文档内容
第二十六周 最小公倍数（一）
专题简析：
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍
数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作
[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]= a×b。
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：
最大公约数×最小公倍数=两数的乘积
即（a、b）×[a、b]= a×b
要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对
问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地
位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆。例题1 两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个
数分别是多少？
分析 根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这
两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数。
根据题意：
当a b 分别是1和6时，a、b分别为15×1=15，15×6=90；当a b
1 1 1 1
分别是2和3时，a、b分别为15×2=20，15×3=45。所以，这两个数是
15和90或者30和45。
练习一
1，两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别
是多少？
2，两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60，求这两个数的
和是多少？
3，两个数的最大公约数是60，最小公倍数是720，其中一个数是
180，另一个数是多少？例题2 两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各
是多少？
分析 我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的
积一定等于甲、乙两数的最大公约数与最小公倍数的积。根据这一规
律，我们可以求出这两个数的最大公约数是360÷120=3。又因为（甲
÷3=a，乙÷3=b）中，3×a×b=120，a和b一定是互质数，所以，a和b
可以是1和40，也可以是5和8。当a和b是1和40时，所求的数是
3×1=3和3×40=120；当a和b是5和8时，所求的数是 3×5=15和
3×8=24。
练习二
1，求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。
2，已知两个数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数。
3，已知两个数的最大公约数是13，最小公倍数是78，求这两个
数的差。例题3 甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一
次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰
好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？
分析 从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天
数应该是3、4、5的最小公倍数。因为3、4、5的最小公倍数是60，所以
至少再过60天他们三人又在图书馆相会。
练习三
1，1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，
2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路
线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？
2，甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲
跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。问：再过多少
时间三人第二次同时从起点出发？
3，五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学
每6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。如果“六一”儿童节
三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同
学再次同一天去张爷爷家？例题4 一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体
至少需要这样的砖头多少块？
分析 把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、
高的公倍数。现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、
高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之
间的关系就能求出长方体砖的块数。
练习四
1，用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方
体，至少需要用这样的长方体多少块？
2，有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这
些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘
米？
3，一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米，要把它切成大
小相等的正方体小块，不许有剩余，这些小正方体的棱长最多是多少
分米？例题5 甲每秒跑 3米，乙每秒跑 4米，丙每秒跑 2米，三人沿
600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又
同时从出发点出发？
分析 甲跑一圈需要 600÷3=200秒，乙跑一圈需要600÷4=150
秒，丙跑一圈需要600÷2=300秒。要使三人再次从出发点一齐出发，
经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。200、150和300的
最小公倍数是600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。
练习五
1，有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向
而行，1分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分
钟后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。
2，一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲
每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米。至少经过几分钟，三人再
次从原出发点同时出发？
3，甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4
米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米。若三人同时从一端出发，再经过多
少时间三人又从此处同时出发？
