第一节排列组合_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第十章

MST老唐说题26版一轮 第1节 计数原理与排列组合 知识点一 两个技数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m 种不同的办法，在第2类办法中有m 种不同的方法，…， 1 2 在第n类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：N m m m 种不同的方法． n 1 2 n 2．分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有m 种不同的方法，…，做 1 2 第n步有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：N m m m 种不同的方法. n 1 2 n 3．两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如 果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事 的方法数时，使用分步计数原理． 知识点二 排列组合 1．排列问题 （1）定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 排列．从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，用符号Am表示． n n! （2）排列数的公式：Am n(n1)(n2)(nm1)  ． n (nm)! 特例：当mn时，Am n!n(n1)(n2)321；规定0!1． n 1 n （3）排列数的性质：①Am nAm1；②Am Am1 Am ；③Am mAm1 Am ． n n1 n nm n nm n1 n n1 n1 （4）解排列应用题的基本思路： 通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）． 2．组合问题 （1）定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组 合数，用符号Cm表示． n （2）组合数公式及其推导，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数Am，可以按以下两步来考虑： n 第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数Cm； nMST老唐说题26版一轮 第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数Am； n Am nn1n2  nm1 根据分步计数原理，得到Am CmAm；因此Cm  n  ． n n m n Am m! m n! 这里n，m N ，且mn，这个公式叫做组合数公式．因为Am  ，  n nm! n! 所以组合数公式还可表示为：Cm  ．特例C0 Cn 1． n m!nm! n n 注释：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是 按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题． （3）组合数的主要性质：①Cm Cnm；②Cm Cm1 Cm ． n n n n n1 题型一 排列数的计算 【例1】A3C3 （ ） 5 4 A．56 B．32 C．50 D．48 【例2】已知3Ax 4Ax1，则x等于（ ） 8 9 A．6 B．13 C．6或13 D．12 【例3】【多选】下列等式中成立的是（ ） 1 A．A3 (n2)A2 B． An An1 n n n n1 n1 n C．nAn2 An D． Am Am n1 n nm n1 n 题型二 组合数的计算 【例1】已知Cx2 C2x5，则x可能取值为（ ） 12 12 A．4 B．5 C．6或7 D．5或7MST老唐说题26版一轮 1 1 7 【例2】已知   ，则CmCm1Cm2Cm3Cm4的值为 （用数字作答）. Cm Cm 10Cm 7 7 8 9 10 5 6 7 题型三 捆绑法（相邻问题，用捆绑法，注意内部存在一定的顺序） 【例1】4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为（ ） A．48 B．96 C．120 D．240 【例2】（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和 丁相邻，则不同的排列方式共有( ) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 题型四 插空法（不相邻问题用插空法，先排列不受限的事物，再插孔不相邻的事物） 【例1】五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若 将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ） A．12种 B．48种 C．72种 D．120种 【例2】高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要 求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法． 题型五 特殊元素（位置）法（限制条件下，优先考虑并满足有限制的事物，然后再考虑不受限的事物） 【例1】甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（ ） A．6种 B．12种 C．36种 D．48种MST老唐说题26版一轮 【例2】从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有_____种参 赛方案. 【例3】（2023•乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1 种相同的选法共有( ) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【例4】某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加A,B,C,D这4个项目的比赛，每 人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加A项目，则不同的报名方法种数有（ ） A．18 B．21 C．23 D．72 题型六 间接法（正难则反） 【例1】某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，且至少有1 位语文教师入选，则不同安排方法有（ ）种． A．16 B．20 C．96 D．120 【例2】从甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有 1人入选的不同参赛方案共有 种.MST老唐说题26版一轮 题型七 重排问题求幂策略（解决可重复问题） 【例1】有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（ ） A．243 B．125 C．60 D．120 【例2】甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠 军产生，有 种不同的冠军获得情况. 题型八 组合问题 【例1】（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作 抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学 生，则不同的抽样结果共有( ) A．C45 C15 种 B．C20 C40 种 400 200 400 200 C．C30 C30 种 D．C40 C20 种 400 200 400 200 【例2】（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选 修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【例3】（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个 人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．MST老唐说题26版一轮 题型九 分组分配问题 1.平均分组问题 【例1】导师制是高中新的教学探索制度，班级科任教师作为导师既面向全体授课对象，又对指定的若干学 生的个性、人格发展和全面素质提高负责．已知有3位科任教师负责某学习小组的6名同学，每2名同学 由1位科任教师负责，则不同的分配方法的种数为（ ） A．90 B．15 C．60 D．180 【例2】为提升教育教学质量，促进各分校区发展，西南大学附属中学开展本部一分校区联合教研.现计划 从本部派出7男2女共9名老师到A 、B、C三个分校区开展教研，每个校区三人，则有（ ）种安排方 案. A．1050 B．1680 C．2940 D．3360 2.不平均分组问题 【例1】现有高校进入高中校园组织招生宣传，4名男生、3名女生去参加A，B两所高校的志愿填报咨询会， 每个学生只能去其中的一所学校，且要求每所学校都既有男生又有女生参加，则不同的安排方法数是（ ） A．42 B．60 C．84 D．120 【例2】教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了 5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派 方法数有（ ）种 A．25 B．60 C．90 D．150MST老唐说题26版一轮 题型十 排列组合混合问题先选后排策略 【例1】（2020•新课标Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小 区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种． 【例2】将6名实习教师分配到5所学校进行培训，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配 1名实习教师，则不同的分配方案共有（ ） A．600种 B．900种 C．1800种 D．3600种 【例3】为了落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某校开设A､B､C三门德育校本课程，现有甲､乙､ 丙､丁四位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有 （ ） A．72种 B．60种 C．54种 D．36种 题型十一 定序问题倍缩法（排列中涉及到定序的问题，则用除法，出去多着全排列中涉及到顺序的问题） 【例1】某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变， 则不同的加入方法种数为（ ） A．10 B．20 C．24 D．30 【例2】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有 悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为MST老唐说题26版一轮 题型十二 隔板法（相同元素的分配问题，用插板法进行求解） 【例1】10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（ ）种不同分配方案？ A.9 B.36 C.84 D.120 题型十三 合理分类与分步策略（多面手问题） 【例1】我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞， 其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）种不同的选法． A．675 B．575 C．512 D．545 题型十四 涂色问题（先分配好颜色，再进行涂色，最后加法合并到一起） 求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有： (1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析； (2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析； (3)对于涂色(立方体)问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题 【例1】（2010•天津）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F 六个点涂色，要求每个点 涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( ) A．288种 B．264种 C．240种 D．168种MST老唐说题26版一轮 【例2】（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜 色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答） 题型十五 标号排位问题（不配对问题） 【例1】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所 填数字均不相同的填法有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 【例2】（2024•新高考Ⅱ）在如图的44方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中， 则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 ．MST老唐说题26版一轮 题型十六 环排问题线排策略 【例1】如图,某手链由10颗较小的珠子(每颗珠子相同)和11颗较大的珠子(每颗珠子均不相同)串成,若10 颗小珠子必须相邻,大珠子的位置任意,则该手链不同的串法有（ ） A11 A12 A．A11种 B． 11 种 C．A12种 D． 12 种 11 2 12 2 题型十七 构造模型策略 【例1】某排共有10个座位，安排4人就坐.若每人左右两边都有空位，则不同的坐法有 种（用数 字回答）. 题型十八 走楼梯问题 （分类法与插空法相结合） 【例1】某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从A处到达他所在的班级B处（所有楼道间是连通 的），则最短路程不同的走法数为（ ） A．5 B．10 C．15 D．21MST老唐说题26版一轮 【例2】某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（ ） A．6种 B．8种 C．9种 D．10种 题型十九 数字排列问题 组数问题的常见类型及解决原则： (1)常见的组数问题： ①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”； ②在某一定范围内的数的问题； ③各位数字和为某一定值问题； ④各位数字之间满足某种关系问题等． (2)解决原则 ①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领 分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解． ②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位 【例1】（2024•上海）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数， 求集合中元素个数的最大值 329 ． 【例2】在由数字1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中，小于50000的奇数有 个． 【例3】用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？ (1)偶数； (2)百位和千位都是奇数的偶数； (3)比23014大的数.