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第 25 周 最大公约数
专题简析：
几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做
这几个数的最大公约数。我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、
b），如果（a、b）=1，则a和b互质。
求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。例题1 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把
它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如
果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？
分析 7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因为裁成的正方
形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。75
和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。
如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取 75和
60 的最大公约数 15 作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×
（60÷15）=20块。
练习一
1，把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大
小的正方形，至少能裁多少块？
2，一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正
方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？
3，将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正
方形，小正方形的面积最大是多少？例题2 一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要
把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是
多少分米？
分析 2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。要
把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是
长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、
高的最大公约数。
（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米
练习二
1，一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2
分米4厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切
正方体木块的棱长最长是多少厘米？
2，有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给
几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分
给几个小组？
3，五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把
他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？
每班各可以分几组？例题 3 有三根钢管，它们的长度分别是 240厘米、200厘米和
480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘
米？
分析 要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是
240、200和480的公约数，而每小段要取最长，也就是求240、200和
480的最大公约数。240、200和480的最大公约数是40，所以每小段
最长是40厘米。
练习三
1，有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。如果要
切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？
2，用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的
正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
3，工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工
人多加工若干个外，其他工人加工的都同样多。已知他们第一批共加
工2100个，其中王师傅比每个工人多加工7个；第二批加工1800个，
其中王师傅比每个工人多加工6个；第三批加工1600个，其中王师傅
比每个工人多加工13个。这批工人最多有多少人？例题4 一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360
米，乙、丙村相距675米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间
距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两
棵树之间的距离最多是多少米？
分析 由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将
360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的长度
最长。因为（675、360）=45，而180=360÷2，337.5=675÷2，所以，
45÷2=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。
练习四
1，一条公路由A经B到C。已知A、B相距300米，B、C相距215米。
现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中
点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？
2，有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多
可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各
有多少？
3，甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，
乙数是多少？例题5 用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积
相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
分析 前面的例题已经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形
长和宽的最大公约数就行了。但是这题中，长和宽的数比较大，最大
公约数比较难求出，这里再介绍一种求两个数的最大公约数的方法。
第一步：1072÷469，余134；
第二步：469÷134，余67；
第三步：134÷67，没有余数，所以用67毫米为正方形的边长来
剪，正好能剪（1072÷67）×（469÷67）=112个正方形，即这些正方形
的边长最大是67毫米。
这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。
练习五
1，用辗转相除法求568和1065的最大公约数。
2，试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。
3，判断11111/15015是不是最简分数。
