第一节函数的三要素_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第二章

MST老唐说题26版一轮 2. 1 函数的三要素 考向 1 函数的定义域 题型1 定义域的基本限制 （1）分式中的分母不为0； （2）偶次方根下的数（或式）大于或等于0； （3）零指数幂的底数不为0； （4）指数式的底数大于0且不等于1； （5）对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0；  （6）正切函数ytanx (xR且xk ，kZ)． 2 注：定义域需用区间或集合的形式写出． 1 【例1】（2020•北京）函数 f (x) lnx的定义域是 ． x1 4x2 【例2】函数y 的定义域为( ) x2 3x4   A．[2，2] B．[2，0) (0，2] C．(0,2) D．[2，1) (1，2] 【例3】已知函数 f(x) mx2 (m3)x1的定义域为R，则实数m的取值范围是( ) A．[1，9] B．(1,9) C．(，1][9，) D．{3} 题型2 抽象函数的定义域 此类型题目最关键的就是同一对应法则下的定义域不变，若 f(x) 的定义域为(a，b) ，则 f[g(x)]中 ag(x)b的解x的范围，即为 f[g(x)]的定义域． 【例1】已知函数y f(x)的定义域为[0，1]，则函数y f(2x1)的定义域为( ) 1 1 A．[0，1] B．[1，3] C．[ ,3] D．[ ,0] 2 2MST老唐说题26版一轮 【例2】已知函数 f(x1)的定义域为{x|2x3}，则函数 f(2x1)的定义域为( )  1 A．{x|1x9} B．{x|3x7} C．x|2x  D．{x|2x1}  2 3 x 1 【例3】函数 f(x1)的定义域为{x|3x3}，则函数h(x)  f(2x)的定义域为( ) x2 2023  A．(1,2) B．(2，2) (2，4]  C．(4，2) (2，8] D．(4，8] 考向 2 函数的解析式 题型1 换元法 换元法：也称变量替换或辅助元素法，在使用换元法时，一定要根据定义域确定所换“新元”的取值范围． 【例1】若函数 f(x)满足 f(2x1)x2，求函数 f(x)的解析式； 【例2】已知 f( x 1)x2 x ，求 f(x)的解析式并注明定义域； 题型2 待定系数法 待定系数法：解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，根据一些条件或要求来确定这些系 数，从而解决问题，这样的思维方法叫作待定系数法． 【例3】若一次函数 f(x)满足 f[f(x)]9x1，求 f(x)的函数解析式； 【例4】已知 f(x)是二次函数，且 f(0)2，f(x1) f(x)x1，求 f(x)的讲解析式．MST老唐说题26版一轮 题型3 方程组消元法 方程组消元法：根据不同形式的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解． 【例5】已知函数 f(x)满足3f(x)2f(x)x3，求 f(x)的解析式； 1 【例6】已知函数 f(x)满足 f(x)2f( )5x9，求 f(x)的解析式； x 题型4 赋值法 赋值法：对于自变量多于一个的函数方程，将其中一个或几个自变量用一些特殊值代入原方程，从而简化 方程，达到求解的目的． 【例7】若函数 f(x)对任意实数x，y均有 f(x y)2f(y)x2 2xyy2 3x3y， 则 f(x)的解析式为 ． 题型5 利用奇偶性求解析式 利用奇偶性求解析式: 给定一段区间的函数解析式，利用函数对称性，将定义域对称到已知区间，再利用函 数奇偶性求解；例如在求区间0，上的解析式,设x，0 ,利用x0， ,即可转化到已知区间． x2 3x,x0, 【例8】已知奇函数 f x 则gx ． gx1,x0, 【例9】已知 f x为偶函数,当x0时, f xx2 2x3 ,则当x0时, f x  A. x2 2x3 B. x2 2x3 C. x2 2x3 D. x2 2x3 【例10】定义在 , 上的任意函数 f x都可以表示成一个奇函数gx和一个偶函数hx之和,如 果 f xlg  10x 1  ,x, ,那么 ( ) A. gx x,hxlg  10x 10x 2  B. gx 1 lg  10x 1  x,hx 1 lg  10x 1  x     2 2 C. gx x ,hxlg  10x 1   x D. gx x ,hxlg  10x 1   x 2 2 2 2MST老唐说题26版一轮 考向 3 函数的值域 题型1 求值域的基本方法 （1）配方法：与二次函数有关的函数（注意定义域）； （2）换元法：形如yaxb cxd 的函数，即设t  cxd ，转化成二次函数再求值域（注意t0）； axb  a （3）分离常数法：形如y (c0)的函数可借助反比例函数求其值域，且值域为y|y ； cxd  c （4）单调性法：将函数分为两部分，如果单调性一致，可根据定义域求解其值域； （5）基本不等式法：当函数可化为对勾函数模型时，可借助基本不等式求解其值域． 【例1】求下列函数的值域： 2x1 （1） f(x) 54xx2 ；（2） f(x)x2 x1；（3） f(x) ；（4）y 2x  x2 6x10 ． x3 x2 3x5 3x2 3x4 【例2】求下列函数的值域：（1）y (x1)；（2）y 的值域． x1 x2 x1 题型2 数形结合法求值域 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数 形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目．适用于函数本身可和其几何意义相联系的函数类型． 【例1】求函数y x2 4x4  x2 16x64的值域． 【例2】求函数y x2 6x13 x2 4x5 的值域． sinx1 【例3】求函数y 的值域． cosx2MST老唐说题26版一轮 题型3 值域与求参问题 【例1】（多选）若函数yx2 4x4的定义域为[0，m]，值域为[8，4]，则实数m的值可能为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】已知函数y kx24kx3 的值域为[0，+)，则k的取值范围是 ． a,ab 【例3】定义：min{a，b} ，那么对于x(0，6]，设函数 f(x)min{x，x2 2x}，则 f(x) （用 b,ab 分段函数表示）；函数y f(x)的值域为 ． 拓展思维 拓展1 高斯函数 定义在全体实数集R的函数，而函数值是离散的，这个函数即为取整函数，又称高斯函数. 为了方便，用[x]表示不超过x的最大整数，函数又可记为 y f(x)[x]． 【例1】世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取 4 1 整函数y[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]1，[1.1]2．已知 f(x)[x ]，x[ ,6)， x 2 则函数 f(x)的值域为( ) A．{4，6，8} B．{4，5，6} C．{4，5，6，7，8} D．{4，8} 【例2】（多选）函数 f(x)[x]称为取整函数，也称高斯函数，其中[x]表示不大于实数x的最大整数( ) 1 5 A．若[x]2，则x 的最小值为 2(x1) 2 B．若x2  y2 2y1，则[xyx]的最大值为 1 1 4 C．若正数x，y满足[x][y]1，则  的最小值为 9 x y 10x4 29x2 10 D．若x(,0)，则[ ]的最小值为13 (x2 1)2MST老唐说题26版一轮 拓展2 三角换元法求值域 形如含 a2 x2 的结构的函数，可利用三角代换（sin2cos21），令xacos，[0，]，   或令xasin，[ ， ]． 2 2 【例1】求函数yx 1x2 的值域． 【例2】求函数yx2 1(x1)2 的值域． 拓展3 判别式法求值域 ax2 bxc 形如y （a、m中至少有一个不为零）的函数求值域． mx2 nx p 判别式法求其值域，要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无 意义，都应从值域中去掉该值；②定义域是否属于R；③闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存 在；④分子、分母必须是既约分式（不可约分）． x2 x1 【例1】求函数y 的值域． 2x2 2x3 x2 4x3 【例2】求函数y 的值域． x2 x6