
以总人数是2、3、4的公倍数少1，即11。
13．（2分）如果33、27与21分别除以同一个数，余数都是3，那么这个除数最大的是
6 ．
【思路点拨】把33、27、21分别减去余数3可得30、24、18，再找出这三个数的最大
公约数，就是除数最大值，由此可以解决．
【规范解答】解：33﹣3＝30，27﹣3＝24，21﹣3＝18，
30＝2×3×5，
24＝2×2×2×3，
18＝2×3×3，
30、24和18的最大公约数是2×3＝6，所以这个除数最大是6．
故答案为：6．
【考点评析】此题是求几个数的最大公约数的方法的应用，关键是分析出30、24、18
这三个数．
三．应用题（共15小题，满分74分）
14．（4分）不满千人的士兵等分为4队，每队排成14人或12人一排都余8人，后来改为
8人一排则无剩余．求一共有多少人？
【思路点拨】1000÷4＝250人，不满千人，每队就是不满250人；每队排成14人或12人一排都余8
人，那么每排的人数就比14和12的公倍数多8，先找出250以内比14和12的公倍数多
8的数，再满足最后一个条件，就是这个数是 8的倍数，从而得出每队的人数，再乘
4，就是总人数．
【规范解答】解：1000÷4＝250（人），不满千人，每队就是不满250人；
14＝2×7
12＝2×6
14和12的最小公倍数是：2×6×7＝84
84+8＝92
92÷8＝11…4，92不是8的倍数，不合题意；
84×2+8＝176
176÷8＝22，
符合要求；
84×3+8＝260＞250，不合题意．
所以每队的人数是176人
176×4＝704（人）
答：一共有704人．
【考点评析】解决本题关键是明确每队的人数是比14和12的公倍数多8的数，且是8
的倍数的数，从而讨论求解．
15．（5分）某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数可能是几？
【思路点拨】因为这个数除41、11得到的余数相等，那么这个整数是41﹣11＝30的因
数，然后找到大于1的30的因数即可．
【规范解答】解：因为这个数除41、11得到的余数相等，
那么这个整数是41﹣11＝30的因数，
30大于1的因数，即这个整数可能是：2、3、5、6、10、15、30．
答：这个整数可能是：2、3、5、6、10、15、30．
【考点评析】本题考查了因数与倍数的问题，关键是明确41和11两个数的差是这个数
的倍数．16．（5分）一堆苹果不少于10个，三个三个的数，四个四个的数，五个五个的数都多两
个，这堆苹果最少有多少个？
【思路点拨】“三个三个的数，余2个，四个四个的数，余2个，五个五个的数，余2
个”，说明这堆苹果的个数是3、4、5的公倍数加2；3、4、5的最小公倍数是3×4×5
＝60，又知这堆苹果不少于10个，可确定这堆苹果最少有60+2个，由此解决问题即可．
【规范解答】解：3、4、5两两互质，
3、4和5的最小公倍数是：3×4×5＝60
60+2＝62（个）
答：这堆苹果最少有62个，
【考点评析】此题主要考查求三个数的最小公倍数的方法：三个数互质，它们的最小公
倍数是它们的积，并用此决解实际问题．
17．（5分）有一个数，它比30小，比20大，如果平均分成4份还余2，如果平均分成6
份就余4，这个数是多少？
【思路点拨】如果平均分成4份还余2，如果平均分成6份就余4，如果这个数加上2之
后就能被4和6整除，即是4和6的公倍数，然后分解质因数求出比30小，比20大的
公倍数即可．
【规范解答】解：根据分析可得，
4＝2×2
6＝2×3
4和6的最小公倍数：2×2×3＝12
12×2﹣2＝22
20＜22＜30
答：这个数是30．
【考点评析】本题考查了余数问题，关键是明确这个数加上2之后是4和6的公倍数．
18．（5分）用151、197、238分别除以同一个整数，所得3个余数的和是31，这个整数
是几？
【思路点拨】由题意，这三个数的和减去31后，得到的差一定能被这个整数整除，然
后这个差分解质因数，即可得出结论。
【规范解答】解：由题意可得：
151+197+238﹣31＝555
555＝3×5×37因为5做除数余数和最大是12，不符合题意，15做除数余数和是1+2+13＝16，不符合
题意，
所以这个数是37。
答：这个整数是37。
【考点评析】本题考查同余问题的灵活运用，解题的关键是理解这三个数的和减去31
后，得到的差一定能被这个整数整除。
19．（5分）如果13511、13903、14589这3个自然数除以一个自然数，所得的余数相同，
那么这个自然数最大是多少？
【思路点拨】根据据同余定理，13511、13903、14589这三个数两两的差都是这个整数
的倍数，这个整数最大为这三个差的最大公因数；然后用短除法即可找出这个最大自然
数。
【规范解答】解：3903﹣13511＝392
14589﹣13903＝686
14589﹣13511＝1078
2×7×7＝98
答：这个自然数最大是98。
【考点评析】本题是一道有关短除法求最大公因数和最小公倍数、带余除法（中国剩余
定理）的题目。
20．（5分）在小于1000的自然数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然
数是几？
【思路点拨】根据题意，根据题意，利用列举法，找到符合题意的数：除以 4余3，那
么这个数是奇数，除以5余2，尾数是2或者7，所以这个数尾数是7．小于1000的尾
数是7的比较大的数有：997、987、977、967、957、947…最大的除以4余3，除以5
余2，除以7余4的数刚好是907．据此解答．
【规范解答】解：除以4余3，那么这个数是奇数，除以5余2，尾数是2或者7，所以
这个数尾数是7．
小于1000的尾数是7的比较大的数有：997、987、977、967、957、947…最大的除以4余3，除以5余2，除以7余4的数刚好是907．
答：在小于1000的自然数中，被4除余2，被5除余3，被7除余5的最大自然数是
907．
【考点评析】本题主要考查同余定理，关键把除以4余3，除以5余2，除以7余4转化
为这个数比4、5、7的公倍数少2，再进行计算．
21．（5分）用自然数a去除498、450、414，得到相同的余数，a最大是多少？
【思路点拨】因为498、450、414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差应能被a
整除，据此求出三个差的最大公因数即可。
【规范解答】解：498﹣450＝48，450﹣414＝36，498﹣414＝84
48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
84＝2×2×3×7
所以a最大是（48，36，84）＝2×2×3＝12
答：a最大是12。
【考点评析】本题考查了同余问题，关键是明确它们两两之差应能被a整除。
22．（5分）有一袋苹果，数量在100﹣200之间，每2个一盘余1个，每3个一盘余1个，
每5个一盘也余1个，这袋苹果至少多少个？
【思路点拨】每2个一盘余1个，每3个一盘余1个，每5个一盘也余1个，就是求出
2、3、5三个数的最小公倍数多1的数；由此解答求出2、3、5的公倍数，然后加上1，
再找到满足数量在100﹣200之间的最小的数即可求解．
【规范解答】解：2、3、5三个数的最小公倍数是2×3×5＝30，
100÷30＝3…10
200÷30＝6…20
30×4+1＝121（个）
30×5+1＝151（个）
30×6+1＝181（个）
答：这堆苹果最少有121个．
【考点评析】此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总
数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．
23．（5分）求被5除余2，被6除余5，在100至200之间所有这样的数．【思路点拨】被6除余5，余数是5，如果减去5，这个数就是6的倍数，且被5除还余
2，这样从最小的6的倍数开始寻找，6÷5＝1…1；那么6×2＝12，符合被5除余2，所
以这个数最小是12+5＝17，然后根据以后每30个（5和6的最小公倍数）有这样一个数，
找出在100至200之间所有这样的数即可．
【规范解答】解：被6除余5，余数是5，如果减去5，这个数就是6的倍数，且被5除
还余2，
这样从最小的6的倍数开始寻找，6÷5＝1…1，不符合要求；
那么，6×2＝12，符合被5除余2，
所以这个数最小是：12+5＝17，
起始的一个是17，自此以后每30个（5和6的最小公倍数）有这样一个数，
所以是：17，47，77，107，137，167，197，
所以，在100至200之间这样的数有：107，137，167，197．
答：在100至200之间所有这样的数是107，137，167，197．
【考点评析】本题先根据余数的特点，找出符合要求的最小的这个数，再利用 5和6的
最小公倍数30按规律进行求解．
24．（5分）一堆桃子，2个一堆剩1个，3个一堆剩1个，4个一堆剩1个，这堆桃子至少
有多少个？
【思路点拨】一堆桃子，2个一堆剩1个，3个一堆剩1个，4个一堆剩1个，这堆桃子
至少有多少个？余数相同，找到2、3、4的最小公倍数，再加上余数1，得解．
【规范解答】解：2、3、4的最小公倍数是3×4＝12（个），
12+1＝13（个）．
答：这堆桃子至少有13个．
【考点评析】此题考查了孙子定理，即同余定理．
25．（5分）有一个两位数，被14除余2，被21除余2，被12除余2，这个两位数是多少？
【思路点拨】把这个两位数减去2，则能被14、21、12整除，即这个两位数是 14、
21、12的公倍数加上2，据此解答即可．
【规范解答】解：14＝2×7
21＝3×7
12＝2×2×3
14、21、12的最小公倍数是：2×3×7×2＝84，84+2＝86
答：这个两位数是86．
【考点评析】解答本题的关键是先求出14、21、12的最小公倍数．
26．（5分）有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数．
【思路点拨】根据同余定理知：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是
说它是任意两数差的公约数．据此进行解答．
【规范解答】解：101﹣45＝56
101﹣59＝42
59﹣45＝14
56、42和14的最大公约数是14，14的约数有1，2，7，14，所以这个数可能为2，7，
14．
答：这个数可能是2，7，14．
【考点评析】本题主要考查了学生对同余定理的掌握情况．
27．（5分）有一些糖果，不足60块．平均分给7个小朋友或8个小朋友，都剩下1块，
这些糖果有多少块？
【思路点拨】如果糖果的数量少1块，那么平均分给7个小朋友或8个小朋友都不会有
余数，所以糖果的数量是7和8的公倍数多1，由此找出60以内的7和8的公倍数，再
进一步求解．
【规范解答】解：7和8是互质数，它们的最小公倍数是：7×8＝56，
那么其它的公倍数就要大于60；
所以糖果有56+1＝57（块）
答：这些糖果有57块．
【考点评析】本题关键是根据总数量除以7、8之后的余数都是1，先求出7和8在60
以内的公倍数，再加上1即可求解．
28．（5分）有一个不等于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整
数是多少？
【思路点拨】根据同余定理知：这个数能整除967，1000，2001，任意两个数的差，求
出这几个数差，再分解质因数，这个数的公因数，就是这个整数．据此解答．
【规范解答】解：1000﹣967＝33
2001﹣1000＝10012001﹣967＝1034
33＝3×11
1001＝7×11×13
1034＝2×11×47
因33、1001和1034的公因数是11，所以这个整数是11．
答：这个整数是11．
【考点评析】此题主要考查了同余问题的基本解法即：将几个具有相同余数的数两两相
减，它们差的公因数即是这几个数的共同的除数
