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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题09 面积计算（等积变形）
知识精讲
计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联
系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加
以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求
问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身
的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形
再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。
典例分析
【典例分析01】已知图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=BC，求阴影部分
的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连
接DF，可知S =S （等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转
△AEF △EDF
化为求三角形BDF的面积。
因为BD=BC，所以S ＝2S 。又因为AE＝ED，所以S ＝S ＝2S 。
△BDF △DCF △ABF △BDF △DCF
因此，S ＝5 S 。由于S ＝8平方厘米，所以S ＝8÷5＝1.6（平方厘米），
△ABC △DCF △ABC △DCF
则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
【典例分析02】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个
三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？【思路导航】已知S 是S 的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；从S 与S 相等
△BOC △DOC △ABD △ACD
（等底等高）可知：S 等于6，而△ 与△ 的高相等，底是△ 的2倍。
△ABO ABO AOD AOD
所以△ 的面积为6÷2＝3。
AOD
因为S 与S 等底等高 所以S ＝6
△ABD △ACD △ABO
因为S 是S 的2倍 所以△ 是△ 的2倍
△BOC △DOC ABO AOD
所以△ ＝6÷2＝3。
AOD
答：△ 的面积是3。
AOD
【典例分析03】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为
15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图18－9所示）。
【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它
们的面积相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三
角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形CEF
面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。
15×3＝45（平方厘米）
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。
【典例分析04】如图18－13所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯
形ABCD的面积是多少平方厘米？【思路导航】因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性
质，可知S ＝S ；S ＝S ＝4，类推可得每个三角形的面积。所以，
△DBC △CDA △COB △DOA
S ＝4÷2＝2（平方厘米） S ＝4×3＝12平方厘米
△CDO △DAB
S ＝12+4+2＝18（平方厘米）
梯形ABCD
答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。
【典例分析05】如图所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形
ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。
【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。
由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16÷2）＝8。用8减去3得到三
角形ABE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此
可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三
角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5÷2＝2.5，所
以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5。
真题演练
一．选择题（共4小题，满分8分，每小题2分）
1．（2分）如果图中每个小方格代表1cm2，那么大长方形的面积是（ ）cm2．
A．56 B．60 C．58 D．662．（2分）把 割补成 后，面积（ ）
A．不变 B．变大了 C．变小了 D．无法判断
3．（2分）如图，长方形的面积与圆的面积相等，已知阴影部分的面积是84.78cm2，圆的
周长是（ ）cm．
A．18.84 B．75.36 C．37.68
4．（2分）如图的等腰梯形中，甲三角形的面积（ ）乙三角形的面积。
A．大于 B．等于 C．小于 D．无法判断
二．填空题（共11小题，满分22分，每小题2分）
5．（2分）如图三角形ABC的面积是10平方厘米，AE＝ED，BD＝2DC，则阴影部分的面积
是 平方厘米．
6．（2分）如图，ABCDEF为正六边形，P为其内部任意一点，若△PBC、△PEF的面积分别
为3和12，则正六边形ABCDEF的面积是 ．7．（2分）如图所示，梯形下底是上底的1.5倍，梯形中阴影面积等于空白面积，三角形
OBC的面积是12，那么三角形AOD的面积是 ．
8．（2分）如图中E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的三等分点，如果阴影部分面
积为10平方厘米，则四边形ABCD的面积等于 平方厘米．
9．（2分）右图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、
CD、DA的中点，左图中阴影部分是右图中阴影部分的面积 %．
10．（2分）如图，大正方形ABCD的边长是10cm，小正方形CGFE的边长是6cm，那么图中
阴影部分的面积是 cm2。11．（2分）如图，涂色部分的面积是3cm2，BD＝DC，AE＝ED，则三角形ABC的面积为
cm2．
12．（2分）如图，在△ABC中，AE：EB＝1：3， ，AD与CE交于F，若△AFC面积
为24平方厘米，则△DEF的面积是 平方厘米．
13．（2分）如图，在△ABC中，BD＝AD，EF＝3，FC＝2，△ADH与△AGC的面积和等于四
边形EFGH的面积，那么BE的长是 ．
14．（2分）如图，E，F，G，H是边长为2的正方形ABCD各边的中点，则图中阴影部分的
面积等于 ．15．（2分）用一块正方形玻璃来修补窗户，需要在相邻的两边分别划掉5厘米和2厘米，
共划掉298平方厘米，原来正方形玻璃的面积是 平方厘米，剩下部分的面积是
平方厘米．
三．解答题（共13小题，满分70分）
16．（5分）如图，大正方形的一个顶点A落在小正方形的中心，已知大、小正方形的边
长分别是19厘米和10厘米，求重叠部分的面积．
17．（5分）如图1、图2所示，梯形上底AB长3厘米，下底CD长6厘米，高为3厘米，P
为CD边上任意一点，求阴影部分的面积。
小东是这样想的：P为CD边上任意一点，不妨让点P落在点C处（如图3所示），这样
阴影部分就是三角形ADC，面积是6×3÷2＝9（cm2）。当点P落在其它位置时，虽然阴
影部分的形状不同，但面积应该是不会变的，仍是9cm2。
你认为东东的想法怎么样？写出你这样判断的理由。18．（5分）如图，有三个正方形ABCD，BEFG和CHIJ，其中正方形ABCD的边长是10，正
方形BEFG的边长是6，那么三角形DFI的面积是 ．
19．（5分）如图，正方形ABCD的边长为10厘米，E，F，G，H分别为正方形四边上的
中点，求阴影部分的面积是多少平方厘米．
20．（5分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？21．（5分）求小路的占地面积．
如图所示：一块长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路．
22．（5分）如图所示，用一张斜边长为17厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边长为29
厘米的黄色直角三角形纸片，一张蓝色的正方形纸片，拼成一个直角三角形．红、黄两
张三角形纸片面积之和是多少？
23．（5分）如图，有边长分别是15分米和20分米的两个正方形，一条直线把这两个相连
的正方形分成甲、乙、丙、丁四部分．甲三角形的面积比丙三角形的面积大多少平方分
米？24．（6分）如图，O是半圆的圆心，AC＝BC，CD＝DB，AB＝12厘米，求阴影部分的面积．
25．（6分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ABC，∠BAB＝∠CAC＝
1 1 1 1
90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5．
（1）求线段AB、AC所扫过的图形的面积；（结果保留π）
（2）画出线段BC所扫过的图形并用阴影表示出来，然后求出阴影部分的面积．（结果
保留π）
26．（6分）如图，直角梯形ABCD中，AB＝12，BC＝8，CD＝9，且三角形AED、三角形FCD
和四边形EBFD的面积相等，求三角形DEF 的面积．
27．（6分）如图，ABCD是一个长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路，求小路的面积．
28．（6分）如图是直角三角形中有一个内接正方形，求图中阴影部分的面积．单位：厘
米．提示：分拆图形时常用“分割、填补、组合、旋转”等方法．
