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2022-2023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义
专题22 容斥原理
知识精讲
专题简析：
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全
体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成
集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这
个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合
C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包
含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：
C=A＋B－AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系
有些语
言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计
算。
典例分析
【典例分析01】五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生
报。两种报纸都订的有多少人？【思路引导】用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两
种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数
多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
【典例分析02】某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人
懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？
【思路引导】把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21
人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－
21=48人。
【典例分析03】学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学
不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25
人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
【思路引导】两个小组都参加的有25人，因此，至少参加这两种小组的一个小组的人数是
84＋86－25=144人，所以，这两个小组都不参加的人数是250－144=106人。
【典例分析04】实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有 20人获
奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人
数是多少人？
【思路引导】由“16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年级的；由“12人不
是五年级的”可知：12人是四年级和其它年级的。用16＋12可算出四年级加五年级以及
两个其它年级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：
（16＋12－20）÷2=4人，该校参加书法比赛获奖的总人数是4＋20=24人。
【典例分析05】在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有
既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？
【思路引导】显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次，在懂日语的45人
中又统计过一次。因此，75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语言都懂的人数。然
后，从懂英语的75人中减去两种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了：75－20=55人。
真题演练
一．选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）
1．（2分）（2021春•灵台县期末）学校开设两个兴趣小组，三（3）班42人都报名参加
了活动，其中27人参加书画小组，24人参加棋艺小组，两个小组都参加的有（ ）A．7人 B．8人 C．9人 D．10人2．（2分）（2022秋•徽县期末）三年级同学参加跳绳比赛（如图），参加这两个项目的
一共有多少人？下面解答正确的是（ ）
A．25+42 B．25+42+6 C．25+42﹣6
3．（2分）（2022秋•吉首市期末）同学们去动物园参观，每人至少参观了大象馆和猴子
馆中的一个馆，参观大象馆的有10人，参观猴子馆的有15人，两个馆都参观的有6人。
一共有（ ）人去动物园参观。
A．25 B．19 C．31
4．（2分）（2022春•裕华区期末）五（1）班有18名学生喜欢踢足球，22名学生喜欢乒
乓球，其中有5人既喜欢踢足球又喜欢打乒乓球，有6人既不喜欢踢足球又不喜欢打乒
乓球，五（1）班一共有（ ）名学生。
A．41 B．40 C．45
5．（2分）（2022春•栾城区期末）光明小学五年级一班有49名同学。学校组织同学报名
参加活动，参加音乐活动的有36人，参加美术活动的有31人，两种活动都参加的有25
人，也有同学两种活动都没有参加，都没有参加的同学有（ ）人。
A．42 B．5 C．7
6．（2分）（2021春•大名县期末）五（一）班有40名学生，25名学生参加了音乐小组，
23名学生参加了美术小组，两个小组都参加的学生有（ ）名。
A．8 B．15 C．17 D．18
7．（2分）（2022秋•汇川区期末）某次比赛中三（1）班获得“阅读之星”称号的有22
人，获得“速算小能手”称号的有35人，两种称号都获得的有15人，全班每人至少获
得了一种称号。三（1）班一共有（ ）人。
A．57 B．62 C．42
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
8．（2分）（2022秋•勃利县期末）三年级同学参加跳绳和拍球比赛，参加跳绳比赛的有
18人，参加拍球比赛的有12人，两项比赛都参加的有2人，参加跳绳和拍球比赛的一
共有 人。9．（2分）（2022秋•曾都区期末）同学们去动物园游玩，参观大象馆的有38人，参观熊
猫馆的有45人，两个馆都参观的有15人，参观大象馆和熊猫馆的一共有 人。
10．（2分）（2022秋•金乡县期末）三年级参加两个竞赛组的人数如图，参加绘画组有
人，两个组都参加的有 人。三年级一共有 人参加了这两个组的竞赛。
11．（2分）（2022春•迁安市期末）五（1）班订阅《少年文摘》的有19人，订阅《学与
玩》的有24人，两种都订的有13人。问至少订阅一本杂志的有 人。
12．（2分）（2022春•正定县期末）五一班同学都参加了周六或周日课外活动。周六有
15人参加，周日有18人参加；两天都参加的有5人。五一班共有 人。
13．（2分）（2022春•高邑县期末）三（2）班参加唱歌兴趣小组的有20人，参加舞蹈兴
趣小组的有15人，两个小组都参加的有13人，只参加一个兴趣小组的有 人。
14．（2分）（2021春•武侯区期末）一个学校，去年会游泳的学生比不会游泳学生的2倍
多60人，今年又有160人学会了游泳，这时会游泳的学生正好是不会游泳学生的5倍。
这个学校有学生 人。
15．（2分）（2022秋•丰南区期末）三年级同学参加兴趣活动小组。参加合唱组的有18
人，参加舞蹈组的有21人，这两个小组都参加的有5人，参加合唱组和舞蹈组的一共
有 人。
16．（2分）（2021秋•贵州期末）三（2）班参加跳绳的有12人，参加踢毽子的有25人，
两项都参加的有8人。三（2）班参加体育活动的有 人。
17．（2分）（2020春•定州市期末）五（1）班有42名学生，其中28人订阅了《快乐作
文》，20人订阅了《少年素质报》，两种刊物都订阅的有8人，两种刊物都没有订阅的
有 ．
三．应用题（共11小题，满分66分，每小题6分）
18．（6分）（2022秋•历城区期末）某小学共有学生540人，在一次自愿参加的线上心理
辅导讲座活动中，共有50人向辅导老师进行了提问。提问的人中，有36人用文字进行
了提问，25人用语音进行了提问，那么，既用文字又用语音提问的有多少人？19．（6分）（2022春•涿州市期末）五年级课后兴趣班有36人，其中喜欢踢足球的有19
人，喜欢打篮球的有21人，既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的有4人，那么既喜欢踢
足球又喜欢打篮球的有几人？
20．（6分）（2021春•鹿城区校级期中）一次数学测验只有两道题，结果全班有12人全
做对，其中第一道题有24人做对，第二道题有20人做错。两道题都做错的有多少人？
21．（6分）（2022•双峰县）一次竞赛，其中五年级和六年级共20人获奖，在获奖者中
有16人不是五年级的，有12人不是六年级的，该校有多少人获奖？
22．（6分）（2020秋•虎林市期末）五年级一班有40人，他们都参加了英语课外兴趣小
组或信息技术课小组，已知参加了英语课外小组的有32位同学，参加了信息技术课外
小组的有20位同学，那么，两个小组都参加的同学有多少位？
23．（6分）（2021春•合山市期末）六一儿童节，学校举行游园活动，五（1）班有25人
参加遮眼摸鼻活动，还有30人参加投圈活动，其中有15人是两项都参加。观察下图，完成填空。（1）图中字母C表示的是 。
（2）五（1）班参加两项活动共 人。
24．（6分）（2022秋•讷河市期末）一次数学测验．全班36人中，做对第一道聪明题的
有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道题．问两道都做对的有几人？
25．（6分）（2018•长沙）有77名同学参加数学竞赛，分两张考卷测试，答对A卷得60
分，答对B卷得40分，已知考完后有50人答对A卷，60人答对B卷，只有2人A、B卷
都答错了，这次考试得40分的有多少人？得60分的有多少人？得100分的有多少人？
26．（6分）（2016春•金溪县校级期末）五（2）班期中考试中语文优秀的有15人，数学
优秀的有32人，两科都没达到优秀的有6人，五（2）班共有学生45人，语数都优秀的
有多少人？27．（6分）（2015春•岳麓区校级期末）五（4）班40名同学都参加了校运会中的田赛和
径赛．参加田赛的有26人，参加径赛的有30人，两项都参加的有多少人？
28．（6分）（2021秋•龙口市校级月考）某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，
18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加？
