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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题01 定义新运算
知识精讲
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的
一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义
的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，
如：*、等，这是与四则运算中的“、、、·”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于
各种运算定律的。
典例分析
【典例分析01】假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。
13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26
5*4=（5+4）+（5-4）=10
13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26
【典例分析02】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6).
3△(4△6).
＝3△【4×6－（4+6）÷2】
＝3△19
＝4×19－（3+19）÷2
＝76－11
＝65
【典例分析03】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，
4*2=4+44。那么7*4=？，210*2=？
7*4=7+77+777+7777=8638
210*2=210+210210=210420【典例分析04】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果
⑥－⑦=⑦×A，那么A是几？
A =（ ⑥－⑦）÷⑦
=（⑥－⑦）×⑦
=⑦⑥－1
=－1
=
【典例分析05】设a⊙b=4a-2b+ab,求x⊙（4⊙1）＝34中的未知数x。
4⊙1＝4×4-2×1+×4×1＝16
X⊙16＝4x－2×16+×x×16
＝12x－32
X ＝5.5
真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•禹城市期中）我们学过+、﹣、×、÷四种运算，现在规定*是一种
新的运算，A*B＝3A﹣2B，那么 * ＝（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2分）（2018•新都区）规定一种新运算“*”，a*b＝ab＝ ，例
如3*2＝32＝9，那么（ ）*4＝（ ）
A．2 B． C． D．8
3．（2分）（2021•拱墅区模拟）已知a△b＝a×b+a+b，则（1△2）△（3△4）等于（
）
A．24 B．10 C．95 D．119
4．（2分）（2018•吴江区）若大于等于a小于等于b的所有数记为[a，b]，m在[5，15]
内，n在[20，30]内， 值在（ ）内。
A．[2，4] B．[ ，6] C．[5，30] D．[ ， ]
5．（2分）（2022•汉川市）现规定“*”是一种新的运算，A*B＝3A﹣2B。那么7*6*5的
值为（ ）
A．17 B．5 C．210 D．18
二．填空题（共8小题，满分18分）
6．（2分）（2022秋•紫阳县期末）小新发明的新运算“*”。请你先看看，再填空。
3*4＝3×4+3÷4＝12.75 0.4*0.2＝0.4×0.2+0.4÷0.2＝2.08
a*b＝ 3.6*0.4＝
7．（2分）（2022秋•繁峙县期末）对于a、b定义新运算：a★b＝a（a﹣b）+1。比如
5★2＝5×（5﹣2）+1＝5×3+1＝16。如果4★x＝13，那么x＝ 。
8．（2分）（2022秋•平桥区期末）罗马数字里符号“Ⅰ”代表1，符号“Ⅴ”代表5，符
号“Ⅹ”代表10，用罗马数字表示数其中的一条规则是：在一个较大的罗马数字的右边
记上一个较小的罗马数字，表示较大数加较小数。如Ⅷ，表示“5+1+1+1＝8”。想一想，
罗马数字ⅩⅦ表示阿拉伯数字 。
9．（2分）（2021秋•丹凤县期末）如果规定：符号*表示选择两个数中较大的数，#表示
选择两个数中较小的数，例如3*8＝8，3#8＝3，则4.5#5.4＝ ，（3.6*15.6）
÷（1.2#1.8）＝ 。
10．（2分）（2021秋•罗甸县期末）规定“*”号的一种运算法则，a*b＝a2+2b，如2*3＝
22+6＝10，那么4*5＝ ，3*x＝19则，x＝ 。
11．（4分）（2022•右江区）英国《每日邮报》曾报道，数学奇才普莱什•塔尔沃克在网
络上出了道棘手的数学难题，已经有约300万人挑战了这个“智力测验“。塔尔沃克提
出的规则是：6+4＝210，8+5＝313，15+3＝1218……
那么（1）9+7＝ ；
（2） + ＝620。
12．（2分）（2023•红安县模拟）如果A△B表示2×A+B，例如3△4表示2×3+4＝10，那
么，8△5＝ 。
13．（2分）（2022秋•揭西县期末）李军设计了一个猜数游戏，如图：若输入的数是a，则表示输出结果的式子是 ；张平输入一个数，最后的输出结
果是2.4，那么张平输入的数是 。
三．计算题（共3小题，满分18分，每小题6分）
14．（6分）（2022秋•龙里县校级月考）仔细观察，再计算。
规定： △3＝ × ， △4＝ × ，
求 △2+ △3的值。（写出计算过程）
15．（6分）（2017•兴义市）定义新运算：
已知：
a3+b3＝（a+b）×（a2﹣ab+b2）
a3﹣b3＝（a﹣b）×（a2+ab+b2）
求：
（1）133+73；
（2）193﹣93
16．（6分）（2022•南海区）x，y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y＝
mx+ny，x△y＝kxy，其中m，n，k均为自然数，已知1*2＝5，（2*3）△4＝64，求
（1△2）*3的值。
四．解答题（共10小题，满分54分）17．（6分）（2020春•东台市期中）如果 *3＝ × × ， *4＝ × × × 。
那么请你探究： *3＝
*4﹣ *4＝（写出计算过程）
18．（6分）（2021•彭水县）图1中的每相邻两条线间，有从上至下的几条横线（即
“桥”），这样就构成了“天梯”。规定，运算符号“+、﹣、×、÷”在“天梯”的
竖线与横线上运动，它们在运动过程中按自上而下，且逢“桥”必过的规则进行，最后
运动到竖线下方的“〇”中，将a、b、c、d、e连接起来，构成一个算式。例如，
“+”号根据规则就应该沿箭头方向运动，最后向下进入“〇”中，其余3个运算符号
分别按规则运动到“〇”中后，就得到算式a÷b×c﹣d+e。
（1）根据图2所示的“天梯”写出算式，并计算当a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，e＝5，
时所写算式的值：
（2）在图2添加1条虚线，使图2中最后结果的“﹣”、“+”位置互换。19．（5分）（2021秋•如皋市期中）（1）棱长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放
置。当重叠到3层时，共有 个正方体，它的表面积是 平方厘米。当重
叠到5层时，共有 个正方体。
（2）规定： △3＝ × × ， △4＝ × × × ，则： △4+ △3＝
。（请写出计算过程）
20．（5分）（2020•双峰县）找规律，写得数。
⊙+∮＝91；≌+∮＝63；≌+⊙＝46；⊙＝ ，∮＝ ，≌＝ 。
21．（5分）（2019•长沙）定义一种新运算；aξb＝3a+5ab+kb，其中a和b为任意两个不
为0的数，k为常数，比如：2ξ7＝3×2+5×2×7+7k。
（1）如果5ξ2＝73，8ξ5与5ξ8的值相等吗？请说明理由。
（2）当k取什么值时，对于任何不同的a和b，都有aξb与bξa相等，即新运算
“ξ”符合交换律？
22．（5分）（2019•重庆）对于实数x、y，定义一种新的运算*，x*y＝ax+by，其中a、b
为常数，等式的右边是通常的加法与乘法运算，已知3*2＝7，2*3＝8，则1*1是多少？23．（5分）（2022•岷县模拟）定义新运算：若a△b＝5a+3b，当x△10＝40时，x△ 的
值是多少？
24．（5分）（2022•苍南县模拟）小军在玩一种计算游戏，游戏的规则是 ＝ad﹣bc，
例如： ＝4×6﹣3×5。那么 ＝ ； 的结果是最小的质数，
那么x＝ 。
25．（6分）（2021秋•菏泽月考）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→
密文（加密），按收方由密文→明文（解密），已知加密规则为明文 a，b，c对应的密
文a+1，2b+4，3c+9，例如明文1，2，3对应的密文为2，8，18，如果接收的密文7，
18，15，则解密得到的明文是什么？
26．（6分）（2019•长沙）定义一种新运算：a*b＝3a+5ab+kb，其中a和b为任意两个不
为0的数，k为常数．
比如：2*7＝3×2+5×2×7+7k（1）如果5*2＝7*3，8*5与5*8的值相等吗？请说明理由
（2）当k取什么值时，对于任何不同的a和b，都有a*b与b*a，即新运算“*”符合交
换律？
