文档内容
第 16 讲最值问题二
内容概述
各种类型的复杂最值问题，通常采用枚举、局部调整和极端分析等方法．有些情况下，既要构造出取得
最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．
典型问题
兴趣篇
1．用0，1，2，…，9这10个数字各一次组成5个两位数a、b、c、d、e．请问：a – b + c – d + e最大可能
是多少？
2．将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那
组有多少人？
3．有11个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比
赛多少场？
4．我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如8 = 3 + 5．有的数有几种不同的表示方法，
例如100 = 3 + 97 =11 + 89 =17 + 83.请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？
5．一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？
6．(1)在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？
(2)从1至9中选取四个不同的数字填人算式 中，使算式的结果小于1．这个结果最大是多
少？
7．如图16-1，等腰直角三角形ABC中，
CA = CB = 4厘米，在其中作一个矩形CDEF，
矩形CDEF的面积最大可能是多少？
8．如图16-2，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形，这个八边形的边长恰好为
1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面积最大可能是多少？
9．在4×4的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点，请问：最多可以将多少
个方格染成黑色？
10．古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请
教一个问题：如图16-3，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的
路线最短，应该让马在什么地方饮水？拓展篇
1．如图16-4所示，用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架．这个长方体的体
积最大可能是多少？
2．把14表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大，问：这个乘积最大可能是
多少？
3．从1，2，…中选出8个数填人下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果．
口÷口×（口＋口）－（口×口＋口－口）．
4．有13个不同的自然数，它们的和是100.其中偶数最多有多少个？最少有多少个？
5．将6、7、8、9、10这5个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的5个乘积相加，
请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？
6．有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60.这5 袋糖块总共最少有多少块？
7．已知算式9984 - 8 - 8 - … - 8的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能是多少？
8．用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，
请写出这个乘法算式．
9．所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的一个是多少？
10．把l至99依次写成一排，形成一个多位数： 从中划去99个数字，剩下的数字组成一个
首位不是0的多位数，请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？
11．邮递员送信件的街道如图16-5所示，每一小段街道长1千米．如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有
的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？
12．如图16-6，有一个长方体形状的柜子，一只蚂蚁要从左下角的 A点出发，沿柜子表面爬到右上角的B
点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来．超越篇
1．一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键 “ + ” 尚能使用，因此可以输入77，707这样
只含数字7和0的数，并且能进行加法运算．为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？
2．用1、3、5、7、9这5个数字组成一个三位数 和一个两位数 ，再用0、2、4、6、8这5个数字
组成一个三位数 和一个两位数 ．请问：算式 × - × 的计算结果最大是多少？
3．将l、2、3、4、5、6分别填在正方体的6个面上，计算具有公共棱的两个面上的数的乘积，这样的乘
积共有12个，这12个乘积的和最大是多少？
4．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减
法算式，那么这个算式中的差最大是多少？
5．有的偶数可以写成两个奇合数之和，例如24 =9 +15，100= 25+75.所有不能表示为两个奇合数之和的偶
数中，最大的一个是多少？
6．如图16-7，有一个圆锥形沙堆的底面直径BC为2厘米，母线AC的长度为6厘米．请问：
(1)如果一只蚂蚁想从B点去C点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线(蚂蚁只能在圆锥表面
走）；
(2)如果一只蚂蚁需要由曰点出发到达线段AC上（可以到其上的任意一点），那么最短路线应该怎么走？
7．如图16-8，一个边长为10的正方形四个角剪去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么
所得的长方体容积最大是多少？
8．一个5×5的方格表中，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都构成等差数列．
已知任取n个方格，只要知道了这些方格中的数，就可以把方格表补填完整，那么，n的最小值是多少？
