文档内容
第 11 讲 约数与倍数
内容概述
掌握约数与倍数酌概念．学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小
公倍数的常用计算方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题．
典型问题
兴趣篇
1．(1)请写出105的所有约数；(2)请写出72的所有约数．
答案：(1) 1、3、5、7、15、21、35、105
(2)1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72
分析：
2．(1) 20000的约数有多少个？ (2) 720的约数有多少个？
答案：(1)30个 (2) 30个
分析：(1) ， 约数的个数= 个
(2) ，约数的个数= 30个
3．计算：(1) (28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44, 260].
答案：(1) 4，504 (2) 4，20020
分 析 ： (1) ， ， 所 以 ；
(2) ， ， ，所以 ，
4．两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少？
答案：1，2，3，6.
分析：两个数的最大公因数一定是它们差的因数。因为这两个数的差是 6，则它们的最
大公因数一定是6的因数。即可能为1，2，3，6。
5．(1)求1085和1178的最大公约数和最小公倍数； (2)求3553，3910和1411的最大公约
数．答案：(1) 31，41230 (2) 17
分析：(1) ， ，所以， ，
(2) ， ，
6．教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工．请
问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各
有多少个？
答案： 40份；苹果8个，桔子6个，香蕉5个。
分析：水果分成的份数应该是320，240，200的最大公因数，
因为 ，所以最多分成 40 份。 苹果每份：
；
桔子每份： ；香蕉每份：
7．一块长方形草地，长120米，宽90米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点
都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？
答案：28棵。
分析：要使种的树最少，则相邻两棵树之间的距离要最大。因为四个角和各边中点都要
求种树，所以相邻两棵树之间的距离应该是60和45的最大公因数。即15米。
又因为是封闭图形，种的棵树等于段数。所以最少种 棵。
8．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18，那么乙数是多少？
答案：30
分析：因为两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。所以
乙数为
9．有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的 27倍．已知甲数是2、4、6、8、10、
12、14、16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位数．乙数是多少？
答案：81分析： ， ，由题意可知，甲数中质因数 3
的个数只能有1个。而甲乙的最小公倍数是甲的27倍，则最小公倍数中质因数3
的个数有4个。所以乙数中质因数3的个数至少有4个，因为乙数是两位数，所以
乙数是 ，即81。
10．小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是 35，最
小公倍数是70.这三个数的和可能是多少？
答案：140或175
分析：设三个数分别为 ，因为 ， 。
35的倍数有：35，70，105 ， 70的因数有：1，2，5，7，10，14，35，70.
公共部分只有35和70.所以 可以为：（1）35，35，35.（2）35，35，70
（3）35，70，70 （4）70，70，70。经检验，（1）、（4）不符合题意，舍去。
只有
（2）和（3）。即三个数的和为140和175.
拓展篇
1．72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？
答案：12个；8个
分析： ， 个约数。
求约数是3的倍数，即 的约数个数。
2．5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式．
答案：48个；
分析： 约数的个数为
3．两数乘积为2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 1．这两个数分
别是多少？
答案：16和175
分析：因为其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 1，则这两个数的约数个数
是一奇一偶。所以一个数为平方数。 ，下面枚举，（1）
（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。
经过验证，只有（2）中的两个数的约数个数差1.所以为16和1754．计算：(1) (391, 357), [391, 357]; (2) (18, 24, 36), [18, 24, 36].
答案：(1) 17，8211 (2) 6，72
分析：(1) ;
(2) ， ， 。
5．1547、1573、1859这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？
答案：13，2433431
分析： ， ，
；
6．张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下 9个苹果、
26个梨和6个桔子没分出去，请问：每个小朋友分了多少个苹果？
答案：6个
分析：分给小朋友的水果有 个苹果， 个梨，
个 桔 子 。 216 ， 324 ， 144 的 最 大 公 因 数 即 为 人 数 。
，
所以每个小朋友分到了 个苹果。
7．一个数和16的最大公约数是8，最小公倍数是80.这个数是多少？
答案：40
分析：两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。所以这个数等于
8．两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216.这两个数分别
是多少？
答案：54和72
分析：设这两个数为甲、乙，甲数= ，乙数 ，且 。则。
所以 ，所以 或 。因为甲和乙不成倍数关系，
所以 。即，甲数=54，乙数=72.
9．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是
多少？
答案：42
分析：设这两个数分别为甲和乙，，甲数= ，乙数= ，且
则 。所以 =70。 。又因为两个数相差18，所以
，综合上述，可得， ，即较小数为42.
10．有4个不同的正整数，它们的和是1111.请问：它们的最大公约数最大能是多少？
答案：101
分析：设 ， ， ， 且 。因为它们的和为
1111.
则 ，而 ，所以 最大为
101.即它们的最大公因数最大能是101。
11．甲、乙两个数的最小公倍数是 90，乙、丙两个数的最小公倍数是 105，甲、丙两个数
的最小公倍数是126.请问：甲数是多少？
答案：18
分析：因为 ， ，所以甲应为 的因数。又因
为
，则甲一定有因数2，且乙、丙中的质因数3的个数只有1个，而
，则甲一定有2个质因数3。所以甲数为 。
12．甲、乙是两个不同的自然数，它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数，它们
的最大公约数是12.请问：甲、乙两数之和是多少？
答案：204
分析： ， ，因为都有12个约数。设 ，。 则 和 ， 即
， 。又因为甲和乙的最大公因数为
，所以，甲数= ，乙数= 。即甲乙两数的和=96+108=204
超越篇
1．360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？
答案：6个；78
分析： ，所以360的奇约数的个数即为 的约数的个数。所以是
个。所有的奇约数的和=
2．求出所有恰好含有10个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和．
答案：48，约数之和为124；80，约数之和为186。
分析： ，质因数的个数分别为1和4。两位数中只有 =48， =80满
足。48的所有约数之和= 。80的所有约数
之和=
3．已知 与 的最大公约数是4， 与c、 与c的最小公倍数都是100，而且a ≤ b．满
足条件的自然数a、b、c共有多少组？
答案：9组
分析：由题意可知， ， ，有因为100= ，则 、 可以是
，
， ， ， 共5种。因为a ≤ b，所以舍去后两种。
即三种情况。而 ， 为1，2， 中的一种，共3种。所以 种。
4．所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个约数？
答案：6个分析： ，则70的倍数都可以写成 ，又因为有70个约数，则
分别为1，4，7中的一个。全排列即6个。
5．自然数n是1，2，3，…，10的公倍数，而且它恰有72个约数，n的最小值是多少？
答案：10080
分析： ，而 ，分成四个数相乘。
或 或 ，然后讨论，只有当 即
，
时最小。即最小 。
1 1
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6．三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处．里圈跑道长 千米，中圈跑道长 千米，
3
8
外圈跑道长 千米．甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步，开
1
2
始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小时跑 3 千米，乙每小时跑4千米，丙每小时
跑5千米．他们同时出发．请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？
答案：6小时
分析： 小时， 小时， 小时。甲回到出发点需要的时间
是 的倍数，乙回到出发点需要的时间是 的倍数，丙回到出发点需要的时间是
的倍数。所以三人第一次同时回到出发点的时间
小时。
