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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题23 同余定理
知识精讲
同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的：
两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。
记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相
同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。
同余的性质比较多，主要有以下一些：
性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5
的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它
们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），
32+19≡2+4≡1（mod 5）
性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除
数整除。
性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数
除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困
难的题变容易。
典例分析
【典例分析01】求1992×59除以7的余数。
应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使
计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与
“1992×59”除以 7 的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以 7 的余数就可知道
1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）所以1992×59除以7的余数是5。
【典例分析02】已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？
一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年的国庆节
的总天数被7除的余数就行了。但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必
算出这个总天数。
2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”
天 。 因 为 366×2≡ 2×2≡ 4 （ mod 7 ） ， 365×7≡ 1×7≡ 0 （ mod 7 ） ，
366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）
答：2010年的国庆节是星期五。
【典例分析03】求2001的2003次方除以13的余数。
2001除以13余12，即2001≡12（mod 13）。根据同余性质（4），可知2001的2003
次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数
比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。经试验可知12的平
方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod
13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。根据
同余性质（2）可知12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）
因为：2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13）
12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1
12的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）
所以2001的2003次方除以13的余数是12。
【典例分析04】自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，m最大是多少？
自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，换句话说就是16520≡14903≡14177
（mod m）。根据同余性质（3），这三个饿数同余，那么它们的差就能被m整除。要求m
最大是多少，就是求它们差的最大公约数是多少？
因为16520—14903=1617=3×7的平方×11
16520—14177=2343=3×11×71
14903—14177=726=2×3×11的平方
M是这些差的公约数，m最大是3×11=33。
【典例分析05】某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？
我们可从较大的除数开始尝试。首先考虑与1模8同余的数，9≡1（mod8），但9输以7余数不是5，所以某数不是9。17≡1（mod 8），17除以7的余数也
不是5。25≡1（mod 8），25除以7的余数也不是5。33≡1（mod 8），33除以7的余数
正好是5，而且33除以6余数正好是3，所以这个数最小是33。上面的方法实际是一种列
举法，也可以简化为下面的格式：
被8除余1的数有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，……其中被7除
余5的数有：33，89，……这些数中被6除余3的数最小是33。
真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（ ）
A．78 B．88 C．98 D．90
2．（2分）一堆彩色玻璃球，二个二个一数余1个，三个三个一数余1个，五个五个一数
也余1个，则这一堆玻璃球至少有（ ）个．
A．11 B．16 C．21 D．31
3．（2分）一筐桔子6个人平均分余1个，7个人平均分也余1个，这筐桔子至少有（
）个．
A．13 B．21 C．8 D．43
4．（2分）一箱桃子有40多个，如果把这箱桃子每8个装一盒，还剩5个；如果每10个
装一盒，也剩余5个，这箱桃子有（ ）个。
A．40 B．45 C．48
5．（2分）某数分别被2、3、5除，都余1，那么这个数最小是（ ）
A．11 B．16 C．31
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）某个大于1的整数除33、45得到的余数相同，那么这个整数最大可能是
。
7．（2分）一个大于1的整数分别除167，352，574得到相同的余数，则这个整数为
．
8．（2分）用某数分别去除数560、906和1252，所得余数都相同，则这个数是 ．
9．（2分）22003与20032的和除以7的余数是 ．
10．（2分）用一个数分别去除32、47、62都余2，这个数最大是 ．11．（2分）442，297，210分别除以某个大于1的自然数，能得到相同的余数，则该自然
数是 。
12．（2分）一排士兵（不超过12人）报数，1、2、1、2……地报数，排尾的人报1；1、
2、3、1、2、3……地报数，排尾的人报2；1、2、3、4、1、2、3、4……地报数，排尾
的人报3。有 名士兵。
13．（2分）如果33、27与21分别除以同一个数，余数都是3，那么这个除数最大的是
．
三．应用题（共15小题，满分74分）
14．（4分）不满千人的士兵等分为4队，每队排成14人或12人一排都余8人，后来改为
8人一排则无剩余．求一共有多少人？
15．（5分）某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数可能是几？
16．（5分）一堆苹果不少于10个，三个三个的数，四个四个的数，五个五个的数都多两
个，这堆苹果最少有多少个？
17．（5分）有一个数，它比30小，比20大，如果平均分成4份还余2，如果平均分成6
份就余4，这个数是多少？18．（5分）用151、197、238分别除以同一个整数，所得3个余数的和是31，这个整数
是几？
19．（5分）如果13511、13903、14589这3个自然数除以一个自然数，所得的余数相同，
那么这个自然数最大是多少？
20．（5分）在小于1000的自然数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然
数是几？
21．（5分）用自然数a去除498、450、414，得到相同的余数，a最大是多少？
22．（5分）有一袋苹果，数量在100﹣200之间，每2个一盘余1个，每3个一盘余1个，
每5个一盘也余1个，这袋苹果至少多少个？
23．（5分）求被5除余2，被6除余5，在100至200之间所有这样的数．24．（5分）一堆桃子，2个一堆剩1个，3个一堆剩1个，4个一堆剩1个，这堆桃子至少
有多少个？
25．（5分）有一个两位数，被14除余2，被21除余2，被12除余2，这个两位数是多少？
26．（5分）有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数．
27．（5分）有一些糖果，不足60块．平均分给7个小朋友或8个小朋友，都剩下1块，
这些糖果有多少块？
28．（5分）有一个不等于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整
数是多少？
