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2022-2023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义
专题04 数阵
知识精讲
专题简析：
填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也
是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这
些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验
法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
典例分析
【典例分析01】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个
数的和与竖行三个数的和都是21。
【思路点拨】先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A
＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。
把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数
填进方格，如图b。
【典例分析02】将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。【思路点拨】设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10
＋a＋b=30×2，即55＋a＋b=60，a＋b=5。在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。
当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8，9）和（3，5，7，
10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1，5，9，10）和（4，6，
7，8）。
【典例分析03】将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和
相等、且最大。
【思路点拨】设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的和时，a、b、c
都被计算了两次，根据题意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除以3没有余数。1＋2
＋3＋4＋5＋6=21，21÷3=7没有余数，那么a＋b＋c的和除以3也应该没有余数。在 1
——6六个数中，只有4＋5＋6的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、
5、6。（1＋2＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6）÷3=12，所以有下面的填法：【典例分析04】将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
【思路点拨】首先要确定中心圆内的数，设中心○内的数是a，那么，三条线段上的
总和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a=28＋2a，由于三条线段上的和相等，所以（28＋2a）除
以3应该没有余数。由于28÷3=9……1，那么2a除以3应该余2，因此，a可以为1、4或
7。当a=1时，（28＋2×1）÷3－1=9，即每条线段上其他两数的和是9，因此，有这样的
填法。
真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2 分）在竖式中有若干个数字被遮盖住了，则竖式被遮盖住的几个数字的和为
（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
2．（2分）请你用l～8这八个数字分别填入下图八个〇里（数字不能重复），使得正方
形内的4条线上的三个数之和都相等，而且大正方形的四个顶点上的数之和是小正方形
四个顶点上的数之和的2倍，那么，大正方形的四个顶点（即甲乙丙丁）上可以填的数
是（ ）A．3，6，7，8 B．4，5，7，8 C．1，2.，7，8 D．2，3，7，8
E．3，4，7，83．（2分）将 ， ， ， ， ， 填入括号中，使等式成立。则S＝（ ）
（ ）+（ ）＝（ ）+（ ）＝（ ）+（ ）＝S
A． B． C． D．
E．
4．（2分）在下面的加法算式中，不同汉字代表不同的数字，要使算式成立，那么，“鹏
程杯竞赛”所代表的五位数达到最大时，鹏+程+杯+竞+赛＝（ ）
A．16 B．25 C．30 D．35
E．以上都不对
5．（2分）如图有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对
角线上的三个数之和都相等，则图中左上角的数是（ ）
A．9 B．16 C．21 D．23
二．填空题（共8小题，满分17分）
6．（2分）在幻方中，每行、每列和每条主对角线上的数字的和都相同．那么在如图所示
的未完成的幻方中x应该是 ．
7．（3分）把5、11、14、15、21、22六个数填入下面的括号内，使等式成立．
× × ＝ × × ．
8．（2分）把数字1～9填入方格中（1已经填好），使得每行、每列、每条对角线的三个数字的和都相等，四个阴影方格中的数字和为 。9．（2分）将1～9这9个数字分别填入圆圈中，使每个正方形四个顶点所填的数之和相等。
有 种不同的填法。
10．（2分）将0～9分别填入到如图的10个圆圈中，使得各条直线上圆圈中所填数的和都
相等。现已将1填入，那么圆圈A、B、C、D中所填数字依次组成的四位数是 。
11．（2分）把1～9分别填入方框中，使得竖式成立，其中9已经填好，不同的填法有
种。
12．（2分）在如图的除法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的
数字。白龙马代表的三位数是 。13．（2分）将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4
个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最大为 ．
口÷口+口+口口＝口÷口+口口．
三．解答题（共13小题，满分73分）
14．（5分）请将1～9这9个数填入右图3×3表格中，使得第1，2行三数的乘积分别是
70，24，第1，2列三数的乘积分别是21，72．
15．（5分）在下面的式子中填上括号，使等式成立．5×8+16÷4﹣2＝20．
16．（6分）在下面竖式的方框中可以填上合适的数字，使竖式成立．17．（6分）1575÷春÷蕾÷数÷学＝9，春＝ ，蕾＝ ，数＝ ，学
＝ ．
（“春”、“蕾”、“数”、“学”为0～9的数字，答案写出一种即可）
18．（5分）在如图所示的算式里，4张小纸片各盖住了一个数字．那么被盖住的4个数字
总和是多少？
19．（6分）如图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈．如果在这些圆圈中分别填上六个
质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等．问这六个质数的积
是多少？
20．（5分）在下边算式的□中填写合适的数．
21．（6分）在下面的空格中填上数字（数字可重复使用），使任何三个相邻格子里的数
字和是15．3 8
22．（5分）在图示算式的每个方框内填入一个数字，要求所填的数字都是质数，并使竖
式成立．
23．（6分）如图（一）把非零一位数1～9分别填入图中的9个圆圈内，每个数字只能用
一次，使得△ABC和△DEF每边上的三个圆圈内的数字之和等于 18，请在图（二）中给
出两种符合题意的填法．
24．（6分）将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的和相等，这样
的方阵称为4阶幻方．幻方起源于中国，在世界上很多地方也都有发现．下面的 4阶幻
方是在印度耆那神庙中发现的，请将其补充完整：
25．（6分）现将12枚棋子，放在图中的20个方格中，每格最多放1枚棋子．要求每行每
列所放的棋子数的和都是偶数，应该怎样放，在图上表示出来．26．（6分）在下面的6个圆圈中分别填入1，2，3，4，5，6，每个数字只能用一次，使
各边上的三个数字的和相等．
