文档内容
第 7 讲 约数与倍数
内容概述
掌握约数与倍数酌概念．学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算
方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题．
典型问题
兴趣篇
1．(1)请写出105的所有约数；(2)请写出72的所有约数．
2．(1) 20000的约数有多少个？(2) 720的约数有多少个？
3．计算：(1) (28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44, 260].
4．两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少？
5．(1)求1085和1178的最大公约数和最小公倍数； (2)求3553，3910和1411的最大公约数．
6．教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工．请问：用这些水果
最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？
7．一块长方形草地，长120米，宽90米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且
相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？
8．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18，那么乙数是多少？
9．有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍．已知甲数是2、4、6、8、10、12、14、16的倍数，
但不是18的倍数；乙数是两位数．乙数是多少？10．小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是 35，最小公倍数是70.
这三个数的和可能是多少？
拓展篇
1．72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？
2．5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式．
3．两数乘积为2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1．这两个数分别是多少？
4．计算：(1) (391, 357), [391, 357]; (2) (18, 24, 36), [18, 24, 36].
5．1547、1573、1859这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？
6．张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔
子没分出去，请问：每个小朋友分了多少个苹果？
7．一个数和16的最大公约数是8，最小公倍数是80.这个数是多少？
8．两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216.这两个数分别是多少？
9．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？
10．有4个不同的正整数，它们的和是1111.请问：它们的最大公约数最大能是多少？11．甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是
126.请问：甲数是多少？
12．甲、乙是两个不同的自然数，它们都只含有质因数 2和3，并且都有12个约数，它们的最大公约数是
12.请问：甲、乙两数之和是多少？
超越篇
1．360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？
2．求出所有恰好含有10个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和．
3．已知口与易的最大公约数是4，以与c、易与c的最小公倍数都是100，而且a ≤ b．满足条件的自然数
a、b、c共有多少组？
4．所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个约数？
5．自然数n是1，2，3，…，10的公倍数，而且它恰有72个约数，n的最小值是多少？
6．三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处．里圈跑道长 千米，中圈跑道长 千米，外圈跑道长 千米．
甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步，开始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小
时跑3 千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米．他们同时出发．请问：几小时后，三人第一次同
时回到出发点？
7．如图11-1，在一个600×600的方格表ABCD中，将AB与线段CD上除端点外的所有格点 N ，N ，
1 2
N，…，N 分别相连，得到599条线段．请问，在这些线段中：
3 599(1)不会与其他格点相交的线段共有多少条？
(2)经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）?
(3)除去端点，还恰好经过29个格点的直线有多少条？
8．有些自然数等于自身约数个数的平方，例如l和9都具有此性质，请问：是否还有其他自然数具有此性
质？如果有，请举例；如果没有，请说明理由．
