文档内容
2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义
专题11 数数图形
知识精讲
专题简析：
我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错
在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形
的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才
能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：
1，弄清被数图形的特征和变化规律。
2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
专题简析：
在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方
法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数
出图形的个数，再把他们的个数合起来。
典例分析
【典例分析01】数出下面图中有多少条线段。
A B C D
分析与解答：要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。
从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线
段有2条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。因此，图中共有3+2+1=6条线段。
【典例分析02】数一数下图中有多少个锐角。E
D
C
B
A
O
分析与解答：数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，
因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10
（个）
【典例分析03】数一数下图中共有多少个三角形。
A B C D
分析与解答：图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD边上有几
条线段，就构成了几个三角形，因为 AD上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以图中有6
个三角形。
【典例分析04】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单
位的正方形）
分析与解答：边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有
2×1=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。
经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成 m等份，宽被分
成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)
(n－2)＋…＋(m－n＋1)n
【典例分析05】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？分析与解答：这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁
路上共有10个站，共有1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备45种不同的车票。由于这些
车站之间的距离各不相等，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以共
有45种不同的票价。
真题百分练
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2012•华罗庚金杯）平面上有四个点，任意三个点都不在﹣条直线上．以这
四个点为端点连接六条线段，在所组成的图形中用它们作顶点可以组成（ ）个三角
形．
A．3 B．4 C．6 D．8
【思路引导】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成
的图形叫做三角形）填空．
【规范解答】解：如下图：假设平面上有四个点A、B、C、D，其中任意三个点都不在一
条直线上，
所以用它们作顶点可以组成三角形有：△ABC、△ABD、△ACD和△BCD，共4个．
故选：B。
【考点评析】本题考查了三角形的定义．注意，是不在同一直线上的三个点才可以连接
成为三角形．
2．（3分）（2012•华罗庚金杯）以平面上4个点为端点连接线段，形成的图形中最多可
以有[]个三角形．
A．3 B．4 C．6 D．8
【思路引导】如下图：4个小的三角形，再就是由两个三角形组成的大三角形，有 4个，
所以一共有8个，据此解答．【规范解答】解：4+4＝8（个）
故选：D。
【考点评析】本题考查了三角形的定义．注意，是不在同一直线上的三个点才可以连接
成为三角形．
3．（3分）（2022•希望杯）图中共有（ ）个三角形。
A．8 B．9 C．10 D．11
E．12
【思路引导】单个的三角形有6个，两部分组成的有1个，三部分组成的有1个，四部
分组成的有1个，然后把个数相加即可。
【规范解答】解：6+1+1+1＝9（个）
答：图中共有9个三角形。
故选：B。
【考点评析】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。
特别要注意多个基本图形构成的三角形容易数错。
4．（3分）（2022•其他杯赛）图中一共有（ ）个正方形。A．32 B．31 C．30 D．29
E．28
【思路引导】横着的正方形有（9+4+1）个，斜着的正方形有（12+4）个，然后把个数
相加即可。
【规范解答】解：（9+4+1）+（12+5）
＝14+17
＝31（个）
答：图中一共有31个正方形。
故选：B。
【考点评析】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。
5．（3分）（2022•其他杯赛）数一数，图中长方形中共有（ ）个直角三角形。
A．5 B．6 C．7 D．8
E．9
【思路引导】单个的直角三角形有3个，两部分组成的有3个，三部分组成的有2个，
四部分组成的有1个，然后把个数相加即可。
【规范解答】解：3+3+2+1＝9（个）
答：图中长方形中共有9个直角三角形。
故选：E。
【考点评析】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。
6．（3分）（2017•奥林匹克）在图中可以找到_____个大大小小的钝角三角形。（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
【思路引导】
平行四边形ABCD里面有6个大大小小的钝角三角形，平行四边形AFCE里面有2个大大
小小的钝角三角形，然后把个数相加即可。
【规范解答】解：6+2＝8（个）
答：在图中可以找到8个大大小小的钝角三角形。
故选：D。
【考点评析】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。
7．（3分）（2012•其他杯赛）在三角形ABC中，D是BC的中点，图中面积相等的三角形
共有（ ）对．
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【思路引导】由题意得知：此题是利用“等底等高的三角形面积相等”的定理来解答．
所以据“D是BC的中点”得出BD＝CD，以它们为底的等高三角形有几对，便可判断面
积相等的三角形有几对了．
【规范解答】解：∵D是BC的中点
∴BD＝CD
分别以BD、CD为底，高相等的三角形共有3+2+1＝6对，则面积相等的三角形有6对．
故选：D。
【考点评析】解答此题关键是利用是利用“等底等高的三角形面积相等”的定理．
8．（3分）（2018•创新杯）如图，在三角形ABC中，E、F分别是边AC、AB上的点，BE与
CF交于点O那么图中的三角形共有_____个。（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
【思路引导】两条线段将三角形分成了4个部分，根据组成三角形的部分数进行分类计
数即可。
【规范解答】解：由一部分组成的三角形有三个，
由两部分组成的三角形有四个，
由三部分组成的三角形没有，
由四部分组成的三角形有1个，
3+4+1＝8（个）
故选：C。
【考点评析】本题主要考查了组合图形的计数，掌握分类计数的方法是本题解题的关键。
二．填空题（共11小题，满分22分，每小题2分）
9．（2分）（2021•其他杯赛）如图，有 2 0 个三角形
【思路引导】首先由图形可知一个小三角形组成的三角形有 12个；再由4个三角形组
成的有6个；由9个三角形组成的有2个；相加即可得出答案．
【规范解答】解：12+6+2＝20（个）
答：有20个三角形．
故答案为：20．
【考点评析】考查了组合图形中三角形的计数，解答本题的关键是掌握计数原理和不在
同一直线上的三点可以构成一个三角形．
10．（2分）（2021•其他杯赛）已知平面上画5个圆最多可把平面分成22个部分，如果再
画一条直线，最多可把平面分成 3 2 个部分．
【思路引导】再画一条直线，要使分平面的部分数最多，则直线与五个圆都相交，有10个交点，直
线被五个圆分成11部分，每一部分将原来所在平面区域又分成两部分；又因为圆外的
两部分实际上同属于一个区域，所以实际增加了 10个部分，此时将平面最多分成22+10
＝32个部分．
【规范解答】解：由分析可知，如果再画一条直线，最多可把平面分成 22+10＝32
（个）．
答：如果再画一条直线，最多可以把平面分成32部分．
故答案为：32．
【考点评析】考查了组合图形的计数，我们通过从特殊到一般，可以归纳结论得出：n
个圆最多能将平面分成n2﹣n+2个部分．
11．（2分）（2022•希望杯）探险队在地堡大门上看到一个神秘的图标，这个图标上有
1 7 个三角形。
【思路引导】从最里面的等边三角形观察，每拼上一个三角形，就增加2个三角形，看
作拼接了8次，共增加2×8＝16个三角形，据此解答即可。
【规范解答】解：1+2×8
＝1+16
＝17（个）
答：这个图标上有17个三角形。
故答案为：17。
【考点评析】解答本题关键是找到三角形的排列规律。
12．（2分）（2020•迎春杯）小明在看到70周年阅兵的导弹方阵后，在纸上画出了自己
创造的“导弹”。那么，图中一共有 1 3 个三角形。【思路引导】单个的三角形有8个，两部分组成的有4个，四部分组成的有1个，然后
相加即可。
【规范解答】解：8+4+1＝13（个）
答：图中一共有13个三角形。
故答案为：13。
【考点评析】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。
13．（2分）（2020•陈省身杯）如图，每个小正方形的边长都是1厘米，则图中面积为3
平方厘米的阴影长方形共有 2 6 个。
【思路引导】因为在“2020”的四个数字中，“2”里面面积为3平方厘米的长方形有5
个，“0”里面面积为3平方厘米的长方形有8个，然后再进一步解答即可。
【规范解答】解：根据分析可得，
（5+8）×2
＝13×2
＝26（个）
答：图中面积为3平方厘米的阴影长方形共有26个。
故答案为：26。
【考点评析】组合图形的计数实质上就是分类数图形，注意合理进行分类，要按顺序分
类计数，防止遗漏。
14．（2分）（2020•陈省身杯）请你数一数，图中共有 2 1 个三角形。【思路引导】要数三角形的个数，显然只要数出三角形底边共有多少条线段即可。
【规范解答】解：6+5+4+3+2+1＝21（个）
答：共有21个三角形。
故答案为：21。
【考点评析】本题是考查三角形的计数方法，解答此题的关键是找出三角形底边有6条
基本线段。
15．（2分）（2018•希望杯）图中有 1 6 个三角形。
【思路引导】单个的三角形有6个，两部分组成的有3个，三部分组成的有6个，六部
分组成的有1个，然后把个数相加即可。
【规范解答】解：6+3+6+1＝16（个）
答：图中有16个三角形。
故答案为：16。
【考点评析】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。
特别要注意多个基本图形构成的三角形容易数错。
16．（2分）（2022•希望杯）如图是三条环形地铁线路的平面图，图中共有 11 个长
方形。【思路引导】单个的长方形有3个，两部分组成的有5个，四部分组成的有3个，然后
把个数相加即可。
【规范解答】解：3+5+3＝11（个）
答：图中共有11个长方形。
故答案为：11。
【考点评析】分类枚举是一种很重要的解决计数问题的方法，按一定的规则恰当分类是
关键。做到既不重复，也不遗漏。
17．（2分）（2018•春蕾杯）如图所示，图中共有 1 2 个梯形。
【思路引导】以中间的斜线段为分界线，左边有6个梯形，右边也有6个梯形，然后相
加即可。
【规范解答】解：根据分析可得，
6+6＝12（个）
答：图中共有12个梯形。
故答案为：12。
【考点评析】分类枚举是一种很重要的解决计数问题的方法，按一定的规则恰当分类是
关键。做到既不重复，也不遗漏。
18．（2分）（2021•希望杯）图中共有 3 6 个三角形。【思路引导】按照组成三角形的图形个数进行分类计数即可。
【规范解答】解：单个三角形有6个，
两个图形组成的三角形有9个，
三个图形组成的三角形有7个，
四个图形组成的三角形有7个，
六个图形组成的三角形有4个，
八个图形组成的三角形有2个，
十二个图形组成的三角形有1个，
共有：6+9+7+7+4+2+1＝36（个）
答：图中共有36个三角形。
故答案为：36。
【考点评析】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏．
特别要注意多个基本图形构成的组合图形容易数错。
19．（2分）（2018•其他杯赛）如图所示，B、C、D是线段AE上的三个点，已知AB＞BC＞
CD＞DE，BC＝CE，AB＜BD，图中所有线段的长度均为整数，且总和为 96。则AE＝ 19
。
【思路引导】假设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，根据线段的长度关系，以及所有线段
长度为整数且总和为96，求出每段线段的长度，最后相加即为AE的长。
【规范解答】解：假设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，
所以a＞b＞c＞d，b＝c+d，a＜b+c，
所有线段的总和为：
a+（a+b）+（a+b+c）+（a+b+c+d）+b+（b+c）+（b+c+d）+c+（c+d）+d＝96
化简为：2a+3b+3c+2d＝48因为a＞b＞c＞d，
所以2d+3d+3d+2d＜48，2a+3a+3a+2a＞48
所以d≤4，a≥5，
当d＝4时，c≥5，
所以b＝c+d≥9，
那么a≥10，
此时2a+3b+3c+2d≥20+29+15+8＝72＞48，故不符合题意；
当d＝3时，c≥4，b＝c+d≥7，a≥8，
此时2a+3b+3c+2d≥16+21+12+6＝55＞48，故不符合题意；
当d＝2时，
若c＝3，则b＝5，
此时a＝（48﹣15﹣9﹣4）÷2＝10＞b+c＝8，不符合题意；
若c≥4，则b＝c+d≥6，a≥7，
此时2a+3b+3c+2d≥14+18+12+4＝48，
所以所有不等式等号成立时，符合题意，
所以a＝7，b＝6，c＝4，d＝2；
当d＝1时，
2a+3（b+c）+2＝48
又因为a＜b+c，
所以48＜2（b+c）+3（b+c）+2
所以5（b+c）＞46，
所以b+c≥10，
因为b＝c+d，
所以c+1+c≥10，
所以c≥5，
所以b≥6，a≥7，
所以2a+3b+3c+2d≥14+18+15+2＝49＞48，故不符合题意；
综上所述，a＝7，b＝6，c＝4，d＝2，
所以AE＝a+b+c+d＝7+6+4+2＝19。
故答案为：19。【考点评析】本题主要考查了组合图形的计数以及不等式的应用，根据不等式确定最短
线段长度的取值范围是本题解题的关键。
三．解答题（共8小题，满分54分）
20．（6分）（2017•希望杯模拟）数一数，图中有多少个三角形？
【思路引导】三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形，根据概念分类找出图中三
角形的个数即可．
【规范解答】解：单个三角形组成的三角形有8个，
2个三角形组成的三角形有4个，
4个三角形组成的三角形有4个，
8+4+4＝16（个）．
答：图中有16个三角形．
【考点评析】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，
逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．
21．（6分）（2022•奥林匹克）如图中有多少个长方形？多少个三角形？
【思路引导】（1）横向每行有（3+2+1）个长方形，纵向每列有（3+2+1）个长方形，
然后根据乘法原理解答即可。
（2）对角线把长方形一分为二，右上部分有三角形6个，然后再乘2即可。
【规范解答】解：（1）（3+2+1）×（3+2+1）
＝6×6
＝36（个）
（2）6×2＝12（个）
答：图中有36个长方形；12个三角形。
【考点评析】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。22．（7分）（2018•其他杯赛）如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其
中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个，图中包含“※”的大、小正
三角形一共有多少个？
【思路引导】分三类计数（设小正三角形的边长为1），包含“※”的正三角形中，边
长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个；边长为3的正三角形有1个；
然后把个数相加即可。
【规范解答】解：根据分析可得，
1+4+1＝6（个）
答：图中包含“※”的大、小正三角形一共有6个。
【考点评析】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。
23．（7分）（2017•希望杯模拟）数一数，图中有多少个三角形？
【思路引导】本题考查组合图形的计数．
【规范解答】解：由1个三角形组成的有5个；
由2个小部分组成的三角形有8个；
由3个小部分组成的三角形有6个；
由4个小部分组成的三角形有3个；
由6个小部分组成的三角形有4个；
由9个小部分组成的三角形有1个；
共有5+8+6+3+4+1＝27（个）．
【考点评析】本题关键在于分类计数，做到不漏不重．
24．（7分）（2017•希望杯）同一平面内的2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3
个交点，10条直线最多有多少个交点？【思路引导】每两条直线不重合的话，有且只有一个交点，因此每条直线和另外的 9条直线有9个交
点，一共有9×10＝90个，又由于每两条之间重复计算了一次，所以实际一共有90÷2
＝45个交点．
【规范解答】解：（10﹣1）×10÷2
＝90÷2
＝45（个）
答：平面上有10条直线，这10条直线最多有45个交点．
【考点评析】本题考查了排列组合知识的灵活应用，注意计数时要去掉每两条之间重复
计算的个数．即10选2的问题，共有 ＝45个．
25．（7分）（2015•其他杯赛）如图，两条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交
点……请你接着画一画，想一想，并在表中填上适当的数．
直线数量 1条 2条 3条 4条 5条 …… 10条
交点数量 0个 1个 3个 6 个 1 0 个 …… 4 5 个
【思路引导】我们由题目知道“两条直线最多有1个交点；三条直线最多有交点为1+2
＝3个；四条直线最多有交点为1+2+3＝6个；则n条直线最多的交点个数为1+2+3+4+…
+（n﹣1）个”，然后根据此规律即可解答．
【规范解答】解：4条直线的相交图如下
1+2+3＝6（个）
1+2+3+4＝10（个）
1+2+3+4+…+（10﹣1）＝45（个）
故：答案为上图，空分别为6、10、45．
【考点评析】解答此题的关键是找到直线相交，交点个数是规律即可．26．（7分）（2017•华罗庚金杯）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数值？
【思路引导】按题意，可以分类讨论，最后确定n的取值．
【规范解答】解：根据分析，n＝0，即5条直线互相平行；
n＝1，即五条直线交于一点；
n＝2，3，不存在；
n＝4，5，6，7，8，9，10的情况分别如下图：n的取值共有9种不同的数，故答案是：9．
【考点评析】本题考查了组合图形的计数，本题突破点是：分类讨论，确定n的取值．
27．（7分）（2018•华罗庚金杯）从一个正二十边形的20个顶点中任取n个，顺次连结得
到n边形，其中是正多边形的有几个？（正多边形是指各边相等，各内角也相等的多边
形）
【思路引导】因为要使得取出的顶点构成正多边形，顶点个数需要是20的约数，据此
找到20的约数即可解决问题．【规范解答】解：因为20 的约数只有1，2，4，5，10，20，所以只能组成正四边形，
正五边形，正十边形和正二十边形．
正四边形有5个，正五边形有4个，正十边形有2个，正二十边形有1个；
所以满足题意的正多边形共有：5+4+2+1＝12（个）
答：顺次连结得到n边形，其中是正多边形的有12个．
【考点评析】解答本题关键是明确要使得取出的顶点构成正多边形，顶点个数需要是20
的约数
