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2022-2023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义
专题16 最大公约数
知识精讲
专题简析：
几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公
约数。我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。
求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。
典例分析
【典例分析01】 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块
正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可
以裁多少块？
【思路引导】7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须
能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。75和60的公约数有1、3、5、15，
所以有4种裁法。
如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15
作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。
【典例分析02】一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小
相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？
【思路引导】2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。要把长方体切
成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正
方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。
（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米
【典例分析03】有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把
它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？
【思路引导】要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是 240、200和
480的公约数，而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公约数。240、200和
480的最大公约数是40，所以每小段最长是40厘米。【典例分析04】 一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距 360米，乙、丙村
相距675米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、
丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？
【思路引导】由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将 360÷2=180米、
675÷2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。因为（675、360）=45，而
180=360÷2，337.5=675÷2，所以，45÷2=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。
【典例分析05】用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，
并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
【思路引导】前面的例题已经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形长和宽的最
大公约数就行了。但是这题中，长和宽的数比较大，最大公约数比较难求出，这里再介绍
一种求两个数的最大公约数的方法。
第一步：1072÷469，余134；
第二步：469÷134，余67；
第三步：134÷67，没有余数，所以用 67 毫米为正方形的边长来剪，正好能剪
（1072÷67）×（469÷67）=112个正方形，即这些正方形的边长最大是67毫米。
这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。
真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•沭阳县月考）如果A＝2×3×7，B＝2×5×3，那么A和B的最大公
因数是（ ）
A．2 B．6 C．35
2．（2分）（2022春•韩城市期末）下面第（ ）组中的两数的最大公因数是6。
A．6和18 B．2和3 C．24和12 D．30和5
3．（2分）（2022春•坊子区期末）如果4a＝b，那么a和b的最大公因数是（ ）
A．a B．b C．4
4．（2分）（2022春•贵阳期中）两个相邻自然数的最小公倍数是72，这两个自然数的和
是（ ）
A．72 B．15 C．175．（2分）（2021春•长垣市期末）m是一个质数，n是一个合数（m、n都是大于20的自
然数），下列说法正确的是（ ）
A．m+n一定是偶数 B．mn一定是奇数
C．m+2n不可能是偶数 D．2（m+n）可能是奇数
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）（2022春•罗源县期末）如果A÷B＝5（A，B为自然数），那么A和B最大公
因数是 。
7．（2分）（2022春•德江县期中）已知a＝2×3×5，b＝2×5×7，它们的公因数有
，最大公因数是 。
8．（2分）（2022春•福鼎市期中）在24、8和9中， 是 的因数，
是 的倍数， 和 的最大公因数是1。
9．（2分）（2022春•沈丘县期中）五（1）班有42人，五（2）班有48人。如果把两个
班的学生分别分成若干小组，要使每个班每个小组的人数相同，每组最多有 人。
10．（2分）（2021•张家川县模拟）分数 分子和分母的最大公因数是 ，最小
公倍数是 。
11．（2分）（2021春•武冈市期中）如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它们的最大公因数
是 ，最小公倍数是 。
12．（2分）（2019春•东丽区期末）从1，3，5，6中选出3个数字，组成一个同时有因
数3和5的最大三位数，这个三位数是 。
13．（2分）（2022春•江宁区期末）手工课上张老师准备了两根彩带（如图所示）折五角
星，把这两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是 厘米，
一共有 根。
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（2分）（2022春•莘县期中）如果a＝2×3×5，b＝2×3×3，那么a和b的最大公因
数是6，最小公倍数是90。 （判断对错）
15．（2 分）（2022 春•长垣市期中）两个数的最大公因数一定小于这两个数。
（判断对错）16．（2分）（2022春•市中区期末）甲、乙两数最小公倍数是它们的积，这两个数的最大
公因数就是1。 （判断对错）
17．（2分）（2022春•辉县市期末）23和92的最大公因数是1。 （判断对错）
18．（2分）（2022春•辉县市期末）如果两个非0自然数的最小公倍数是它们的积，那么
这两个数的最大公因数是1。 （判断对错）
四．计算题（共2小题，满分12分，每小题6分）
19．（6分）（2022春•莘县期中）求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
24和18 35和42 19和38 7和12
20．（6分）（2022春•东昌府区期末）用短除法求出下列每组数的最大公因数和最小公倍
数。
①36和24 ②16和56 ③32、12和16
五．应用题（共9小题，满分52分）
21．（5分）（2022春•禹城市期中）幼儿园买回49块水果糖和30块奶糖，李老师把两种
糖分别平均分给小班的每位小朋友，结果水果糖多出4块，奶糖正好。小班最多有多少
个小朋友？22．（5分）（2022春•荥阳市期中）插花师计划用70朵百合和42朵玫瑰制作花束。如果
要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所
有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？这时每束花中有多少朵花？
23．（6分）（2022春•黄陵县期末）五年级（1）（2）班要参加学校组织的义务劳动，五
（1）班来了48人，五（2）班来了42人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要
使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？一共有多少个小组？
24．（6分）有两根钢筋，一根长50米，一根长40米，现在要把这两根钢筋锯成同样长的
小段，且每根钢筋不许有剩余，每小段钢筋最长多少米？一共要锯几次？
25．（6分）（2022春•庆云县期中）把这两根彩带截成同样长的几段且没有剩余，每段彩
带最长是多少厘米？
26．（6分）（2020秋•赣州期末）有两根绳子，一根长36分米，一根长48分米，把它们
都剪成长度相等的小段，而且没有剩余．每小段最长是多少分米？一共可以剪成几段？27．（6分）（2022春•迎泽区期末）把45厘米、60厘米的两根彩带剪成长度一样的短彩
带且没有剩余．
（1）每根短彩带最长是多少厘米？
（2）一共可以剪成多少段？
28．（6分）（2022春•建安区期末）五年级（1）、（2）班要完成大扫除任务．五（1）
班来了48人，五（2）班来了54人．如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两
个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？
29．（6分）（2022春•息县期末）有一块长24分米，宽16分米的布，把它平均剪成大小
一样的正方形布料，从不浪费的角度考虑，小正方形布料的边长最大为多少分米？能剪
下这样的布料多少块？
